{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"29","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29.\nKażda krawędź graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość równą 6.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: **4536**\n\n## Sposób 1 - Zliczanie z regułą mnożenia (pozycja po pozycji)\n\nSzukamy czterocyfrowych liczb naturalnych, w których **żadna cyfra się nie powtarza**.\n\nLiczba czterocyfrowa ma postać \\(\\overline{abcd}\\), gdzie \\(a \\in \\{1, 2, \\ldots, 9\\}\\) (cyfra tysięcy - nie może być zerem!), a \\(b, c, d \\in \\{0, 1, \\ldots, 9\\}\\), przy czym wszystkie cztery cyfry są różne.\n\n**Krok 1 - cyfra tysięcy \\(a\\):**\nNie może być \\(0\\), więc mamy \\(9\\) możliwości:\n\\[a \\in \\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\\}\\]\n\n**Krok 2 - cyfra setek \\(b\\):**\nMoże być dowolną cyfrą z \\(\\{0,1,\\ldots,9\\}\\), byle różną od \\(a\\). Jedna cyfra wykluczona, więc:\n\\[9 \\text{ możliwości}\\]\n\n**Krok 3 - cyfra dziesiątek \\(c\\):**\nMoże być dowolną cyfrą z \\(\\{0,1,\\ldots,9\\}\\), byle różną od \\(a\\) i \\(b\\). Dwie cyfry wykluczone:\n\\[8 \\text{ możliwości}\\]\n\n**Krok 4 - cyfra jedności \\(d\\):**\nMusi być różna od \\(a\\), \\(b\\), \\(c\\). Trzy cyfry wykluczone:\n\\[7 \\text{ możliwości}\\]\n\n**Z reguły mnożenia:**\n\\[9 \\times 9 \\times 8 \\times 7 = \\mathbf{4536}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez permutacje (kombinatorycznie)\n\nDysponujemy \\(10\\) cyframi: \\(\\{0, 1, 2, \\ldots, 9\\}\\).\n\n**Wybieramy i ustawiamy 4 cyfry z 10 na 4 pozycjach** (kolejność ma znaczenie, bez powtórzeń) - to **wariacja bez powtórzeń**:\n\\[W_{10}^{4} = \\frac{10!}{(10-4)!} = 10 \\cdot 9 \\cdot 8 \\cdot 7 = 5040\\]\n\nJednak wśród tych \\(5040\\) ustawień są takie, gdzie cyfra tysięcy (pierwsza pozycja) to \\(0\\) - a to nie są liczby czterocyfrowe!\n\n**Odejmujemy przypadki z zerem na pierwszym miejscu:**\nUstalamy \\(a = 0\\), a pozostałe trzy pozycje wypełniamy z 9 pozostałych cyfr:\n\\[9 \\cdot 8 \\cdot 7 = 504\\]\n\n**Wynik:**\n\\[5040 - 504 = \\mathbf{4536}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 13 (Kombinatoryka, s. 28)** - wariacje bez powtórzeń:\n\\[W_n^k = \\frac{n!}{(n-k)!} = n(n-1)(n-2)\\cdot\\ldots\\cdot(n-k+1)\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 2: \\(W_{10}^{4} = 10 \\cdot 9 \\cdot 8 \\cdot 7\\).\n\nW Sposobie 1 korzystamy bezpośrednio z **reguły mnożenia** (zasada iloczynu) - jeśli czynność składa się z kolejnych niezależnych kroków, całkowitą liczbę możliwości obliczamy jako iloczyn liczb możliwości na każdym kroku.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\nTo zadanie otwarte - ale typowe błędne wyniki i ich przyczyny:\n\n| Błędny wynik | Błąd |\n| \\(5040\\) | Policzono \\(10 \\cdot 9 \\cdot 8 \\cdot 7\\), zapominając odjąć przypadki z \\(0\\) na pierwszej pozycji |\n| \\(9 \\cdot 8 \\cdot 7 \\cdot 6 = 3024\\) | Założono błędnie, że wszystkie cyfry są z \\(\\{1,\\ldots,9\\}\\) - wykluczono zero w ogóle |\n| \\(9^4 = 6561\\) | Policzono z powtórzeniami cyfr \\(1\\)-\\(9\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Cyfra \\(0\\) jest dozwolona - ale **tylko na pozycjach setek, dziesiątek i jedności**, nie na pozycji tysięcy. To dlatego pierwsza pozycja ma \\(9\\) (nie \\(10\\)!) możliwości, a drugą pozycję też obejmuje \\(9\\) możliwości (bo zero wchodzi do gry, za to odpada cyfra z pierwszej pozycji).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kluczowe jest zauważenie, że na drugiej pozycji znowu jest \\(9\\) możliwości - nie \\(8\\)! To częsty błąd: uczniowie myślą „skoro pierwsza pozycja miała \\(9\\) możliwości i jedna odpadła, to druga ma \\(8\\)\". Nie - bo do puli wraca cyfra \\(0\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** „Cyfry się nie powtarzają\" oznacza, że każda z czterech cyfr jest inna. Nie chodzi o zakaz użycia konkretnej cyfry, tylko o zakaz jej powtórzenia w tej samej liczbie.\n\n**Odpowiedź: 4536**\n\n**Sposób 1** - reguła mnożenia\n\nSzukamy czterocyfrowych liczb naturalnych z niepowtarzającymi się cyframi.\n\nCyfry: \\(\\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\\}\\) - 10 cyfr.\n\n**Cyfra tysięcy:** nie może być 0 (bo wtedy nie byłaby czterocyfrowa):\n\\[9 \\text{ możliwości}\\]\n\n**Cyfra setek:** dowolna z 9 pozostałych (bo jedna już użyta):\n\\[9 \\text{ możliwości}\\]\n\n**Cyfra dziesiątek:** z 8 pozostałych:\n\\[8 \\text{ możliwości}\\]\n\n**Cyfra jedności:** z 7 pozostałych:\n\\[7 \\text{ możliwości}\\]\n\nŁącznie:\n\\[9 \\cdot 9 \\cdot 8 \\cdot 7 = 4536\\]\n\n**Uwaga:** Pierwsza cyfra ma 9 opcji (bez zera), a druga też 9 (bo z puli 10 usunęliśmy jedną użytą, ale zero jest z powrotem dostępne). To najczęściej popełniany błąd - uczniowie piszą \\(9 \\cdot 9 \\cdot 8 \\cdot 7\\) lub \\(10 \\cdot 9 \\cdot 8 \\cdot 7\\) (ta druga wartość = 5040 jest błędna, bo zawiera \"liczby\" zaczynające się od 0).\n\n**Sposób 2** - odejmowanie\n\nWszystkie 4-elementowe wariacje bez powtórzeń z 10:\n\\[V_4^{10} = 10 \\cdot 9 \\cdot 8 \\cdot 7 = 5040\\]\n\nMinus te zaczynające się od 0 (3-elementowe wariacje z 9):\n\\[V_3^9 = 9 \\cdot 8 \\cdot 7 = 504\\]\n\n\\[5040 - 504 = 4536\\]\n\n**Wzory z karty CKE:**\n- Wariacje bez powtórzeń (Dział 15, s. 23)","image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":23,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 29.
Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość równą 6.

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: 4536

\n

Sposób 1 - Zliczanie z regułą mnożenia (pozycja po pozycji)

\n

Szukamy czterocyfrowych liczb naturalnych, w których żadna cyfra się nie powtarza.

\n

Liczba czterocyfrowa ma postać \\(\\overline{abcd}\\), gdzie \\(a \\in \\{1, 2, \\ldots, 9\\}\\) (cyfra tysięcy - nie może być zerem!), a \\(b, c, d \\in \\{0, 1, \\ldots, 9\\}\\), przy czym wszystkie cztery cyfry są różne.

\n

Krok 1 - cyfra tysięcy \\(a\\):
Nie może być \\(0\\), więc mamy \\(9\\) możliwości:
\\[a \\in \\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\\}\\]

\n

Krok 2 - cyfra setek \\(b\\):
Może być dowolną cyfrą z \\(\\{0,1,\\ldots,9\\}\\), byle różną od \\(a\\). Jedna cyfra wykluczona, więc:
\\[9 \\text{ możliwości}\\]

\n

Krok 3 - cyfra dziesiątek \\(c\\):
Może być dowolną cyfrą z \\(\\{0,1,\\ldots,9\\}\\), byle różną od \\(a\\) i \\(b\\). Dwie cyfry wykluczone:
\\[8 \\text{ możliwości}\\]

\n

Krok 4 - cyfra jedności \\(d\\):
Musi być różna od \\(a\\), \\(b\\), \\(c\\). Trzy cyfry wykluczone:
\\[7 \\text{ możliwości}\\]

\n

Z reguły mnożenia:
\\[9 \\times 9 \\times 8 \\times 7 = \\mathbf{4536}\\]

\n

Sposób 2 - Przez permutacje (kombinatorycznie)

\n

Dysponujemy \\(10\\) cyframi: \\(\\{0, 1, 2, \\ldots, 9\\}\\).

\n

Wybieramy i ustawiamy 4 cyfry z 10 na 4 pozycjach (kolejność ma znaczenie, bez powtórzeń) - to wariacja bez powtórzeń:
\\[W_{10}^{4} = \\frac{10!}{(10-4)!} = 10 \\cdot 9 \\cdot 8 \\cdot 7 = 5040\\]

\n

Jednak wśród tych \\(5040\\) ustawień są takie, gdzie cyfra tysięcy (pierwsza pozycja) to \\(0\\) - a to nie są liczby czterocyfrowe!

\n

Odejmujemy przypadki z zerem na pierwszym miejscu:
Ustalamy \\(a = 0\\), a pozostałe trzy pozycje wypełniamy z 9 pozostałych cyfr:
\\[9 \\cdot 8 \\cdot 7 = 504\\]

\n

Wynik:
\\[5040 - 504 = \\mathbf{4536}\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 13 (Kombinatoryka, s. 28) - wariacje bez powtórzeń:
\\[W_n^k = \\frac{n!}{(n-k)!} = n(n-1)(n-2)\\cdot\\ldots\\cdot(n-k+1)\\]
Użyliśmy tego w Sposobie 2: \\(W_{10}^{4} = 10 \\cdot 9 \\cdot 8 \\cdot 7\\).

\n

W Sposobie 1 korzystamy bezpośrednio z reguły mnożenia (zasada iloczynu) - jeśli czynność składa się z kolejnych niezależnych kroków, całkowitą liczbę możliwości obliczamy jako iloczyn liczb możliwości na każdym kroku.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

To zadanie otwarte - ale typowe błędne wyniki i ich przyczyny:

\n

| Błędny wynik | Błąd |
| \\(5040\\) | Policzono \\(10 \\cdot 9 \\cdot 8 \\cdot 7\\), zapominając odjąć przypadki z \\(0\\) na pierwszej pozycji |
| \\(9 \\cdot 8 \\cdot 7 \\cdot 6 = 3024\\) | Założono błędnie, że wszystkie cyfry są z \\(\\{1,\\ldots,9\\}\\) - wykluczono zero w ogóle |
| \\(9^4 = 6561\\) | Policzono z powtórzeniami cyfr \\(1\\)-\\(9\\) |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Cyfra \\(0\\) jest dozwolona - ale tylko na pozycjach setek, dziesiątek i jedności, nie na pozycji tysięcy. To dlatego pierwsza pozycja ma \\(9\\) (nie \\(10\\)!) możliwości, a drugą pozycję też obejmuje \\(9\\) możliwości (bo zero wchodzi do gry, za to odpada cyfra z pierwszej pozycji).
\n
⚠️ Uwaga: Kluczowe jest zauważenie, że na drugiej pozycji znowu jest \\(9\\) możliwości - nie \\(8\\)! To częsty błąd: uczniowie myślą „skoro pierwsza pozycja miała \\(9\\) możliwości i jedna odpadła, to druga ma \\(8\\)". Nie - bo do puli wraca cyfra \\(0\\)!
\n
⚠️ Uwaga: „Cyfry się nie powtarzają" oznacza, że każda z czterech cyfr jest inna. Nie chodzi o zakaz użycia konkretnej cyfry, tylko o zakaz jej powtórzenia w tej samej liczbie.
\n

Odpowiedź: 4536

\n

Sposób 1 - reguła mnożenia

\n

Szukamy czterocyfrowych liczb naturalnych z niepowtarzającymi się cyframi.

\n

Cyfry: \\(\\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\\}\\) - 10 cyfr.

\n

Cyfra tysięcy: nie może być 0 (bo wtedy nie byłaby czterocyfrowa):
\\[9 \\text{ możliwości}\\]

\n

Cyfra setek: dowolna z 9 pozostałych (bo jedna już użyta):
\\[9 \\text{ możliwości}\\]

\n

Cyfra dziesiątek: z 8 pozostałych:
\\[8 \\text{ możliwości}\\]

\n

Cyfra jedności: z 7 pozostałych:
\\[7 \\text{ możliwości}\\]

\n

Łącznie:
\\[9 \\cdot 9 \\cdot 8 \\cdot 7 = 4536\\]

\n

Uwaga: Pierwsza cyfra ma 9 opcji (bez zera), a druga też 9 (bo z puli 10 usunęliśmy jedną użytą, ale zero jest z powrotem dostępne). To najczęściej popełniany błąd - uczniowie piszą \\(9 \\cdot 9 \\cdot 8 \\cdot 7\\) lub \\(10 \\cdot 9 \\cdot 8 \\cdot 7\\) (ta druga wartość = 5040 jest błędna, bo zawiera "liczby" zaczynające się od 0).

\n

Sposób 2 - odejmowanie

\n

Wszystkie 4-elementowe wariacje bez powtórzeń z 10:
\\[V_4^{10} = 10 \\cdot 9 \\cdot 8 \\cdot 7 = 5040\\]

\n

Minus te zaczynające się od 0 (3-elementowe wariacje z 9):
\\[V_3^9 = 9 \\cdot 8 \\cdot 7 = 504\\]

\n

\\[5040 - 504 = 4536\\]

\n

Wzory z karty CKE:

\n"}]}