{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"25","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (0-1)\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dane są prosta 𝑘 o równaniu\n𝑦= 3\n4 𝑥-7\n4 oraz punkt 𝑃= (12, -1).\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nProsta przechodząca przez punkt 𝑃 i równoległa do prostej 𝑘 ma równanie\nA. 𝑦= -3\n4 𝑥+ 8\nB. 𝑦= 3\n4 𝑥-10\nC. 𝑦= 4\n3 𝑥-17\nD. 𝑦= -4\n3 𝑥+ 15\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) dane są prosta k o równaniu y=3/4x-7/4 oraz punkt P=(12,-1). Prosta przechodząca przez punkt P i równoległa do prostej k ma równanie A. y=-3/4x+8 B. y=3/4x-10 C. y=4/3x-17 D. y=-4/3x+15","answer":"B","answer_text":"Zadanie 25. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB\n𝐺\n𝐶\n𝐷\n60°\n6\n4\n𝐵\n𝐴\n60°\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\n\\[\\boxed{216 + 18\\sqrt{3}}\\]\n\n*(Zakładam, że na rysunku widać graniastosłup prawidłowy trójkątny - podstawa: trójkąt równoboczny o boku \\(a = 6\\), wysokość graniastosłupa \\(h = 12\\). Przy tych wymiarach wynik jest A - poniżej pełne uzasadnienie.)*\n\n## Sposób 1 - wzór ogólny na pole powierzchni całkowitej graniastosłupa\n\n**Pole powierzchni całkowitej** graniastosłupa prawidłowego trójkątnego:\n\n\\[P_c = P_{\\text{boczna}} + 2 \\cdot P_{\\text{podstawy}}\\]\n\n**Krok 1 - pole powierzchni bocznej.**\n\nPodstawa to trójkąt równoboczny o boku \\(a = 6\\), więc jego obwód:\n\n\\[O_b = 3a = 3 \\cdot 6 = 18\\]\n\nPole powierzchni bocznej (prostokąty \\(3 \\times h\\)):\n\n\\[P_b = O_b \\cdot h = 18 \\cdot 12 = 216\\]\n\n**Krok 2 - pole jednej podstawy (trójkąt równoboczny o boku 6).**\n\n\\[P_{\\text{podst}} = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} = \\frac{36\\sqrt{3}}{4} = 9\\sqrt{3}\\]\n\n**Krok 3 - dwie podstawy:**\n\n\\[2 \\cdot P_{\\text{podst}} = 2 \\cdot 9\\sqrt{3} = 18\\sqrt{3}\\]\n\n**Krok 4 - łącznie:**\n\n\\[P_c = 216 + 18\\sqrt{3}\\]\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez rozbicie na ściany\n\nGraniastosłup ma:\n- **3 ściany boczne** - każda prostokąt \\(6 \\times 12\\):\n\\[3 \\cdot 6 \\cdot 12 = 216\\]\n- **2 podstawy** - trójkąty równoboczne o boku 6, każda o polu \\(9\\sqrt{3}\\):\n\\[2 \\cdot 9\\sqrt{3} = 18\\sqrt{3}\\]\n\nSuma:\n\\[P_c = 216 + 18\\sqrt{3}\\]\n\nWynik się zgadza - **odpowiedź A jest poprawna**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - graniastosłup prosty:\n\n\\[P_b = O_b \\cdot h, \\qquad V = P_p \\cdot h\\]\n\nUżyliśmy wzoru na \\(P_b\\) w kroku 1.\n\n**Dział 10 (Planimetria - trójkąt równoboczny, s. 21):**\n\n\\[P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}, \\qquad h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\]\n\nUżyliśmy w kroku 2 do wyznaczenia pola podstawy.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| **B** \\((+54\\sqrt{3})\\) | Pomnożono \\(9\\sqrt{3}\\) przez 6 zamiast przez 2 - wzięto 6 trójkątów zamiast 2 |\n| **C** \\((+216\\sqrt{3})\\) | Pomylono wzór: zamiast \\(\\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\) użyto \\(\\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} \\cdot 24\\) - błędne skalowanie |\n| **D** \\((+108\\sqrt{3})\\) | Wstawiono \\(a^2 = 36\\) i nie podzielono przez 4 w mianowniku - policzono \\(36\\sqrt{3}\\) zamiast \\(9\\sqrt{3}\\), potem razy 3 zamiast 2 |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Trójkąt równoboczny ma wzór \\(\\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\), NIE \\(\\frac{a^2\\sqrt{3}}{2}\\) - ten drugi jest podwojony. Łatwo o pomyłkę z dwójką w mianowniku.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie zapomnij doliczyć **dwóch** podstaw - jedna podstawa to za mało. Mnożymy pole trójkąta przez 2!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Obwód podstawy trójkątnej to \\(3a\\), nie \\(4a\\) (to byłby prostokąt). Sprawdź, ile ścian bocznych ma Twój graniastosłup.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nGraniastosłup prawidłowy sześciokątny, każda krawędź ma długość \\\\(a = 6\\\\).\n\n**Pole powierzchni bocznej** - 6 prostokątów \\\\(a \\\\times h\\\\) (\\\\(h = a = 6\\\\)):\n\\\\[P_b = 6 \\\\cdot a \\\\cdot h = 6 \\\\cdot 6 \\\\cdot 6 = 216\\\\]\n\n**Pole podstawy** - sześciokąt foremny o boku \\\\(a\\\\):\n\\\\[P_p = \\\\frac{3\\\\sqrt{3}}{2} \\\\cdot a^2 = \\\\frac{3\\\\sqrt{3}}{2} \\\\cdot 36 = 54\\\\sqrt{3}\\\\]\n\n**Pole powierzchni całkowitej:**\n\\\\[P_c = P_b + 2P_p = 216 + 2 \\\\cdot 54\\\\sqrt{3} = 216 + 108\\\\sqrt{3}\\\\]\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Graniastosłup prosty: \\\\(P_b = Ob \\\\cdot h\\\\); pole sześciokąta foremnego \\\\(= 6 \\\\cdot \\\\frac{a^2\\\\sqrt{3}}{4} = \\\\frac{3a^2\\\\sqrt{3}}{2}\\\\).\n\n**Dlaczego inne odpowiedzi są błędne:**\n- A. \\\\(216 + 18\\\\sqrt{3}\\\\) - tylko \\\\(\\\\frac{1}{6}\\\\) pola jednej podstawy\n- B. \\\\(216 + 54\\\\sqrt{3}\\\\) - uwzględniono tylko jedną podstawę\n- C. \\\\(216 + 216\\\\sqrt{3}\\\\) - dwukrotnie zawyżone pole podstaw","image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-25.svg","topics":"Funkcja liniowa, analityczna","page_from":21,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 25. (0-1)<br>W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dane są prosta 𝑘 o równaniu<br>𝑦= 3<br>4 𝑥-7<br>4 oraz punkt 𝑃= (12, -1).<br>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.<br>Prosta przechodząca przez punkt 𝑃 i równoległa do prostej 𝑘 ma równanie<br>A. 𝑦= -3<br>4 𝑥+ 8<br>B. 𝑦= 3<br>4 𝑥-10<br>C. 𝑦= 4<br>3 𝑥-17<br>D. 𝑦= -4<br>3 𝑥+ 15<br>W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) dane są prosta k o równaniu y=3/4x-7/4 oraz punkt P=(12,-1). Prosta przechodząca przez punkt P i równoległa do prostej k ma równanie A. y=-3/4x+8 B. y=3/4x-10 C. y=4/3x-17 D. y=-4/3x+15</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 25. (0-1)<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>B<br>𝐺<br>𝐶<br>𝐷<br>60°<br>6<br>4<br>𝐵<br>𝐴<br>60°<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-25.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D</h4>\n<p>\\[\\boxed{216 + 18\\sqrt{3}}\\]</p>\n<p><em>(Zakładam, że na rysunku widać graniastosłup prawidłowy trójkątny - podstawa: trójkąt równoboczny o boku \\(a = 6\\), wysokość graniastosłupa \\(h = 12\\). Przy tych wymiarach wynik jest A - poniżej pełne uzasadnienie.)</em></p>\n<h4>Sposób 1 - wzór ogólny na pole powierzchni całkowitej graniastosłupa</h4>\n<p><strong>Pole powierzchni całkowitej</strong> graniastosłupa prawidłowego trójkątnego:</p>\n<p>\\[P_c = P_{\\text{boczna}} + 2 \\cdot P_{\\text{podstawy}}\\]</p>\n<p><strong>Krok 1 - pole powierzchni bocznej.</strong></p>\n<p>Podstawa to trójkąt równoboczny o boku \\(a = 6\\), więc jego obwód:</p>\n<p>\\[O_b = 3a = 3 \\cdot 6 = 18\\]</p>\n<p>Pole powierzchni bocznej (prostokąty \\(3 \\times h\\)):</p>\n<p>\\[P_b = O_b \\cdot h = 18 \\cdot 12 = 216\\]</p>\n<p><strong>Krok 2 - pole jednej podstawy (trójkąt równoboczny o boku 6).</strong></p>\n<p>\\[P_{\\text{podst}} = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} = \\frac{36\\sqrt{3}}{4} = 9\\sqrt{3}\\]</p>\n<p><strong>Krok 3 - dwie podstawy:</strong></p>\n<p>\\[2 \\cdot P_{\\text{podst}} = 2 \\cdot 9\\sqrt{3} = 18\\sqrt{3}\\]</p>\n<p><strong>Krok 4 - łącznie:</strong></p>\n<p>\\[P_c = 216 + 18\\sqrt{3}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - weryfikacja przez rozbicie na ściany</h4>\n<p>Graniastosłup ma:</p>\n<ul><li><strong>3 ściany boczne</strong> - każda prostokąt \\(6 \\times 12\\):</li></ul>\n<p>\\[3 \\cdot 6 \\cdot 12 = 216\\]</p>\n<ul><li><strong>2 podstawy</strong> - trójkąty równoboczne o boku 6, każda o polu \\(9\\sqrt{3}\\):</li></ul>\n<p>\\[2 \\cdot 9\\sqrt{3} = 18\\sqrt{3}\\]</p>\n<p>Suma:<br>\\[P_c = 216 + 18\\sqrt{3}\\]</p>\n<p>Wynik się zgadza - <strong>odpowiedź A jest poprawna</strong>.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)</strong> - graniastosłup prosty:</p>\n<p>\\[P_b = O_b \\cdot h, \\qquad V = P_p \\cdot h\\]</p>\n<p>Użyliśmy wzoru na \\(P_b\\) w kroku 1.</p>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria - trójkąt równoboczny, s. 21):</strong></p>\n<p>\\[P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}, \\qquad h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\]</p>\n<p>Użyliśmy w kroku 2 do wyznaczenia pola podstawy.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| <strong>B</strong> \\((+54\\sqrt{3})\\) | Pomnożono \\(9\\sqrt{3}\\) przez 6 zamiast przez 2 - wzięto 6 trójkątów zamiast 2 |<br>| <strong>C</strong> \\((+216\\sqrt{3})\\) | Pomylono wzór: zamiast \\(\\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\) użyto \\(\\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} \\cdot 24\\) - błędne skalowanie |<br>| <strong>D</strong> \\((+108\\sqrt{3})\\) | Wstawiono \\(a^2 = 36\\) i nie podzielono przez 4 w mianowniku - policzono \\(36\\sqrt{3}\\) zamiast \\(9\\sqrt{3}\\), potem razy 3 zamiast 2 |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Trójkąt równoboczny ma wzór \\(\\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\), NIE \\(\\frac{a^2\\sqrt{3}}{2}\\) - ten drugi jest podwojony. Łatwo o pomyłkę z dwójką w mianowniku.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie zapomnij doliczyć <strong>dwóch</strong> podstaw - jedna podstawa to za mało. Mnożymy pole trójkąta przez 2!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Obwód podstawy trójkątnej to \\(3a\\), nie \\(4a\\) (to byłby prostokąt). Sprawdź, ile ścian bocznych ma Twój graniastosłup.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<p><strong>Rozwiązanie:</strong></p>\n<p>Graniastosłup prawidłowy sześciokątny, każda krawędź ma długość \\\\(a = 6\\\\).</p>\n<p><strong>Pole powierzchni bocznej</strong> - 6 prostokątów \\\\(a \\\\times h\\\\) (\\\\(h = a = 6\\\\)):<br>\\\\[P_b = 6 \\\\cdot a \\\\cdot h = 6 \\\\cdot 6 \\\\cdot 6 = 216\\\\]</p>\n<p><strong>Pole podstawy</strong> - sześciokąt foremny o boku \\\\(a\\\\):<br>\\\\[P_p = \\\\frac{3\\\\sqrt{3}}{2} \\\\cdot a^2 = \\\\frac{3\\\\sqrt{3}}{2} \\\\cdot 36 = 54\\\\sqrt{3}\\\\]</p>\n<p><strong>Pole powierzchni całkowitej:</strong><br>\\\\[P_c = P_b + 2P_p = 216 + 2 \\\\cdot 54\\\\sqrt{3} = 216 + 108\\\\sqrt{3}\\\\]</p>\n<p><strong>Użyte wzory z karty CKE:</strong> Graniastosłup prosty: \\\\(P_b = Ob \\\\cdot h\\\\); pole sześciokąta foremnego \\\\(= 6 \\\\cdot \\\\frac{a^2\\\\sqrt{3}}{4} = \\\\frac{3a^2\\\\sqrt{3}}{2}\\\\).</p>\n<p><strong>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne:</strong></p>\n<ul><li>A. \\\\(216 + 18\\\\sqrt{3}\\\\) - tylko \\\\(\\\\frac{1}{6}\\\\) pola jednej podstawy</li><li>B. \\\\(216 + 54\\\\sqrt{3}\\\\) - uwzględniono tylko jedną podstawę</li><li>C. \\\\(216 + 216\\\\sqrt{3}\\\\) - dwukrotnie zawyżone pole podstaw</li></ul>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, prosta równoległa do $k$ zachowuje współczynnik kierunkowy $\\frac{3}{4}$. Podstawiając punkt $P = (12, -1)$ do ogólnego wzoru $y = \\frac{3}{4}x + b$, obliczamy $b$ i otrzymujemy $y = \\frac{3}{4}x - 10$.</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Prosta równoległa ma ten sam współczynnik kierunkowy (3)/(4) , więc ma postać y=(3)/(4)x+b . Podstawiamy punkt (12,-1) :</p>\n<p>-1=(3)/(4)·12+b=9+b,</p>\n<p>więc b=-10 .</p>"}]}