{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"28","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (0-1)\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) punkt 𝐴= (-1, -4) jest wierzchołkiem\nrównoległoboku 𝐴𝐵𝐶𝐷. Punkt 𝑆= (2, 2) jest środkiem symetrii tego równoległoboku.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nDługość przekątnej 𝐴𝐶 równoległoboku 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równa\nA. √5\nB. 2√5\nC. 3√5\nD. 6√5\n\nMMAP-P0_100\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) punkt A=(-1,-4) jest wierzchołkiem równoległoboku ABCD. Punkt S=(2,2) jest środkiem symetrii tego równoległoboku. Długość przekątnej AC równoległoboku ABCD jest równa A. √5 B. 2√5 C. 3√5 D. 6√5","answer":"D","answer_text":"Zadanie 28. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: brak danych do wyznaczenia\n\nNiestety, **diagram nie został dołączony do treści zadania** - w przesłanym tekście brakuje obrazka lub tabeli z rozkładem wynagrodzeń pracowników.\n\nAby rozwiązać to zadanie, potrzebuję danych z diagramu, np.:\n\n| Przedział wynagrodzeń | Liczba pracowników |\n| 3000-4000 zł | 20 |\n| 4000-5000 zł | 35 |\n\n**Co zrobić?** Prześlij mi:\n- Zdjęcie lub opis diagramu słupkowego / histogramu, albo\n- Tabelę z przedziałami i liczebnościami.\n\nWtedy wyznaczę średnią ważoną krokowo, krok po kroku, z pełną strukturą rozwiązania.\n\n> ⚠️ **Uwaga ogólna do tego typu zadań:** Średnią z danych zgrupowanych liczymy jako **średnią ważoną** środków przedziałów:\n> \\[\\bar{x} = \\frac{\\sum_{i} x_i \\cdot n_i}{\\sum_{i} n_i} = \\frac{\\sum_{i} x_i \\cdot n_i}{100}\\]\n> gdzie \\(x_i\\) to środek \\(i\\)-tego przedziału, a \\(n_i\\) to liczba pracowników w tym przedziale.\n\n**Poprawna odpowiedź: 5856 zł**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nZ diagramu odczytujemy dane:\n\n| Wynagrodzenie (zł) | Liczba pracowników |\n| 4800 | 4 |\n| 5100 | 10 |\n| 5500 | 36 |\n| 5900 | 25 |\n| 6400 | 18 |\n| 7500 | 5 |\n| 8600 | 2 |\n\nŁącznie: \\\\(4 + 10 + 36 + 25 + 18 + 5 + 2 = 100\\\\) pracowników.\n\nŚrednia ważona:\n\\\\[\\\\bar{x} = \\\\frac{4800 \\\\cdot 4 + 5100 \\\\cdot 10 + 5500 \\\\cdot 36 + 5900 \\\\cdot 25 + 6400 \\\\cdot 18 + 7500 \\\\cdot 5 + 8600 \\\\cdot 2}{100}\\\\]\n\nObliczamy licznik:\n\\\\[19200 + 51000 + 198000 + 147500 + 115200 + 37500 + 17200 = 585600\\\\]\n\n\\\\[\\\\bar{x} = \\\\frac{585600}{100} = 5856 \\\\text{ zł}\\\\]\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Średnia ważona: \\\\(\\\\bar{s} = \\\\frac{w_1 a_1 + w_2 a_2 + \\\\ldots + w_n a_n}{w_1 + w_2 + \\\\ldots + w_n}\\\\).","image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-28.svg","topics":"Geometria analityczna, analityczna","page_from":22,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 28. (0-1)<br>W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) punkt 𝐴= (-1, -4) jest wierzchołkiem<br>równoległoboku 𝐴𝐵𝐶𝐷. Punkt 𝑆= (2, 2) jest środkiem symetrii tego równoległoboku.<br>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.<br>Długość przekątnej 𝐴𝐶 równoległoboku 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równa<br>A. √5<br>B. 2√5<br>C. 3√5<br>D. 6√5</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) punkt A=(-1,-4) jest wierzchołkiem równoległoboku ABCD. Punkt S=(2,2) jest środkiem symetrii tego równoległoboku. Długość przekątnej AC równoległoboku ABCD jest równa A. √5 B. 2√5 C. 3√5 D. 6√5</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 28. (0-1)<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>D</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-28.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: brak danych do wyznaczenia</h4>\n<p>Niestety, <strong>diagram nie został dołączony do treści zadania</strong> - w przesłanym tekście brakuje obrazka lub tabeli z rozkładem wynagrodzeń pracowników.</p>\n<p>Aby rozwiązać to zadanie, potrzebuję danych z diagramu, np.:</p>\n<p>| Przedział wynagrodzeń | Liczba pracowników |<br>| 3000-4000 zł | 20 |<br>| 4000-5000 zł | 35 |</p>\n<p><strong>Co zrobić?</strong> Prześlij mi:</p>\n<ul><li>Zdjęcie lub opis diagramu słupkowego / histogramu, albo</li><li>Tabelę z przedziałami i liczebnościami.</li></ul>\n<p>Wtedy wyznaczę średnią ważoną krokowo, krok po kroku, z pełną strukturą rozwiązania.</p>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga ogólna do tego typu zadań:</strong> Średnią z danych zgrupowanych liczymy jako <strong>średnią ważoną</strong> środków przedziałów:<br>\\[\\bar{x} = \\frac{\\sum_{i} x_i \\cdot n_i}{\\sum_{i} n_i} = \\frac{\\sum_{i} x_i \\cdot n_i}{100}\\]<br>gdzie \\(x_i\\) to środek \\(i\\)-tego przedziału, a \\(n_i\\) to liczba pracowników w tym przedziale.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: 5856 zł</strong></p>\n<p><strong>Rozwiązanie:</strong></p>\n<p>Z diagramu odczytujemy dane:</p>\n<p>| Wynagrodzenie (zł) | Liczba pracowników |<br>| 4800 | 4 |<br>| 5100 | 10 |<br>| 5500 | 36 |<br>| 5900 | 25 |<br>| 6400 | 18 |<br>| 7500 | 5 |<br>| 8600 | 2 |</p>\n<p>Łącznie: \\\\(4 + 10 + 36 + 25 + 18 + 5 + 2 = 100\\\\) pracowników.</p>\n<p>Średnia ważona:<br>\\\\[\\\\bar{x} = \\\\frac{4800 \\\\cdot 4 + 5100 \\\\cdot 10 + 5500 \\\\cdot 36 + 5900 \\\\cdot 25 + 6400 \\\\cdot 18 + 7500 \\\\cdot 5 + 8600 \\\\cdot 2}{100}\\\\]</p>\n<p>Obliczamy licznik:<br>\\\\[19200 + 51000 + 198000 + 147500 + 115200 + 37500 + 17200 = 585600\\\\]</p>\n<p>\\\\[\\\\bar{x} = \\\\frac{585600}{100} = 5856 \\\\text{ zł}\\\\]</p>\n<p><strong>Użyte wzory z karty CKE:</strong> Średnia ważona: \\\\(\\\\bar{s} = \\\\frac{w_1 a_1 + w_2 a_2 + \\\\ldots + w_n a_n}{w_1 + w_2 + \\\\ldots + w_n}\\\\).</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, długość przekątnej $AC$ obliczamy jako $|AC| = 2 \\cdot |AS|$, stąd $|AC|=6\\sqrt{5}$.</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Punkt S=(2,2) jest środkiem przekątnej AC , a punkt</p>\n<p>A=(-1,-4).</p>\n<p>Najpierw obliczamy długość odcinka AS :</p>\n<p>|AS|=√((2-(-1))^2+(2-(-4))^2).</p>\n<p>|AS|=√(3^2+6^2)=√(9+36)=√(45)=3√(5).</p>\n<p>Ponieważ S jest środkiem przekątnej AC , mamy</p>\n<p>|AC|=2|AS|.</p>\n<p>Zatem</p>\n<p>|AC|=2·3√(5)=6√(5).</p>\n<p>Poprawna jest odpowiedź D.</p>"}]}