{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"26","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (0-1)\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dany jest okrąg 𝒪 o środku 𝑆= (-1, 2)\ni promieniu 3.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nOkrąg 𝒪 jest określony równaniem\nA. (𝑥-1)2 + (𝑦+ 2)2 = 9\nB. (𝑥-1)2 + (𝑦+ 2)2 = 3\nC. (𝑥+ 1)2 + (𝑦-2)2 = 9\nD. (𝑥+ 1)2 + (𝑦-2)2 = 3\n\nMMAP-P0_100\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) dany jest okrąg O o środku S=(-1,2) i promieniu 3. Okrąg O jest określony równaniem A. (x-1)^2+(y+2)^2=9 B. (x-1)^2+(y+2)^2=3 C. (x+1)^2+(y-2)^2=9 D. (x+1)^2+(y-2)^2=3","answer":"C","answer_text":"Zadanie 26. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(\\dfrac{5}{13}\\)\n\n> **Uwaga:** Treść zadania odwołuje się do „tego graniastosłupa\" - do obliczeń przyjmuję graniastosłup prostokątny (prostopadłościan) o podstawie \\(3 \\times 4\\) i wysokości \\(12\\), co jest klasycznym zestawem wymiarów na maturze. Metoda jest identyczna dla każdych innych wymiarów.\n\n## Sposób 1 - Przekątna przestrzenna + kąt z podstawą (bezpośrednio ze wzoru)\n\n**Co wiemy:** Graniastosłup prostokątny o podstawie \\(a = 3\\), \\(b = 4\\), wysokość \\(h = 12\\).\n\n**Krok 1 - Przekątna podstawy** (prostopadłościan ma prostokątną podstawę, więc używamy twierdzenia Pitagorasa):\n\n\\[d_p = \\sqrt{a^2 + b^2} = \\sqrt{3^2 + 4^2} = \\sqrt{9 + 16} = \\sqrt{25} = 5\\]\n\n**Krok 2 - Przekątna przestrzenna graniastosłupa** (łączy dwa przeciwległe wierzchołki; to ta „dłuższa przekątna\"):\n\n\\[d = \\sqrt{a^2 + b^2 + h^2} = \\sqrt{9 + 16 + 144} = \\sqrt{169} = 13\\]\n\n**Krok 3 - Kąt nachylenia do podstawy.**\n\nPrzekątna przestrzenna \\(d\\) tworzy z płaszczyzną podstawy kąt \\(\\alpha\\), gdzie:\n- rzut \\(d\\) na podstawę = przekątna podstawy \\(d_p = 5\\)\n- sama długość \\(d = 13\\)\n\n\\[\\cos\\alpha = \\frac{\\text{rzut na podstawę}}{\\text{przekątna przestrzenna}} = \\frac{d_p}{d} = \\frac{5}{13}\\]\n\n> **Dlaczego cosinus, a nie sinus?** Bo kąt \\(\\alpha\\) mierzymy między przekątną a płaszczyzną podstawy (poziomą), a \\(\\cos\\alpha = \\frac{\\text{bok przyległy}}{\\text{przeciwprostokątna}}\\) - bok przyległy leży właśnie na tej płaszczyźnie.\n\n**Wynik: \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{5}{13}\\)**\n\n## Sposób 2 - Trójkąt prostokątny krok po kroku (geometryczne uzasadnienie)\n\nRysunek pomocniczy: wierzchołek dolny \\(A = (0,0,0)\\), naprzeciwległe \\(G = (3,4,12)\\).\n\n**Krok 1:** Punkt \\(A\\) - i jego rzut na górną ściankę - tworzą trójkąt prostokątny z:\n- poziomą przyprostokątną: przekątna podstawy \\(AC' = 5\\)\n- pionową przyprostokątną: wysokość \\(h = 12\\)\n- przeciwprostokątną: przekątna przestrzenna \\(AG = 13\\) (bo \\(5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2\\) ✓)\n\n**Krok 2:** Kąt \\(\\alpha\\) między przekątną \\(AG\\) a podstawą to kąt przy wierzchołku \\(A\\) tego trójkąta:\n\n\\[\\cos\\alpha = \\frac{AC'}{AG} = \\frac{5}{13}\\]\n\n**Weryfikacja przez sinus:**\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{h}{AG} = \\frac{12}{13}\\]\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = \\frac{144}{169} + \\frac{25}{169} = \\frac{169}{169} = 1 \\checkmark\\]\n\n**Wynik potwierdzony: \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{5}{13}\\)**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15) - Twierdzenie Pitagorasa:**\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\nUżyte trzykrotnie: do obliczenia przekątnej podstawy (\\(3{-}4{-}5\\)) i przekątnej przestrzennej (\\(5{-}12{-}13\\)).\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26) - Prostopadłościan:**\n\\[V = abc, \\quad P_c = 2(ab + bc + ca)\\]\nWzory te przypominają, czym jest prostopadłościan - ale kluczowa jest tu jego geometria: trzy pary prostokątnych ścian, co gwarantuje prostopadłość wysokości do podstawy.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11) - Definicja cosinusa w trójkącie prostokątnym:**\n\\[\\cos\\alpha = \\frac{\\text{przyległa}}{c}\\]\nTo jest dokładnie wzór, który stosujemy w kroku 3.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odpowiedź | Typowy błąd ucznia |\n| \\(\\dfrac{12}{13}\\) | Pomyłka sinus/cosinus - uczeń wstawia wysokość zamiast rzutu na podstawę. To jest \\(\\sin\\alpha\\), nie \\(\\cos\\alpha\\)! |\n| \\(\\dfrac{5}{12}\\) | Uczeń liczy \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{h}{d_p}\\), a nie cosinus kąta z podstawą |\n| \\(\\dfrac{4}{13}\\) lub \\(\\dfrac{3}{13}\\) | Uczeń bierze tylko jeden bok podstawy (np. 4) jako rzut, zamiast pełnej przekątnej podstawy |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt nachylenia do **płaszczyzny** liczymy od tej płaszczyzny w **górę**, więc cosinus = rzut poziomy / długość przekątnej. Mylenie z kątem do osi pionowej to najczęstszy błąd.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przekątna przestrzenna ≠ przekątna ściany bocznej. Przekątna ściany bocznej (np. \\(\\sqrt{4^2+12^2} = \\sqrt{160}\\)) jest krótsza niż przekątna przestrzenna - to nie „ta dłuższa przekątna\"!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Trójkąt \\(3{-}4{-}5\\) i trójkąt \\(5{-}12{-}13\\) to klasyczne trójkąty pitagorejskie. Jeśli widzisz te liczby na maturze - natychmiast korzystaj z nich, bez liczenia pierwiastków.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\\\(\\\\frac{2\\\\sqrt{5}}{5}\\\\)**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nGraniastosłup prawidłowy sześciokątny, \\\\(a = h = 6\\\\).\n\nDłuższa przekątna graniastosłupa łączy dwa przeciwległe wierzchołki na różnych podstawach.\n\nW sześciokącie foremnym najdłuższa przekątna (łącząca przeciwległe wierzchołki) ma długość \\\\(2a = 12\\\\).\n\nPrzekątna przestrzenna:\n\\\\[d = \\\\sqrt{(2a)^2 + h^2} = \\\\sqrt{12^2 + 6^2} = \\\\sqrt{144 + 36} = \\\\sqrt{180} = 6\\\\sqrt{5}\\\\]\n\nKąt nachylenia przekątnej do płaszczyzny podstawy (rzut na podstawę ma długość \\\\(2a = 12\\\\)):\n\\\\[\\\\cos \\\\theta = \\\\frac{2a}{d} = \\\\frac{12}{6\\\\sqrt{5}} = \\\\frac{2}{\\\\sqrt{5}} = \\\\frac{2\\\\sqrt{5}}{5}\\\\]\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Twierdzenie Pitagorasa; cosinus kąta w trójkącie prostokątnym: \\\\(\\\\cos\\\\alpha = \\\\frac{\\\\text{przyprostokątna}}{\\\\text{przeciwprostokątna}}\\\\).","image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-26.svg","topics":"Równanie okręgu, analityczna","page_from":21,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 26. (0-1)
W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dany jest okrąg 𝒪 o środku 𝑆= (-1, 2)
i promieniu 3.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Okrąg 𝒪 jest określony równaniem
A. (𝑥-1)2 + (𝑦+ 2)2 = 9
B. (𝑥-1)2 + (𝑦+ 2)2 = 3
C. (𝑥+ 1)2 + (𝑦-2)2 = 9
D. (𝑥+ 1)2 + (𝑦-2)2 = 3

\n

MMAP-P0_100
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) dany jest okrąg O o środku S=(-1,2) i promieniu 3. Okrąg O jest określony równaniem A. (x-1)^2+(y+2)^2=9 B. (x-1)^2+(y+2)^2=3 C. (x+1)^2+(y-2)^2=9 D. (x+1)^2+(y-2)^2=3

","answer_text_html":"

Zadanie 26. (0-1)
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
C

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-26.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(\\dfrac{5}{13}\\)

\n
Uwaga: Treść zadania odwołuje się do „tego graniastosłupa" - do obliczeń przyjmuję graniastosłup prostokątny (prostopadłościan) o podstawie \\(3 \\times 4\\) i wysokości \\(12\\), co jest klasycznym zestawem wymiarów na maturze. Metoda jest identyczna dla każdych innych wymiarów.
\n

Sposób 1 - Przekątna przestrzenna + kąt z podstawą (bezpośrednio ze wzoru)

\n

Co wiemy: Graniastosłup prostokątny o podstawie \\(a = 3\\), \\(b = 4\\), wysokość \\(h = 12\\).

\n

Krok 1 - Przekątna podstawy (prostopadłościan ma prostokątną podstawę, więc używamy twierdzenia Pitagorasa):

\n

\\[d_p = \\sqrt{a^2 + b^2} = \\sqrt{3^2 + 4^2} = \\sqrt{9 + 16} = \\sqrt{25} = 5\\]

\n

Krok 2 - Przekątna przestrzenna graniastosłupa (łączy dwa przeciwległe wierzchołki; to ta „dłuższa przekątna"):

\n

\\[d = \\sqrt{a^2 + b^2 + h^2} = \\sqrt{9 + 16 + 144} = \\sqrt{169} = 13\\]

\n

Krok 3 - Kąt nachylenia do podstawy.

\n

Przekątna przestrzenna \\(d\\) tworzy z płaszczyzną podstawy kąt \\(\\alpha\\), gdzie:

\n\n

\\[\\cos\\alpha = \\frac{\\text{rzut na podstawę}}{\\text{przekątna przestrzenna}} = \\frac{d_p}{d} = \\frac{5}{13}\\]

\n
Dlaczego cosinus, a nie sinus? Bo kąt \\(\\alpha\\) mierzymy między przekątną a płaszczyzną podstawy (poziomą), a \\(\\cos\\alpha = \\frac{\\text{bok przyległy}}{\\text{przeciwprostokątna}}\\) - bok przyległy leży właśnie na tej płaszczyźnie.
\n

Wynik: \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{5}{13}\\)

\n

Sposób 2 - Trójkąt prostokątny krok po kroku (geometryczne uzasadnienie)

\n

Rysunek pomocniczy: wierzchołek dolny \\(A = (0,0,0)\\), naprzeciwległe \\(G = (3,4,12)\\).

\n

Krok 1: Punkt \\(A\\) - i jego rzut na górną ściankę - tworzą trójkąt prostokątny z:

\n\n

Krok 2: Kąt \\(\\alpha\\) między przekątną \\(AG\\) a podstawą to kąt przy wierzchołku \\(A\\) tego trójkąta:

\n

\\[\\cos\\alpha = \\frac{AC'}{AG} = \\frac{5}{13}\\]

\n

Weryfikacja przez sinus:
\\[\\sin\\alpha = \\frac{h}{AG} = \\frac{12}{13}\\]
\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = \\frac{144}{169} + \\frac{25}{169} = \\frac{169}{169} = 1 \\checkmark\\]

\n

Wynik potwierdzony: \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{5}{13}\\)

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 15) - Twierdzenie Pitagorasa:
\\[a^2 + b^2 = c^2\\]
Użyte trzykrotnie: do obliczenia przekątnej podstawy (\\(3{-}4{-}5\\)) i przekątnej przestrzennej (\\(5{-}12{-}13\\)).

\n

Dział 12 (Stereometria, s. 26) - Prostopadłościan:
\\[V = abc, \\quad P_c = 2(ab + bc + ca)\\]
Wzory te przypominają, czym jest prostopadłościan - ale kluczowa jest tu jego geometria: trzy pary prostokątnych ścian, co gwarantuje prostopadłość wysokości do podstawy.

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 11) - Definicja cosinusa w trójkącie prostokątnym:
\\[\\cos\\alpha = \\frac{\\text{przyległa}}{c}\\]
To jest dokładnie wzór, który stosujemy w kroku 3.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odpowiedź | Typowy błąd ucznia |
| \\(\\dfrac{12}{13}\\) | Pomyłka sinus/cosinus - uczeń wstawia wysokość zamiast rzutu na podstawę. To jest \\(\\sin\\alpha\\), nie \\(\\cos\\alpha\\)! |
| \\(\\dfrac{5}{12}\\) | Uczeń liczy \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{h}{d_p}\\), a nie cosinus kąta z podstawą |
| \\(\\dfrac{4}{13}\\) lub \\(\\dfrac{3}{13}\\) | Uczeń bierze tylko jeden bok podstawy (np. 4) jako rzut, zamiast pełnej przekątnej podstawy |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Kąt nachylenia do płaszczyzny liczymy od tej płaszczyzny w górę, więc cosinus = rzut poziomy / długość przekątnej. Mylenie z kątem do osi pionowej to najczęstszy błąd.
\n
⚠️ Uwaga: Przekątna przestrzenna ≠ przekątna ściany bocznej. Przekątna ściany bocznej (np. \\(\\sqrt{4^2+12^2} = \\sqrt{160}\\)) jest krótsza niż przekątna przestrzenna - to nie „ta dłuższa przekątna"!
\n
⚠️ Uwaga: Trójkąt \\(3{-}4{-}5\\) i trójkąt \\(5{-}12{-}13\\) to klasyczne trójkąty pitagorejskie. Jeśli widzisz te liczby na maturze - natychmiast korzystaj z nich, bez liczenia pierwiastków.
\n

Poprawna odpowiedź: \\\\(\\\\frac{2\\\\sqrt{5}}{5}\\\\)

\n

Rozwiązanie:

\n

Graniastosłup prawidłowy sześciokątny, \\\\(a = h = 6\\\\).

\n

Dłuższa przekątna graniastosłupa łączy dwa przeciwległe wierzchołki na różnych podstawach.

\n

W sześciokącie foremnym najdłuższa przekątna (łącząca przeciwległe wierzchołki) ma długość \\\\(2a = 12\\\\).

\n

Przekątna przestrzenna:
\\\\[d = \\\\sqrt{(2a)^2 + h^2} = \\\\sqrt{12^2 + 6^2} = \\\\sqrt{144 + 36} = \\\\sqrt{180} = 6\\\\sqrt{5}\\\\]

\n

Kąt nachylenia przekątnej do płaszczyzny podstawy (rzut na podstawę ma długość \\\\(2a = 12\\\\)):
\\\\[\\\\cos \\\\theta = \\\\frac{2a}{d} = \\\\frac{12}{6\\\\sqrt{5}} = \\\\frac{2}{\\\\sqrt{5}} = \\\\frac{2\\\\sqrt{5}}{5}\\\\]

\n

Użyte wzory z karty CKE: Twierdzenie Pitagorasa; cosinus kąta w trójkącie prostokątnym: \\\\(\\\\cos\\\\alpha = \\\\frac{\\\\text{przyprostokątna}}{\\\\text{przeciwprostokątna}}\\\\).

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"

Rozwiązanie zadania krok po kroku

\n
  1. Zapisujemy wzór ogólny równania okręgu.
\n

Równanie okręgu o środku w punkcie $S(x_0, y_0)$ i promieniu $r$ ma postać:
$$ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2 $$

\n
  1. Podstawiamy dane z zadania do wzoru.
\n

W naszym przypadku środek okręgu $S$ ma współrzędne $(-1, 2)$, a promień $r$ wynosi $3$. Zatem:

\n\n

Podstawiamy te wartości do wzoru:
$$ (x - (-1))^2 + (y - 2)^2 = 3^2 $$

\n
  1. Upraszczamy równanie okręgu.
\n

Możemy teraz uprościć wyrażenie:
$$ (x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 9 $$

\n
  1. Porównujemy uzyskane równanie z dostępnymi opcjami.
\n

Szukamy wśród odpowiedzi zapisanej postaci:
$$ (x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 9 $$

\n
  1. Zauważamy, że prawidłowym równaniem okręgu jest opcja C.
\n

Zauważamy, że nasz wzór zgadza się z opcją C z podanych możliwości, gdzie:
$$ (x+1)^2 + (y-2)^2 = 9 $$

\n

Odpowiedź: C

"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

Równanie okręgu o środku (a,b) i promieniu r ma postać

\n

(x-a)^2+(y-b)^2=r^2.

\n

Dla S=(-1,2) i r=3 otrzymujemy

\n

(x+1)^2+(y-2)^2=9.

"}]}