{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (0-1)\nW trójkącie 𝐴𝐵𝐶 długość boku 𝐴𝐶 jest równa 3, a długość boku 𝐵𝐶 jest równa 4.\nDwusieczna kąta 𝐴𝐶𝐵 przecina bok 𝐴𝐵 w punkcie 𝐷.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nStosunek |𝐴𝐷| ∶|𝐷𝐵| jest równy\nA. 4 ∶3\nB. 4 ∶7\nC. 3 ∶4\nD. 3 ∶7\n\nMMAP-P0_100\nW trójkącie ABC długość boku AC jest równa 3, a długość boku BC jest równa 4. Dwusieczna kąta ACB przecina bok AB w punkcie D. Stosunek |AD|:|DB| jest równy A. 4:3 B. 4:7 C. 3:4 D. 3:7","answer":"C","answer_text":"Zadanie 23. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(y = \\frac{3}{4}x - 10\\)\n\n## Sposób 1 - Punkt i współczynnik kierunkowy\n\n**Odczytujemy dane z treści zadania.**\n\nProsta \\(k\\) ma równanie:\n\\[y = \\frac{3}{4}x - \\frac{7}{4}\\]\n\nZatem jej współczynnik kierunkowy (nachylenie) wynosi:\n\\[a = \\frac{3}{4}\\]\n\n**Proste równoległe mają identyczne współczynniki kierunkowe.**\n\nSzukana prosta przechodzi przez \\(P = (12,\\, -1)\\) i ma nachylenie \\(a = \\frac{3}{4}\\), więc jej równanie to:\n\\[y - y_P = a(x - x_P)\\]\n\\[y - (-1) = \\frac{3}{4}(x - 12)\\]\n\\[y + 1 = \\frac{3}{4}x - 9\\]\n\\[\\boxed{y = \\frac{3}{4}x - 10}\\]\n\n## Sposób 2 - Postać ogólna \\(y = ax + b\\), wyznaczenie \\(b\\)\n\nSkoro prosta jest równoległa do \\(k\\), natychmiast wiadomo:\n\\[y = \\frac{3}{4}x + b\\]\n\nPodstawiamy punkt \\(P = (12,\\, -1)\\), bo prosta **przez niego przechodzi**:\n\\[-1 = \\frac{3}{4} \\cdot 12 + b\\]\n\\[-1 = 9 + b\\]\n\\[b = -10\\]\n\nZatem:\n\\[y = \\frac{3}{4}x - 10\\]\n\n**Weryfikacja:** \\(y(12) = \\frac{3}{4} \\cdot 12 - 10 = 9 - 10 = -1\\) ✓ Punkt \\(P\\) leży na prostej.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-23)** - równanie kierunkowe prostej:\n\\[y = ax + b, \\quad \\text{gdzie } a = \\operatorname{tg}\\alpha\\]\nProste równoległe spełniają warunek:\n\\[a_1 = a_2\\]\nUżyliśmy tego wprost - prosta równoległa do \\(k\\) dziedziczy jej współczynnik kierunkowy \\(a = \\frac{3}{4}\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Piszemy równanie prostej *równoległej*, nie *prostopadłej*. Prosta prostopadła miałaby nachylenie \\(a_\\perp = -\\frac{4}{3}\\) (odwrotność ze zmianą znaku). To najczęstszy błąd!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po podstawieniu punktu \\(P\\) do wzoru pamiętaj o **znaku** \\(y_P\\). Tu \\(y_P = -1\\), więc \\(y + 1\\) po lewej stronie (nie \\(y - 1\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wyraz wolny oblicza się po ustaleniu nachylenia - **nigdy** nie przepisujesz wyrazu wolnego z prostej \\(k\\). Prosta \\(k\\) ma \\(b = -\\frac{7}{4}\\), szukana ma \\(b = -10\\) - to zupełnie inne liczby.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\\\(y = \\\\frac{3}{4}x - 10\\\\)**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nProsta \\\\(k\\\\): \\\\(y = \\\\frac{3}{4}x - \\\\frac{7}{4}\\\\), punkt \\\\(P = (12, -1)\\\\).\n\nProsta równoległa do \\\\(k\\\\) ma ten sam współczynnik kierunkowy: \\\\(a = \\\\frac{3}{4}\\\\).\n\nRównanie prostej przez \\\\(P(12, -1)\\\\) o nachyleniu \\\\(\\\\frac{3}{4}\\\\):\n\\\\[y - (-1) = \\\\frac{3}{4}(x - 12)\\\\]\n\\\\[y + 1 = \\\\frac{3}{4}x - 9\\\\]\n\\\\[y = \\\\frac{3}{4}x - 10\\\\]\n\n**Sprawdzenie:** \\\\(f(12) = \\\\frac{3}{4} \\\\cdot 12 - 10 = 9 - 10 = -1\\\\) ✓\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Proste równoległe mają równe współczynniki kierunkowe: \\\\(a_1 = a_2\\\\); równanie kierunkowe prostej \\\\(y = ax + b\\\\).","image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-23.svg","topics":"Planimetria","page_from":19,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 23. (0-1)<br>W trójkącie 𝐴𝐵𝐶 długość boku 𝐴𝐶 jest równa 3, a długość boku 𝐵𝐶 jest równa 4.<br>Dwusieczna kąta 𝐴𝐶𝐵 przecina bok 𝐴𝐵 w punkcie 𝐷.<br>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.<br>Stosunek |𝐴𝐷| ∶|𝐷𝐵| jest równy<br>A. 4 ∶3<br>B. 4 ∶7<br>C. 3 ∶4<br>D. 3 ∶7</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>W trójkącie ABC długość boku AC jest równa 3, a długość boku BC jest równa 4. Dwusieczna kąta ACB przecina bok AB w punkcie D. Stosunek |AD|:|DB| jest równy A. 4:3 B. 4:7 C. 3:4 D. 3:7</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 23. (0-1)<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>C</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-23.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: \\(y = \\frac{3}{4}x - 10\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Punkt i współczynnik kierunkowy</h4>\n<p><strong>Odczytujemy dane z treści zadania.</strong></p>\n<p>Prosta \\(k\\) ma równanie:<br>\\[y = \\frac{3}{4}x - \\frac{7}{4}\\]</p>\n<p>Zatem jej współczynnik kierunkowy (nachylenie) wynosi:<br>\\[a = \\frac{3}{4}\\]</p>\n<p><strong>Proste równoległe mają identyczne współczynniki kierunkowe.</strong></p>\n<p>Szukana prosta przechodzi przez \\(P = (12,\\, -1)\\) i ma nachylenie \\(a = \\frac{3}{4}\\), więc jej równanie to:<br>\\[y - y_P = a(x - x_P)\\]<br>\\[y - (-1) = \\frac{3}{4}(x - 12)\\]<br>\\[y + 1 = \\frac{3}{4}x - 9\\]<br>\\[\\boxed{y = \\frac{3}{4}x - 10}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Postać ogólna \\(y = ax + b\\), wyznaczenie \\(b\\)</h4>\n<p>Skoro prosta jest równoległa do \\(k\\), natychmiast wiadomo:<br>\\[y = \\frac{3}{4}x + b\\]</p>\n<p>Podstawiamy punkt \\(P = (12,\\, -1)\\), bo prosta <strong>przez niego przechodzi</strong>:<br>\\[-1 = \\frac{3}{4} \\cdot 12 + b\\]<br>\\[-1 = 9 + b\\]<br>\\[b = -10\\]</p>\n<p>Zatem:<br>\\[y = \\frac{3}{4}x - 10\\]</p>\n<p><strong>Weryfikacja:</strong> \\(y(12) = \\frac{3}{4} \\cdot 12 - 10 = 9 - 10 = -1\\) ✓ Punkt \\(P\\) leży na prostej.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-23)</strong> - równanie kierunkowe prostej:<br>\\[y = ax + b, \\quad \\text{gdzie } a = \\operatorname{tg}\\alpha\\]<br>Proste równoległe spełniają warunek:<br>\\[a_1 = a_2\\]<br>Użyliśmy tego wprost - prosta równoległa do \\(k\\) dziedziczy jej współczynnik kierunkowy \\(a = \\frac{3}{4}\\).</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Piszemy równanie prostej <em>równoległej</em>, nie <em>prostopadłej</em>. Prosta prostopadła miałaby nachylenie \\(a_\\perp = -\\frac{4}{3}\\) (odwrotność ze zmianą znaku). To najczęstszy błąd!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Po podstawieniu punktu \\(P\\) do wzoru pamiętaj o <strong>znaku</strong> \\(y_P\\). Tu \\(y_P = -1\\), więc \\(y + 1\\) po lewej stronie (nie \\(y - 1\\)).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wyraz wolny oblicza się po ustaleniu nachylenia - <strong>nigdy</strong> nie przepisujesz wyrazu wolnego z prostej \\(k\\). Prosta \\(k\\) ma \\(b = -\\frac{7}{4}\\), szukana ma \\(b = -10\\) - to zupełnie inne liczby.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: \\\\(y = \\\\frac{3}{4}x - 10\\\\)</strong></p>\n<p><strong>Rozwiązanie:</strong></p>\n<p>Prosta \\\\(k\\\\): \\\\(y = \\\\frac{3}{4}x - \\\\frac{7}{4}\\\\), punkt \\\\(P = (12, -1)\\\\).</p>\n<p>Prosta równoległa do \\\\(k\\\\) ma ten sam współczynnik kierunkowy: \\\\(a = \\\\frac{3}{4}\\\\).</p>\n<p>Równanie prostej przez \\\\(P(12, -1)\\\\) o nachyleniu \\\\(\\\\frac{3}{4}\\\\):<br>\\\\[y - (-1) = \\\\frac{3}{4}(x - 12)\\\\]<br>\\\\[y + 1 = \\\\frac{3}{4}x - 9\\\\]<br>\\\\[y = \\\\frac{3}{4}x - 10\\\\]</p>\n<p><strong>Sprawdzenie:</strong> \\\\(f(12) = \\\\frac{3}{4} \\\\cdot 12 - 10 = 9 - 10 = -1\\\\) ✓</p>\n<p><strong>Użyte wzory z karty CKE:</strong> Proste równoległe mają równe współczynniki kierunkowe: \\\\(a_1 = a_2\\\\); równanie kierunkowe prostej \\\\(y = ax + b\\\\).</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<ol><li>Zapisujemy informacje zawarte w zadaniu. Mamy trójkąt $ABC$, w którym długości boków są następujące: $|AC| = 3$ oraz $|BC| = 4$. Dwusieczna kąta $ACB$ dzieli bok $AB$ na dwa odcinki, które oznaczamy jako $AD$ i $DB$.</li></ol>\n<ol><li>Przypominamy sobie wzór na dwusieczną kąta, który mówi, że stosunek długości odcinków utworzonych przez dwusieczną na przeciwnym boku jest równy stosunkowi długości boków przylegających do tego kąta. W naszym przypadku będzie to wyglądało następująco:</li></ol>\n<p>$$\\frac{|AD|}{|DB|} = \\frac{|AC|}{|BC|}$$</p>\n<ol><li>Podstawiamy długości boków do wzoru. Znamy już długości boków: $|AC| = 3$ oraz $|BC| = 4$, więc mamy:</li></ol>\n<p>$$\\frac{|AD|}{|DB|} = \\frac{3}{4}$$</p>\n<ol><li>Oznacza to, że stosunek $|AD| : |DB|$ jest równy $3 : 4$. Możemy dodatkowo zapisać to w postaci:</li></ol>\n<p>$$|AD| : |DB| = 3 : 4$$</p>\n<ol><li>Teraz możemy przejść do wyboru odpowiedzi z podanych opcji. Z opcji do wyboru, zgadza się to z odpowiedzią C, która mówi, że stosunek $|AD| : |DB|$ wynosi $3 : 4$.</li></ol>\n<p><strong>Odpowiedź:</strong> 3 : 4</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Z twierdzenia o dwusiecznej kąta w trójkącie:</p>\n<p>(|AD|)/(|DB|)=(|AC|)/(|CB|)=(3)/(4).</p>\n<p>Zatem |AD|:|DB|=3:4 .</p>"}]}