{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (0-1)\nKoło ma promień równy 3.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nObwód wycinka tego koła o kącie środkowym 30° jest równy\nA. 3\n4 𝜋\nB. 1\n2 𝜋\nC. 3\n4 𝜋+ 6\nD. 1\n2 𝜋+ 6\nKoło ma promień równy 3. Obwód wycinka tego koła o kącie środkowym 30° jest równy A. 3/4π B. 1/2π C. 3/4π+6 D. 1/2π+6","answer":"D","answer_text":"Zadanie 21. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(144°\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na sumę kątów wewnętrznych wielokąta\n\n**Krok 1: Oblicz sumę wszystkich kątów wewnętrznych dziesięciokąta.**\n\nSuma kątów wewnętrznych \\(n\\)-kąta wynosi:\n\\[S = (n-2) \\cdot 180°\\]\n\nDla dziesięciokąta \\(n = 10\\):\n\\[S = (10 - 2) \\cdot 180° = 8 \\cdot 180° = 1440°\\]\n\n**Krok 2: Oblicz miarę jednego kąta.**\n\nDziesięciokąt jest **foremny**, więc wszystkie kąty wewnętrzne są równe. Dzielimy sumę przez liczbę kątów:\n\\[\\alpha = \\frac{S}{n} = \\frac{1440°}{10} = 144°\\]\n\n**Odpowiedź: każdy kąt wewnętrzny dziesięciokąta foremnego ma miarę \\(\\mathbf{144°}\\).**\n\n## Sposób 2 - Przez kąt zewnętrzny\n\nKąt zewnętrzny wielokąta foremnego to kąt, który uzupełnia kąt wewnętrzny do \\(180°\\). Suma wszystkich kątów zewnętrznych dowolnego wielokąta wypukłego wynosi zawsze \\(360°\\).\n\n**Krok 1: Oblicz kąt zewnętrzny.**\n\\[\\beta = \\frac{360°}{n} = \\frac{360°}{10} = 36°\\]\n\n**Krok 2: Oblicz kąt wewnętrzny.**\n\nKąt wewnętrzny i zewnętrzny tworzą parę kątów suplementarnych (leżą na jednej prostej):\n\\[\\alpha = 180° - \\beta = 180° - 36° = 144°\\]\n\nTen sam wynik - **\\(\\mathbf{144°}\\)**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie ma wzorów z karty CKE - wzór na sumę kątów wielokąta pochodzi z planimetrii szkolnej i **nie jest zawarty w karcie wzorów CKE**. Warto go jednak znać na pamięć:\n\n\\[S = (n-2) \\cdot 180°, \\qquad \\alpha = \\frac{(n-2) \\cdot 180°}{n}\\]\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Wielokąt foremny | Typowy błąd |\n| A. \\(120°\\) | sześciokąt (\\(n=6\\)) | Uczeń miesza z sześciokątem foremnym (np. plaster miodu) |\n| B. \\(135°\\) | ośmiokąt (\\(n=8\\)) | Uczeń liczy dla ośmiokąta zamiast dziesięciokąta |\n| D. \\(150°\\) | dwunastokąt (\\(n=12\\)) | Uczeń dodaje 2 zamiast odejmuje 2 w liczniku, albo liczy \\(n=12\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór to \\((n-2) \\cdot 180°\\), nie \\(n \\cdot 180°\\). Trójkąt (\\(n=3\\)) ma sumę kątów \\(180°\\), a nie \\(540°\\) - to dobry sposób na sprawdzenie wzoru.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Słowo \"foremny\" jest kluczowe! Tylko wtedy można podzielić sumę równo przez \\(n\\). Zwykły dziesięciokąt może mieć kąty o różnych miarach.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wiele uczniów zna kąty sześciokąta foremnego (\\(120°\\)) i ośmiokąta foremnego (\\(135°\\)) z pamięci - łatwo pomylić z dziesięciokątem, jeśli nie wykona się rachunku.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nDziesięciokąt foremny (\\\\(n = 10\\\\) boków).\n\nSuma kątów wewnętrznych wielokąta:\n\\\\[S = (n-2) \\\\cdot 180° = (10-2) \\\\cdot 180° = 8 \\\\cdot 180° = 1440°\\\\]\n\nKażdy kąt wewnętrzny:\n\\\\[\\\\alpha = \\\\frac{S}{n} = \\\\frac{1440°}{10} = 144°\\\\]\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Suma kątów wewnętrznych wielokąta foremnego: \\\\((n-2) \\\\cdot 180°\\\\).\n\n**Dlaczego inne odpowiedzi są błędne:**\n- A. \\\\(120°\\\\) - to kąt sześciokąta foremnego (\\\\(n = 6\\\\))\n- B. \\\\(135°\\\\) - to kąt ośmiokąta foremnego (\\\\(n = 8\\\\))\n- D. \\\\(150°\\\\) - to kąt dwunastokąta foremnego (\\\\(n = 12\\\\))","image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-21.svg","topics":"Planimetria","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 21. (0-1)
Koło ma promień równy 3.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Obwód wycinka tego koła o kącie środkowym 30° jest równy
A. 3
4 𝜋
B. 1
2 𝜋
C. 3
4 𝜋+ 6
D. 1
2 𝜋+ 6
Koło ma promień równy 3. Obwód wycinka tego koła o kącie środkowym 30° jest równy A. 3/4π B. 1/2π C. 3/4π+6 D. 1/2π+6

","answer_text_html":"

Zadanie 21. (0-1)
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
D
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-21.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C - \\(144°\\)

\n

Sposób 1 - Wzór na sumę kątów wewnętrznych wielokąta

\n

Krok 1: Oblicz sumę wszystkich kątów wewnętrznych dziesięciokąta.

\n

Suma kątów wewnętrznych \\(n\\)-kąta wynosi:
\\[S = (n-2) \\cdot 180°\\]

\n

Dla dziesięciokąta \\(n = 10\\):
\\[S = (10 - 2) \\cdot 180° = 8 \\cdot 180° = 1440°\\]

\n

Krok 2: Oblicz miarę jednego kąta.

\n

Dziesięciokąt jest foremny, więc wszystkie kąty wewnętrzne są równe. Dzielimy sumę przez liczbę kątów:
\\[\\alpha = \\frac{S}{n} = \\frac{1440°}{10} = 144°\\]

\n

Odpowiedź: każdy kąt wewnętrzny dziesięciokąta foremnego ma miarę \\(\\mathbf{144°}\\).

\n

Sposób 2 - Przez kąt zewnętrzny

\n

Kąt zewnętrzny wielokąta foremnego to kąt, który uzupełnia kąt wewnętrzny do \\(180°\\). Suma wszystkich kątów zewnętrznych dowolnego wielokąta wypukłego wynosi zawsze \\(360°\\).

\n

Krok 1: Oblicz kąt zewnętrzny.
\\[\\beta = \\frac{360°}{n} = \\frac{360°}{10} = 36°\\]

\n

Krok 2: Oblicz kąt wewnętrzny.

\n

Kąt wewnętrzny i zewnętrzny tworzą parę kątów suplementarnych (leżą na jednej prostej):
\\[\\alpha = 180° - \\beta = 180° - 36° = 144°\\]

\n

Ten sam wynik - \\(\\mathbf{144°}\\).

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie ma wzorów z karty CKE - wzór na sumę kątów wielokąta pochodzi z planimetrii szkolnej i nie jest zawarty w karcie wzorów CKE. Warto go jednak znać na pamięć:

\n

\\[S = (n-2) \\cdot 180°, \\qquad \\alpha = \\frac{(n-2) \\cdot 180°}{n}\\]

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Wielokąt foremny | Typowy błąd |
| A. \\(120°\\) | sześciokąt (\\(n=6\\)) | Uczeń miesza z sześciokątem foremnym (np. plaster miodu) |
| B. \\(135°\\) | ośmiokąt (\\(n=8\\)) | Uczeń liczy dla ośmiokąta zamiast dziesięciokąta |
| D. \\(150°\\) | dwunastokąt (\\(n=12\\)) | Uczeń dodaje 2 zamiast odejmuje 2 w liczniku, albo liczy \\(n=12\\) |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Wzór to \\((n-2) \\cdot 180°\\), nie \\(n \\cdot 180°\\). Trójkąt (\\(n=3\\)) ma sumę kątów \\(180°\\), a nie \\(540°\\) - to dobry sposób na sprawdzenie wzoru.
\n
⚠️ Uwaga: Słowo "foremny" jest kluczowe! Tylko wtedy można podzielić sumę równo przez \\(n\\). Zwykły dziesięciokąt może mieć kąty o różnych miarach.
\n
⚠️ Uwaga: Wiele uczniów zna kąty sześciokąta foremnego (\\(120°\\)) i ośmiokąta foremnego (\\(135°\\)) z pamięci - łatwo pomylić z dziesięciokątem, jeśli nie wykona się rachunku.
\n

Poprawna odpowiedź: C

\n

Rozwiązanie:

\n

Dziesięciokąt foremny (\\\\(n = 10\\\\) boków).

\n

Suma kątów wewnętrznych wielokąta:
\\\\[S = (n-2) \\\\cdot 180° = (10-2) \\\\cdot 180° = 8 \\\\cdot 180° = 1440°\\\\]

\n

Każdy kąt wewnętrzny:
\\\\[\\\\alpha = \\\\frac{S}{n} = \\\\frac{1440°}{10} = 144°\\\\]

\n

Użyte wzory z karty CKE: Suma kątów wewnętrznych wielokąta foremnego: \\\\((n-2) \\\\cdot 180°\\\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne:

\n"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"
  1. Zapisujemy wzór na obwód wycinka koła. Obwód wycinka o kącie środkowym \\( \\alpha \\) i promieniu \\( r \\) obliczamy ze wzoru:
\n

$$ O = \\frac{\\alpha}{360^\\circ} \\cdot 2 \\pi r + 2r $$

\n
  1. Podstawiamy dane do wzoru. Promień koła wynosi \\( r = 3 \\), a kąt środkowy wynosi \\( \\alpha = 30^\\circ \\). Zatem:
\n

$$ O = \\frac{30^\\circ}{360^\\circ} \\cdot 2 \\pi \\cdot 3 + 2 \\cdot 3 $$

\n
  1. Obliczamy wartość \\( \\frac{30^\\circ}{360^\\circ} \\):
\n

$$ \\frac{30^\\circ}{360^\\circ} = \\frac{1}{12} $$

\n
  1. Podstawiamy obliczoną wartość do wzoru:
\n

$$ O = \\frac{1}{12} \\cdot 2 \\pi \\cdot 3 + 2 \\cdot 3 $$

\n
  1. Upraszczamy pierwszy składnik:
\n

$$ O = \\frac{6\\pi}{12} + 6 $$

\n
  1. Dzielimy 6 przez 12 w pierwszym składniku:
\n

$$ O = \\frac{1}{2}\\pi + 6 $$

\n
  1. Oczytujemy wynik i porównujemy z podanymi opcjami. Właściwa odpowiedź to D:
\n

$$ O = \\frac{1}{2}\\pi + 6 $$

\n

Odpowiedź: \\( \\frac{1}{2}\\pi + 6 \\)

"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

Obwód wycinka koła składa się z długości łuku oraz dwóch promieni.

\n

Długość łuku o kącie środkowym 30^° i promieniu 3 wynosi

\n

l=(30^°)/(360^°)·2π·3
=(1)/(12)·6π
=fracπ2.

\n

Dwa promienie mają łączną długość

\n

2·3=6.

\n

Zatem obwód wycinka jest równy

\n

fracπ2+6.

\n

Poprawna jest odpowiedź D.

"}]}