Zadanie 24. (0-2)
Dany jest trapez równoramienny 𝐴𝐵𝐶𝐷, w którym podstawa 𝐶𝐷 ma długość 6, ramię 𝐴𝐷
ma długość 4, a kąty 𝐵𝐴𝐷 oraz 𝐴𝐵𝐶 mają miarę 60° (zobacz rysunek).
Oblicz pole tego trapezu. Zapisz obliczenia.
𝐶
𝐷
60°
6
4
𝐵
𝐴
60°
MMAP-P0_100
Dany jest trapez równoramienny ABCD, w którym podstawa CD ma długość 6, ramię AD ma długość 4, a kąty BAD oraz ABC mają miarę 60° (zobacz rysunek). [rysunek] Oblicz pole tego trapezu.
Zadanie 24. (0-2)
Zasady oceniania
2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 16√3.
1 pkt - obliczenie/podanie długości odcinka 𝐴𝐸 (lub 𝐵𝐹): |𝐴𝐸| = 2
ALBO
ALBO
\nrównoboczny i zapisanie pola 𝑃 trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jako sumy pól tego równoległoboku
i tego trójkąta, np. 𝑃= 𝑃𝐴𝐺𝐶𝐷+ 𝑃𝐺𝐵𝐶 .
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwaga:
Jeżeli zdający, obliczając wysokość trapezu albo długość odcinka 𝐴𝐸 (lub 𝐵𝐹), stosuje
błędnie funkcje trygonometryczne lub związki miarowe trójkąta o kątach 30°, 60° i 90°, to
otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I
Niech 𝐷𝐸 oraz 𝐶𝐹 będą wysokościami trapezu opuszczonymi na podstawę 𝐴𝐵.
𝐸
𝐹
𝐶
𝐷
60°
6
4
𝐵
𝐴
60°
Stosując definicje funkcji trygonometrycznych dla kąta 𝐵𝐴𝐷 w trójkącie prostokątnym 𝐹𝐴𝐷
(lub korzystając ze związków miarowych dla trójkąta o kątach 30°, 60° i 90°), otrzymujemy
|𝐴𝐸|
|𝐴𝐷| = 𝑐𝑜𝑠60°, więc |𝐴𝐸| = |𝐴𝐷| ⋅𝑐𝑜𝑠60° = 4 ⋅1
2 = 2
oraz
|𝐷𝐸|
|𝐴𝐷| = 𝑠𝑖𝑛60°, więc |𝐷𝐸| = |𝐴𝐷| ⋅𝑠𝑖𝑛60° = 4 ⋅
√3
2 = 2√3.
Ponieważ trapez jest równoramienny, więc |𝐴𝐸| = |𝐹𝐵|. Zatem
|𝐴𝐵| = |𝐶𝐷| + 2 ⋅|𝐴𝐸| = 10.
Obliczamy pole 𝑃 trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷:
𝑃= |𝐴𝐵| + |𝐶𝐷|
2
⋅|𝐷𝐸| = 10 + 6
2
⋅2√3 = 16√3
Sposób II
Prowadzimy odcinek 𝐶𝐺 równoległy do ramienia 𝐴𝐷 tak, żeby koniec 𝐺 tego odcinka
leżał na podstawie 𝐴𝐵 trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷.
Odcinek 𝐶𝐺 dzieli trapez 𝐴𝐵𝐶𝐷 na równoległobok 𝐴𝐺𝐶𝐷 i trójkąt równoboczny 𝐺𝐵𝐶.
Zatem pole 𝑃 trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równe
𝑃= 𝑃𝐴𝐺𝐶𝐷+ 𝑃𝐺𝐵𝐶= 4 ⋅6 ⋅𝑠𝑖𝑛60° + 42√3
4
= 24 ⋅√3
2 + 4√3 = 16√3
Kluczowy fakt: W równoległoboku przekątne przecinają się w połowie, czyli środek symetrii \\(S\\) jest środkiem każdej przekątnej - w tym przekątnej \\(AC\\).
\nZnamy:
\nSzukamy \\(C = (x_C, y_C)\\) z warunku, że \\(S\\) jest środkiem odcinka \\(AC\\):
\n\\[x_S = \\frac{x_A + x_C}{2} \\implies 2 = \\frac{-1 + x_C}{2} \\implies x_C = 5\\]
\n\\[y_S = \\frac{y_A + y_C}{2} \\implies 2 = \\frac{-4 + y_C}{2} \\implies y_C = 8\\]
\nZatem \\(C = (5, 8)\\).
\nTeraz obliczamy długość \\(|AC|\\):
\n\\[|AC| = \\sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2}\\]
\n\\[|AC| = \\sqrt{(5 - (-1))^2 + (8 - (-4))^2}\\]
\n\\[|AC| = \\sqrt{6^2 + 12^2} = \\sqrt{36 + 144} = \\sqrt{180}\\]
\n\\[\\sqrt{180} = \\sqrt{36 \\cdot 5} = 6\\sqrt{5}\\]
\nOdpowiedź: \\(|AC| = 6\\sqrt{5}\\)
\nSkoro \\(S\\) jest środkiem \\(AC\\), to:
\\[\\vec{AS} = \\vec{SC}\\]
Obliczamy wektor \\(\\vec{AS}\\):
\\[\\vec{AS} = [2 - (-1),\\ 2 - (-4)] = [3, 6]\\]
Ponieważ \\(|AC| = 2 \\cdot |AS|\\), wystarczy obliczyć \\(|\\vec{AS}|\\) i podwoić:
\n\\[|\\vec{AS}| = \\sqrt{3^2 + 6^2} = \\sqrt{9 + 36} = \\sqrt{45} = 3\\sqrt{5}\\]
\n\\[|AC| = 2 \\cdot 3\\sqrt{5} = \\boxed{6\\sqrt{5}}\\]
\nTen sposób jest szybszy - nie musimy w ogóle wyznaczać \\(C\\)!
\nDział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)
\nWzór na środek odcinka:
\\[x_S = \\frac{x_A + x_B}{2}, \\quad y_S = \\frac{y_A + y_B}{2}\\]
Wzór na długość odcinka:
\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]
| Odp. | Typowy błąd |
| A | \\(\\sqrt{5}\\) - obliczenie tylko \\(|\\vec{AS}|\\) bez uproszczenia: \\(\\sqrt{45} \\approx \\sqrt{5}\\)? Błąd arytmetyczny przy upraszczaniu pierwiastka |
| B | \\(2\\sqrt{5}\\) - policzono \\(|\\vec{AS}| = 3\\sqrt{5}\\), ale wzięto \\(2\\sqrt{5}\\) - pomyłka o czynnik \\(3\\) |
| C | \\(3\\sqrt{5}\\) - klasyczna pułapka! Policzono tylko połowę przekątnej \\(|AS| = 3\\sqrt{5}\\), zapominając że \\(|AC| = 2|AS|\\) |
⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd to zatrzymanie się na \\(|AS| = 3\\sqrt{5}\\) i podanie tego jako odpowiedzi (odpowiedź C). Pamiętaj - \\(S\\) jest środkiem \\(AC\\), więc cała przekątna jest dwa razy dłuższa.\n
⚠️ Uwaga: Przy upraszczaniu \\(\\sqrt{180}\\) - szukaj największego pełnego kwadratu: \\(180 = 36 \\cdot 5\\), więc \\(\\sqrt{180} = 6\\sqrt{5}\\). Nie zostawiaj \\(\\sqrt{180}\\) bez uproszczenia!\n
⚠️ Uwaga: W równoległoboku każda przekątna ma swój środek w punkcie \\(S\\) - nie tylko jedna. To kluczowa własność odróżniająca równoległobok od dowolnego czworokąta.\n
Poprawna odpowiedź: D
\nRozwiązanie:
\nRównoległobok \\\\(ABCD\\\\), \\\\(A = (-1, -4)\\\\), środek symetrii \\\\(S = (2, 2)\\\\).
\nW równoległoboku przekątne dzielą się na połowy. Punkt \\\\(S\\\\) jest środkiem przekątnej \\\\(AC\\\\).
\nWyznaczamy \\\\(C\\\\):
\\\\[x_S = \\\\frac{x_A + x_C}{2} \\\\implies 2 = \\\\frac{-1 + x_C}{2} \\\\implies x_C = 5\\\\]
\\\\[y_S = \\\\frac{y_A + y_C}{2} \\\\implies 2 = \\\\frac{-4 + y_C}{2} \\\\implies y_C = 8\\\\]
Długość przekątnej \\\\(AC\\\\):
\\\\[|AC| = \\\\sqrt{(5-(-1))^2 + (8-(-4))^2} = \\\\sqrt{36 + 144} = \\\\sqrt{180} = 6\\\\sqrt{5}\\\\]
Użyte wzory z karty CKE: Środek odcinka: \\\\(x_S = \\\\frac{x_A+x_B}{2}\\\\); długość odcinka: \\\\(|AB| = \\\\sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}\\\\).
\nDlaczego inne odpowiedzi są błędne:
\nRamię trapezu ma długość 4 , a kąt przy dłuższej podstawie ma miarę 60^° .
\nW trójkącie prostokątnym wysokość trapezu jest przyprostokątną leżącą naprzeciw kąta 60^° , więc
\nsin60^°=(h)/(4).
\nStąd
\nh=4sin60^°=4·(√(3))/(2)=2√(3).
\nFragment dłuższej podstawy przy każdym ramieniu jest przyprostokątną przyległą do kąta 60^° . Oznaczmy jego długość przez x . Wtedy
\ncos60^°=(x)/(4).
\nZatem
\nx=4cos60^°=4·(1)/(2)=2.
\nKrótsza podstawa ma długość 6 , więc dłuższa podstawa ma długość
\n6+2+2=10.
\nPole trapezu:
\nP=((6+10)·2√(3))/(2)=16√(3).
"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"$16\\sqrt{3}$
"}]}