{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"22","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (0-1)\nW okr臋gu 饾挭 k膮t 艣rodkowy 饾浗 oraz k膮t wpisany 饾浖 s膮 oparte na tym samym 艂uku. K膮t 饾浗\nma miar臋 o 40掳 wi臋ksz膮 od k膮ta 饾浖.\nDoko艅cz zdanie. Wybierz w艂a艣ciw膮 odpowied藕 spo艣r贸d podanych.\nMiara k膮ta 饾浗 jest r贸wna\nA. 40掳\nB. 80掳\nC. 100掳\nD. 120掳\n\nMMAP-P0_100\nW okr臋gu O k膮t 艣rodkowy 尾 oraz k膮t wpisany 伪 s膮 oparte na tym samym 艂uku. K膮t 尾 ma miar臋 o 40掳 wi臋ksz膮 od k膮ta 伪. Miara k膮ta 尾 jest r贸wna A. 40掳 B. 80掳 C. 100掳 D. 120掳","answer":"B","answer_text":"Zadanie 22. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowied藕 poprawna.\n0 pkt - odpowied藕 niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwi膮zanie\nB","solution":"## Poprawna odpowied藕: C - \\(\\dfrac{4}{7}L\\)\n\n## Spos贸b 1 - Podobie艅stwo tr贸jk膮t贸w (stosunek obwod贸w)\n\n**Ustalamy dane:**\n\nTr贸jk膮t prostok膮tny \\(ABC\\) (k膮t prosty w \\(B\\)) ma obw贸d \\(L\\). Punkt \\(E\\) le偶y na boku \\(CB\\), punkt \\(D\\) na boku \\(AB\\), przy czym \\(DE \\parallel AC\\) oraz:\n\\[CE : EB = 3 : 4\\]\n\nOznaczamy \\(CE = 3t\\), \\(EB = 4t\\), zatem \\(BC = 7t\\).\n\n**Podobie艅stwo tr贸jk膮t贸w:**\n\nPoniewa偶 \\(DE \\parallel AC\\), w tr贸jk膮cie \\(BAC\\) odcinek \\(DE\\) jest r贸wnoleg艂y do boku \\(AC\\). Zatem tr贸jk膮t \\(BED \\sim\\) tr贸jk膮t \\(BAC\\) (AA: wsp贸lny k膮t \\(\\angle B\\) i r贸wne k膮ty naprzemianleg艂e).\n\n**Wyznaczamy wsp贸艂czynnik podobie艅stwa:**\n\\[k = \\frac{BE}{BC} = \\frac{4t}{7t} = \\frac{4}{7}\\]\n\n**Obwody podobnych tr贸jk膮t贸w s膮 w tym samym stosunku:**\n\\[\\frac{\\text{Obw贸d } \\triangle BED}{\\text{Obw贸d } \\triangle BAC} = k = \\frac{4}{7}\\]\n\n**Zatem:**\n\\[\\text{Obw贸d } \\triangle BED = \\frac{4}{7} \\cdot L\\]\n\n**Odpowied藕: \\(\\boxed{\\dfrac{4}{7}L}\\)**\n\n## Spos贸b 2 - Bezpo艣rednie wyznaczenie z proporcji bok贸w\n\nNiech \\(BC = a\\), \\(BA = b\\), \\(AC = c\\), przy czym \\(a + b + c = L\\).\n\nSkoro \\(DE \\parallel AC\\) i \\(k = \\dfrac{BE}{BC} = \\dfrac{4}{7}\\), to z podobie艅stwa:\n\\[BE = \\frac{4}{7}a, \\quad BD = \\frac{4}{7}b, \\quad DE = \\frac{4}{7}c\\]\n\nObw贸d tr贸jk膮ta \\(BED\\):\n\\[BE + BD + DE = \\frac{4}{7}a + \\frac{4}{7}b + \\frac{4}{7}c = \\frac{4}{7}(a + b + c) = \\frac{4}{7}L\\]\n\nWynik zgodny - **\\(\\dfrac{4}{7}L\\)**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dzia艂 10 (Planimetria, s. 15-21)** - podobie艅stwo figur:\n> Pola figur podobnych maj膮 si臋 jak \\(k^2\\). **Obwody figur podobnych maj膮 si臋 jak \\(k\\)** (liniowy wsp贸艂czynnik podobie艅stwa).\n\nKluczowa tu jest w艂asno艣膰 odcinka r贸wnoleg艂ego do boku tr贸jk膮ta (twierdzenie Talesa):\n\n**Dzia艂 10 - Twierdzenie Talesa (s. 18)**:\n> Je艣li \\(DE \\parallel AC\\), to \\(\\dfrac{BE}{BC} = \\dfrac{BD}{BA} = \\dfrac{DE}{AC}\\)\n\nTen wz贸r da艂 nam bezpo艣rednio wsp贸艂czynnik podobie艅stwa \\(k = \\dfrac{4}{7}\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi s膮 b艂臋dne\n\n| Odp. | Warto艣膰 | B艂膮d |\n| A | \\(\\dfrac{3}{7}L\\) | Wzi臋to \\(\\dfrac{CE}{BC} = \\dfrac{3}{7}\\) zamiast \\(\\dfrac{BE}{BC} = \\dfrac{4}{7}\\) - pomylono, kt贸ry odcinek daje podobie艅stwo (ten bli偶ej \\(B\\), nie bli偶ej \\(C\\)) |\n| B | \\(\\dfrac{3}{4}L\\) | Wzi臋to sam stosunek \\(3:4\\) i uznano \\(k = \\dfrac{3}{4}\\), pomijaj膮c, 偶e \\(BC = CE + EB = 3t + 4t = 7t\\) |\n| D | \\(\\dfrac{1}{4}L\\) | B艂臋dna interpretacja: \\(CE:CB = 3:4\\), wi臋c \\(BE:BC = 1:4\\) - z艂a identyfikacja, kt贸ry segment tworz膮 \\(C\\), \\(E\\), \\(B\\) |\n\n## Typowe pu艂apki i uwagi\n\n> 鈿狅笍 **Uwaga:** Wsp贸艂czynnik podobie艅stwa to \\(\\dfrac{BE}{BC}\\) (od wierzcho艂ka \\(B\\)!), **nie** \\(\\dfrac{CE}{BC}\\). Tr贸jk膮t \\(BED\\) ma wierzcho艂ek \\(B\\), wi臋c bierzemy odcinek \\(BE\\) (a nie \\(CE\\)).\n\n> 鈿狅笍 **Uwaga:** Przy \\(CE:EB = 3:4\\) ca艂o艣膰 \\(BC = 3+4 = 7\\) cz臋艣ci - 艂atwo zapomnie膰 o sumowaniu i wzi膮膰 \\(k = \\dfrac{3}{4}\\) wprost z proporcji. To b艂膮d!\n\n> 鈿狅笍 **Uwaga:** Obwody figur podobnych (nie pola!) s膮 w stosunku liniowym \\(k\\), nie \\(k^2\\). Pole by艂oby \\(\\dfrac{16}{49}L^2\\) - tu pytaj膮 o obw贸d.\n\n**Poprawna odpowied藕: B**\n\n**Rozwi膮zanie:**\n\nTr贸jk膮t prostok膮tny \\\\(ABC\\\\) o obwodzie \\\\(L\\\\). Na boku \\\\(CB\\\\) obrano punkt \\\\(E\\\\), na boku \\\\(AB\\\\) punkt \\\\(D\\\\), tak 偶e \\\\(DE \\\\parallel AC\\\\).\n\nPoniewa偶 \\\\(DE \\\\parallel AC\\\\), tr贸jk膮t \\\\(BED\\\\) jest podobny do tr贸jk膮ta \\\\(BCA\\\\) (k膮ty odpowiadaj膮ce r贸wne).\n\nZ tre艣ci zadania stosunek podobie艅stwa wynosi \\\\(k = \\\\frac{3}{4}\\\\) (tj. \\\\(\\\\frac{BD}{BA} = \\\\frac{BE}{BC} = \\\\frac{3}{4}\\\\)).\n\nObw贸d tr贸jk膮ta podobnego:\n\\\\[O_{BED} = k \\\\cdot O_{BCA} = \\\\frac{3}{4} \\\\cdot L\\\\]\n\n**U偶yte wzory z karty CKE:** Twierdzenie Talesa; podobie艅stwo tr贸jk膮t贸w - stosunki odpowiadaj膮cych bok贸w s膮 r贸wne.\n\n**Dlaczego inne odpowiedzi s膮 b艂臋dne:**\n- A. \\\\(\\\\frac{3}{7}L\\\\) - wynika艂oby z \\\\(BD:DA = 3:4\\\\), czyli \\\\(BD:BA = 3:7\\\\)\n- C. \\\\(\\\\frac{4}{7}L\\\\) - niepoprawna interpretacja stosunku\n- D. \\\\(\\\\frac{1}{4}L\\\\) - brak uzasadnienia dla takiego stosunku","image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-22.svg","topics":"K膮ty w okr臋gu, planimetria","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka 路 Inne 路 sierpie艅 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 22. (0-1)
W okr臋gu 饾挭 k膮t 艣rodkowy 饾浗 oraz k膮t wpisany 饾浖 s膮 oparte na tym samym 艂uku. K膮t 饾浗
ma miar臋 o 40掳 wi臋ksz膮 od k膮ta 饾浖.
Doko艅cz zdanie. Wybierz w艂a艣ciw膮 odpowied藕 spo艣r贸d podanych.
Miara k膮ta 饾浗 jest r贸wna
A. 40掳
B. 80掳
C. 100掳
D. 120掳

\n

MMAP-P0_100
W okr臋gu O k膮t 艣rodkowy 尾 oraz k膮t wpisany 伪 s膮 oparte na tym samym 艂uku. K膮t 尾 ma miar臋 o 40掳 wi臋ksz膮 od k膮ta 伪. Miara k膮ta 尾 jest r贸wna A. 40掳 B. 80掳 C. 100掳 D. 120掳

","answer_text_html":"

Zadanie 22. (0-1)
Zasady oceniania
1 pkt - odpowied藕 poprawna.
0 pkt - odpowied藕 niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwi膮zanie
B

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-22.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowied藕: C - \\(\\dfrac{4}{7}L\\)

\n

Spos贸b 1 - Podobie艅stwo tr贸jk膮t贸w (stosunek obwod贸w)

\n

Ustalamy dane:

\n

Tr贸jk膮t prostok膮tny \\(ABC\\) (k膮t prosty w \\(B\\)) ma obw贸d \\(L\\). Punkt \\(E\\) le偶y na boku \\(CB\\), punkt \\(D\\) na boku \\(AB\\), przy czym \\(DE \\parallel AC\\) oraz:
\\[CE : EB = 3 : 4\\]

\n

Oznaczamy \\(CE = 3t\\), \\(EB = 4t\\), zatem \\(BC = 7t\\).

\n

Podobie艅stwo tr贸jk膮t贸w:

\n

Poniewa偶 \\(DE \\parallel AC\\), w tr贸jk膮cie \\(BAC\\) odcinek \\(DE\\) jest r贸wnoleg艂y do boku \\(AC\\). Zatem tr贸jk膮t \\(BED \\sim\\) tr贸jk膮t \\(BAC\\) (AA: wsp贸lny k膮t \\(\\angle B\\) i r贸wne k膮ty naprzemianleg艂e).

\n

Wyznaczamy wsp贸艂czynnik podobie艅stwa:
\\[k = \\frac{BE}{BC} = \\frac{4t}{7t} = \\frac{4}{7}\\]

\n

Obwody podobnych tr贸jk膮t贸w s膮 w tym samym stosunku:
\\[\\frac{\\text{Obw贸d } \\triangle BED}{\\text{Obw贸d } \\triangle BAC} = k = \\frac{4}{7}\\]

\n

Zatem:
\\[\\text{Obw贸d } \\triangle BED = \\frac{4}{7} \\cdot L\\]

\n

Odpowied藕: \\(\\boxed{\\dfrac{4}{7}L}\\)

\n

Spos贸b 2 - Bezpo艣rednie wyznaczenie z proporcji bok贸w

\n

Niech \\(BC = a\\), \\(BA = b\\), \\(AC = c\\), przy czym \\(a + b + c = L\\).

\n

Skoro \\(DE \\parallel AC\\) i \\(k = \\dfrac{BE}{BC} = \\dfrac{4}{7}\\), to z podobie艅stwa:
\\[BE = \\frac{4}{7}a, \\quad BD = \\frac{4}{7}b, \\quad DE = \\frac{4}{7}c\\]

\n

Obw贸d tr贸jk膮ta \\(BED\\):
\\[BE + BD + DE = \\frac{4}{7}a + \\frac{4}{7}b + \\frac{4}{7}c = \\frac{4}{7}(a + b + c) = \\frac{4}{7}L\\]

\n

Wynik zgodny - \\(\\dfrac{4}{7}L\\).

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dzia艂 10 (Planimetria, s. 15-21) - podobie艅stwo figur:

\n
Pola figur podobnych maj膮 si臋 jak \\(k^2\\). Obwody figur podobnych maj膮 si臋 jak \\(k\\) (liniowy wsp贸艂czynnik podobie艅stwa).
\n

Kluczowa tu jest w艂asno艣膰 odcinka r贸wnoleg艂ego do boku tr贸jk膮ta (twierdzenie Talesa):

\n

Dzia艂 10 - Twierdzenie Talesa (s. 18):

\n
Je艣li \\(DE \\parallel AC\\), to \\(\\dfrac{BE}{BC} = \\dfrac{BD}{BA} = \\dfrac{DE}{AC}\\)
\n

Ten wz贸r da艂 nam bezpo艣rednio wsp贸艂czynnik podobie艅stwa \\(k = \\dfrac{4}{7}\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi s膮 b艂臋dne

\n

| Odp. | Warto艣膰 | B艂膮d |
| A | \\(\\dfrac{3}{7}L\\) | Wzi臋to \\(\\dfrac{CE}{BC} = \\dfrac{3}{7}\\) zamiast \\(\\dfrac{BE}{BC} = \\dfrac{4}{7}\\) - pomylono, kt贸ry odcinek daje podobie艅stwo (ten bli偶ej \\(B\\), nie bli偶ej \\(C\\)) |
| B | \\(\\dfrac{3}{4}L\\) | Wzi臋to sam stosunek \\(3:4\\) i uznano \\(k = \\dfrac{3}{4}\\), pomijaj膮c, 偶e \\(BC = CE + EB = 3t + 4t = 7t\\) |
| D | \\(\\dfrac{1}{4}L\\) | B艂臋dna interpretacja: \\(CE:CB = 3:4\\), wi臋c \\(BE:BC = 1:4\\) - z艂a identyfikacja, kt贸ry segment tworz膮 \\(C\\), \\(E\\), \\(B\\) |

\n

Typowe pu艂apki i uwagi

\n
鈿狅笍 Uwaga: Wsp贸艂czynnik podobie艅stwa to \\(\\dfrac{BE}{BC}\\) (od wierzcho艂ka \\(B\\)!), nie \\(\\dfrac{CE}{BC}\\). Tr贸jk膮t \\(BED\\) ma wierzcho艂ek \\(B\\), wi臋c bierzemy odcinek \\(BE\\) (a nie \\(CE\\)).
\n
鈿狅笍 Uwaga: Przy \\(CE:EB = 3:4\\) ca艂o艣膰 \\(BC = 3+4 = 7\\) cz臋艣ci - 艂atwo zapomnie膰 o sumowaniu i wzi膮膰 \\(k = \\dfrac{3}{4}\\) wprost z proporcji. To b艂膮d!
\n
鈿狅笍 Uwaga: Obwody figur podobnych (nie pola!) s膮 w stosunku liniowym \\(k\\), nie \\(k^2\\). Pole by艂oby \\(\\dfrac{16}{49}L^2\\) - tu pytaj膮 o obw贸d.
\n

Poprawna odpowied藕: B

\n

Rozwi膮zanie:

\n

Tr贸jk膮t prostok膮tny \\\\(ABC\\\\) o obwodzie \\\\(L\\\\). Na boku \\\\(CB\\\\) obrano punkt \\\\(E\\\\), na boku \\\\(AB\\\\) punkt \\\\(D\\\\), tak 偶e \\\\(DE \\\\parallel AC\\\\).

\n

Poniewa偶 \\\\(DE \\\\parallel AC\\\\), tr贸jk膮t \\\\(BED\\\\) jest podobny do tr贸jk膮ta \\\\(BCA\\\\) (k膮ty odpowiadaj膮ce r贸wne).

\n

Z tre艣ci zadania stosunek podobie艅stwa wynosi \\\\(k = \\\\frac{3}{4}\\\\) (tj. \\\\(\\\\frac{BD}{BA} = \\\\frac{BE}{BC} = \\\\frac{3}{4}\\\\)).

\n

Obw贸d tr贸jk膮ta podobnego:
\\\\[O_{BED} = k \\\\cdot O_{BCA} = \\\\frac{3}{4} \\\\cdot L\\\\]

\n

U偶yte wzory z karty CKE: Twierdzenie Talesa; podobie艅stwo tr贸jk膮t贸w - stosunki odpowiadaj膮cych bok贸w s膮 r贸wne.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi s膮 b艂臋dne:

\n"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"
  1. Zdefiniujmy miar臋 k膮ta wpisanego $\\beta$ jako $x$.\\
  2. Poniewa偶 k膮t 艣rodkowy $\\beta$ jest o $40^\\circ$ wi臋kszy od k膮ta wpisanego $\\beta$, mo偶emy zapisa膰 to w postaci r贸wnania: $\\beta = x + 40^\\circ$.\\
  3. Znamy z definicji, 偶e miara k膮ta 艣rodkowego w okr臋gu jest dwukrotno艣ci膮 miary k膮ta wpisanego, kt贸ry opiera si臋 na tym samym 艂uku. To oznacza, 偶e $\\beta = 2\\alpha$.\\
  4. Podstawili艣my r贸wnania. Mamy teraz $2x = x + 40^\\circ$.\\
  5. Przenie艣my $x$ na lew膮 stron臋 r贸wnania: $2x - x = 40^\\circ$.\\
  6. Upraszczamy: $x = 40^\\circ$.\\
  7. Teraz podstawimy miar臋 k膮ta wpisanego do wzoru na k膮t 艣rodkowy: $\\beta = 2\\alpha = 2 \\cdot 40^\\circ = 80^\\circ$.\\
  8. Miara k膮ta 艣rodkowego $\\beta$ jest wi臋c r贸wna $80^\\circ$.\\
  9. Sprawdzamy poprawno艣膰 oblicze艅: miara k膮ta $\\beta$ powinna by膰 o $40^\\circ$ wi臋ksza od k膮ta $\\beta$, $80^\\circ$ r贸wna si臋 $40^\\circ + 40^\\circ$, co zgadza si臋 z tre艣ci膮 zadania.\\
\n

Odpowied藕: $80^\\circ$

"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

K膮t 艣rodkowy oparty na tym samym 艂uku jest dwa razy wi臋kszy od k膮ta wpisanego, wi臋c 尾=2伪 . Z tre艣ci r贸wnie偶 尾=伪+40^掳 . St膮d

\n

2伪=伪+40^掳, 伪=40^掳,

\n

wi臋c 尾=80^掳 .

"}]}