{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"27","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (0-1)\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) proste o równaniach:\n𝑦= √3𝑥+ 6\n𝑦= -√3𝑥+ 6\n𝑦= -1\n√3 𝑥-2,\nprzecinają się w punktach, które są wierzchołkami trójkąta 𝐾𝐿𝑀.\nDokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej\nuzasadnienie 1., 2. albo 3.\nTrójkąt 𝐾𝐿𝑀 jest\nA.\nrównoramienny,\nponieważ\n1.\noś 𝑂𝑥 przechodzi przez jeden z wierzchołków\ntego trójkąta i środek jednego z boków tego\ntrójkąta.\n2.\ndwie z tych prostych są prostopadłe.\nB.\nprostokątny,\n3.\noś 𝑂𝑦 zawiera dwusieczną tego trójkąta.\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) proste o równaniach: y=√3x+6, y=-√3x+6 y=-1/√3x-2 przecinają się w punktach, które są wierzchołkami trójkąta KLM. Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3. Trójkąt KLM jest A. równoramienny, B. prostokątny, ponieważ 1. oś Ox przechodzi przez jeden z wierzchołków tego trójkąta i środek jednego z boków tego trójkąta. 2. dwie z tych prostych są prostopadłe. 3. oś Oy zawiera dwusieczną tego trójkąta.","answer":"B2","answer_text":"Zadanie 27. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB2","solution":"## Poprawna odpowiedź: stosunek wynosi 6\n\n## Sposób 1 - Bezpośrednie użycie wzorów na pole\n\n**Wprowadzamy oznaczenia:**\n- \\(a\\) - krawędź podstawy (kwadrat)\n- \\(l\\) - wysokość ściany bocznej (apotema ściany bocznej, czyli wysokość trójkąta bocznego)\n\n**Pole podstawy** (kwadrat o boku \\(a\\)):\n\\[P_p = a^2\\]\n\n**Pole powierzchni bocznej** (4 trójkąty równoramienne, każdy o podstawie \\(a\\) i wysokości \\(l\\)):\n\\[P_b = 4 \\cdot \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot l = 2al\\]\n\n**Warunek z treści zadania:**\n\\[\\frac{P_b}{P_p} = 12\\]\n\n**Podstawiamy:**\n\\[\\frac{2al}{a^2} = 12\\]\n\n**Upraszczamy \\(a\\) (skoro \\(a > 0\\)):**\n\\[\\frac{2l}{a} = 12\\]\n\n**Dzielimy obie strony przez 2:**\n\\[\\frac{l}{a} = 6\\]\n\n**Stosunek wysokości ściany bocznej do krawędzi podstawy wynosi \\(\\boxed{6}\\).**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie konkretnych liczb\n\nWybieramy \\(a = 1\\), wtedy z warunku \\(\\frac{l}{a} = 6\\) mamy \\(l = 6\\).\n\nSprawdzamy:\n\\[P_p = 1^2 = 1\\]\n\\[P_b = 4 \\cdot \\frac{1}{2} \\cdot 1 \\cdot 6 = 12\\]\n\\[\\frac{P_b}{P_p} = \\frac{12}{1} = 12 \\checkmark\\]\n\nWarunek z treści spełniony.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28):**\n\nDla graniastosłupa/ostrosłupa prawidłowego:\n\\[P_b = P_{\\text{boczna}}, \\quad P_p = P_{\\text{podstawy}}\\]\n\nW przypadku ostrosłupa czworokątnego prawidłowego:\n- \\(P_p = a^2\\) - pole kwadratu\n- Każda ściana boczna to trójkąt: \\(P_\\triangle = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot l\\)\n\nKarta wzorów podaje ogólny wzór na pole boczne graniastosłupa prostego (\\(P_b = Ob \\cdot h\\)), natomiast dla ostrosłupa stosujemy bezpośrednio definicję pola trójkąta (Dział 10, s. 15):\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot \\text{podstawa} \\cdot \\text{wysokość}\\]\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić „wysokości ściany bocznej\" (apotema ściany \\(l\\), czyli wysokość trójkąta bocznego) z **wysokością ostrosłupa** (\\(H\\), odcinek od wierzchołka do środka podstawy). To dwie różne rzeczy!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pole powierzchni bocznej to suma pól **wszystkich 4** ścian bocznych, nie jednej. Błędem jest wyliczenie \\(P_b = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot l\\) (jedno tylko).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po zapisaniu \\(\\frac{2al}{a^2} = 12\\) upraszczamy przez \\(a\\) i dostajemy \\(\\frac{2l}{a} = 12\\), a nie \\(\\frac{l}{a} = 12\\). Pamiętaj o podzieleniu przez 2!\n\n**Poprawna odpowiedź: 6**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nOstrosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy \\\\(a\\\\) i wysokości ściany bocznej (apotemie) \\\\(h_f\\\\).\n\nPole podstawy: \\\\(P_p = a^2\\\\)\n\nPole powierzchni bocznej - 4 trójkąty o podstawie \\\\(a\\\\) i wysokości \\\\(h_f\\\\):\n\\\\[P_b = 4 \\\\cdot \\\\frac{1}{2} \\\\cdot a \\\\cdot h_f = 2a \\\\cdot h_f\\\\]\n\nZ warunku:\n\\\\[\\\\frac{P_b}{P_p} = 12\\\\]\n\\\\[\\\\frac{2a \\\\cdot h_f}{a^2} = 12\\\\]\n\\\\[\\\\frac{2h_f}{a} = 12\\\\]\n\\\\[\\\\frac{h_f}{a} = 6\\\\]\n\nStorunek wysokości ściany bocznej do krawędzi podstawy wynosi **6**.\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Ostrosłup: pole powierzchni bocznej jako suma pól trójkątów; pole kwadratu.","image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-27.svg","topics":"Funkcja liniowa, analityczna","page_from":22,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 27. (0-1)<br>W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) proste o równaniach:<br>𝑦= √3𝑥+ 6<br>𝑦= -√3𝑥+ 6<br>𝑦= -1<br>√3 𝑥-2,<br>przecinają się w punktach, które są wierzchołkami trójkąta 𝐾𝐿𝑀.<br>Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej<br>uzasadnienie 1., 2. albo 3.<br>Trójkąt 𝐾𝐿𝑀 jest<br>A.<br>równoramienny,<br>ponieważ<br>1.<br>oś 𝑂𝑥 przechodzi przez jeden z wierzchołków<br>tego trójkąta i środek jednego z boków tego<br>trójkąta.<br>2.<br>dwie z tych prostych są prostopadłe.<br>B.<br>prostokątny,<br>3.<br>oś 𝑂𝑦 zawiera dwusieczną tego trójkąta.<br>W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) proste o równaniach: y=√3x+6, y=-√3x+6 y=-1/√3x-2 przecinają się w punktach, które są wierzchołkami trójkąta KLM. Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3. Trójkąt KLM jest A. równoramienny, B. prostokątny, ponieważ 1. oś Ox przechodzi przez jeden z wierzchołków tego trójkąta i środek jednego z boków tego trójkąta. 2. dwie z tych prostych są prostopadłe. 3. oś Oy zawiera dwusieczną tego trójkąta.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 27. (0-1)<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>B2</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-27.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: stosunek wynosi 6</h4>\n<h4>Sposób 1 - Bezpośrednie użycie wzorów na pole</h4>\n<p><strong>Wprowadzamy oznaczenia:</strong></p>\n<ul><li>\\(a\\) - krawędź podstawy (kwadrat)</li><li>\\(l\\) - wysokość ściany bocznej (apotema ściany bocznej, czyli wysokość trójkąta bocznego)</li></ul>\n<p><strong>Pole podstawy</strong> (kwadrat o boku \\(a\\)):<br>\\[P_p = a^2\\]</p>\n<p><strong>Pole powierzchni bocznej</strong> (4 trójkąty równoramienne, każdy o podstawie \\(a\\) i wysokości \\(l\\)):<br>\\[P_b = 4 \\cdot \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot l = 2al\\]</p>\n<p><strong>Warunek z treści zadania:</strong><br>\\[\\frac{P_b}{P_p} = 12\\]</p>\n<p><strong>Podstawiamy:</strong><br>\\[\\frac{2al}{a^2} = 12\\]</p>\n<p><strong>Upraszczamy \\(a\\) (skoro \\(a &gt; 0\\)):</strong><br>\\[\\frac{2l}{a} = 12\\]</p>\n<p><strong>Dzielimy obie strony przez 2:</strong><br>\\[\\frac{l}{a} = 6\\]</p>\n<p><strong>Stosunek wysokości ściany bocznej do krawędzi podstawy wynosi \\(\\boxed{6}\\).</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie konkretnych liczb</h4>\n<p>Wybieramy \\(a = 1\\), wtedy z warunku \\(\\frac{l}{a} = 6\\) mamy \\(l = 6\\).</p>\n<p>Sprawdzamy:<br>\\[P_p = 1^2 = 1\\]<br>\\[P_b = 4 \\cdot \\frac{1}{2} \\cdot 1 \\cdot 6 = 12\\]<br>\\[\\frac{P_b}{P_p} = \\frac{12}{1} = 12 \\checkmark\\]</p>\n<p>Warunek z treści spełniony.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 12 (Stereometria, s. 26-28):</strong></p>\n<p>Dla graniastosłupa/ostrosłupa prawidłowego:<br>\\[P_b = P_{\\text{boczna}}, \\quad P_p = P_{\\text{podstawy}}\\]</p>\n<p>W przypadku ostrosłupa czworokątnego prawidłowego:</p>\n<ul><li>\\(P_p = a^2\\) - pole kwadratu</li><li>Każda ściana boczna to trójkąt: \\(P_\\triangle = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot l\\)</li></ul>\n<p>Karta wzorów podaje ogólny wzór na pole boczne graniastosłupa prostego (\\(P_b = Ob \\cdot h\\)), natomiast dla ostrosłupa stosujemy bezpośrednio definicję pola trójkąta (Dział 10, s. 15):<br>\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot \\text{podstawa} \\cdot \\text{wysokość}\\]</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie mylić „wysokości ściany bocznej&quot; (apotema ściany \\(l\\), czyli wysokość trójkąta bocznego) z <strong>wysokością ostrosłupa</strong> (\\(H\\), odcinek od wierzchołka do środka podstawy). To dwie różne rzeczy!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Pole powierzchni bocznej to suma pól <strong>wszystkich 4</strong> ścian bocznych, nie jednej. Błędem jest wyliczenie \\(P_b = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot l\\) (jedno tylko).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Po zapisaniu \\(\\frac{2al}{a^2} = 12\\) upraszczamy przez \\(a\\) i dostajemy \\(\\frac{2l}{a} = 12\\), a nie \\(\\frac{l}{a} = 12\\). Pamiętaj o podzieleniu przez 2!</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: 6</strong></p>\n<p><strong>Rozwiązanie:</strong></p>\n<p>Ostrosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy \\\\(a\\\\) i wysokości ściany bocznej (apotemie) \\\\(h_f\\\\).</p>\n<p>Pole podstawy: \\\\(P_p = a^2\\\\)</p>\n<p>Pole powierzchni bocznej - 4 trójkąty o podstawie \\\\(a\\\\) i wysokości \\\\(h_f\\\\):<br>\\\\[P_b = 4 \\\\cdot \\\\frac{1}{2} \\\\cdot a \\\\cdot h_f = 2a \\\\cdot h_f\\\\]</p>\n<p>Z warunku:<br>\\\\[\\\\frac{P_b}{P_p} = 12\\\\]<br>\\\\[\\\\frac{2a \\\\cdot h_f}{a^2} = 12\\\\]<br>\\\\[\\\\frac{2h_f}{a} = 12\\\\]<br>\\\\[\\\\frac{h_f}{a} = 6\\\\]</p>\n<p>Storunek wysokości ściany bocznej do krawędzi podstawy wynosi <strong>6</strong>.</p>\n<p><strong>Użyte wzory z karty CKE:</strong> Ostrosłup: pole powierzchni bocznej jako suma pól trójkątów; pole kwadratu.</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Współczynniki kierunkowe prostych wynoszą √(3) , -√(3) oraz -(1)/(√(3)) . Iloczyn współczynników pierwszej i trzeciej prostej jest równy</p>\n<p>√(3)· (-(1)/(√(3)) )=-1,</p>\n<p>więc te proste są prostopadłe. Trójkąt jest zatem prostokątny. Poprawna odpowiedź: B2.</p>"}]}