{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba log25 1 -1\n2 log25 5 jest równa\nA. (-1\n4)\nB. (-1\n2)\nC. 1\n4\nD. 1\n2\n\nMMAP-P0_100\nLiczba log_25 1 - 1/2 log_25 5 jest równa A. (-1/4) B. (-1/2) C. 1/4 D. 1/2","answer":"A","answer_text":"Zadanie 3. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: A (\\(16\\frac{2}{3}\\%\\) początkowej wartości)\n\n## Sposób 1 - bezpośrednie obliczenie procentu obniżki\n\n**Obliczamy, o ile złotych obniżono cenę:**\n\\[240 - 200 = 40 \\text{ zł}\\]\n\n**Obliczamy, jaką część początkowej ceny stanowi ta obniżka:**\n\\[\\frac{40}{240} = \\frac{1}{6}\\]\n\n**Przeliczamy na procenty:**\n\\[\\frac{1}{6} \\cdot 100\\% = \\frac{100}{6}\\% = 16\\frac{2}{3}\\%\\]\n\n**Odpowiedź: cenę obniżono o \\(\\boldsymbol{16\\frac{2}{3}\\%}\\) wartości początkowej.**\n\n## Sposób 2 - przez udział nowej ceny w cenie pierwotnej\n\nZamiast liczyć samą obniżkę, sprawdzamy, jakim ułamkiem ceny wyjściowej jest cena po przecenie:\n\n\\[\\frac{200}{240} = \\frac{5}{6} \\approx 83\\frac{1}{3}\\%\\]\n\nNowa cena stanowi \\(\\frac{5}{6}\\) ceny pierwotnej, więc obniżka to:\n\n\\[1 - \\frac{5}{6} = \\frac{1}{6} = 16\\frac{2}{3}\\%\\]\n\nWynik identyczny - **obniżono o \\(16\\frac{2}{3}\\%\\)** ceny pierwotnej.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja procentu i podstawowe działania arytmetyczne na ułamkach.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Wynik | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| B | \\(20\\%\\) | Obliczenie \\(\\frac{40}{200} \\cdot 100\\%\\) - podzielono obniżkę przez **nową cenę** zamiast przez cenę **pierwotną** |\n| C | \\(40\\%\\) | Wzięto absolutną obniżkę w złotówkach (40 zł) i odczytano ją jako procent - pominięto dzielenie |\n| D | \\(83\\frac{1}{3}\\%\\) | Obliczono, jaki procent ceny pierwotnej stanowi **nowa cena** (\\(\\frac{200}{240}\\)), zamiast jaki procent stanowi **różnica** |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Procent obniżki zawsze liczymy względem ceny **pierwotnej** (wyjściowej), nie końcowej. To najczęstszy błąd - odpowiedź B powstaje właśnie z tego błędu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kwota obniżki (40 zł) to nie to samo co procent obniżki (16⅔%). Nie wolno mieszać jednostek.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź D jest wynikiem poprawnego obliczenia - ale złej rzeczy. Uczeń policzył, ile zostało, zamiast ile odjęto. Warto sprawdzić, czy pytanie brzmi „o ile obniżono\" czy „ile wynosi nowa cena\".\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nCena początkowa: 240 zł, cena po obniżce: 200 zł.\n\nObniżka wynosi:\n\\\\[240 - 200 = 40 \\\\text{ zł}\\\\]\n\nProcent obniżki:\n\\\\[\\\\frac{40}{240} \\\\cdot 100\\\\% = \\\\frac{1}{6} \\\\cdot 100\\\\% = 16\\\\frac{2}{3}\\\\%\\\\]\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Obliczanie procentów (procent = część/całość × 100%).\n\n**Dlaczego inne odpowiedzi są błędne:**\n- B. 20% - byłoby 20% gdyby \\\\(\\\\frac{40}{200}\\\\), ale liczymy procent od ceny początkowej (240), nie końcowej\n- C. 40% - to kwota obniżki w złotych, nie procent\n- D. \\\\(83\\\\frac{1}{3}\\\\%\\\\) - to procent, który stanowi nowa cena z początkowej (\\\\(\\\\frac{200}{240}\\\\)), nie procent obniżki","image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-3.svg","topics":"Logarytmy","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 3. (0-1)<br>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.<br>Liczba log25 1 -1<br>2 log25 5 jest równa<br>A. (-1<br>4)<br>B. (-1<br>2)<br>C. 1<br>4<br>D. 1<br>2</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>Liczba log_25 1 - 1/2 log_25 5 jest równa A. (-1/4) B. (-1/2) C. 1/4 D. 1/2</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 3. (0-1)<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>A<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-3.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A (\\(16\\frac{2}{3}\\%\\) początkowej wartości)</h4>\n<h4>Sposób 1 - bezpośrednie obliczenie procentu obniżki</h4>\n<p><strong>Obliczamy, o ile złotych obniżono cenę:</strong><br>\\[240 - 200 = 40 \\text{ zł}\\]</p>\n<p><strong>Obliczamy, jaką część początkowej ceny stanowi ta obniżka:</strong><br>\\[\\frac{40}{240} = \\frac{1}{6}\\]</p>\n<p><strong>Przeliczamy na procenty:</strong><br>\\[\\frac{1}{6} \\cdot 100\\% = \\frac{100}{6}\\% = 16\\frac{2}{3}\\%\\]</p>\n<p><strong>Odpowiedź: cenę obniżono o \\(\\boldsymbol{16\\frac{2}{3}\\%}\\) wartości początkowej.</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - przez udział nowej ceny w cenie pierwotnej</h4>\n<p>Zamiast liczyć samą obniżkę, sprawdzamy, jakim ułamkiem ceny wyjściowej jest cena po przecenie:</p>\n<p>\\[\\frac{200}{240} = \\frac{5}{6} \\approx 83\\frac{1}{3}\\%\\]</p>\n<p>Nowa cena stanowi \\(\\frac{5}{6}\\) ceny pierwotnej, więc obniżka to:</p>\n<p>\\[1 - \\frac{5}{6} = \\frac{1}{6} = 16\\frac{2}{3}\\%\\]</p>\n<p>Wynik identyczny - <strong>obniżono o \\(16\\frac{2}{3}\\%\\)</strong> ceny pierwotnej.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja procentu i podstawowe działania arytmetyczne na ułamkach.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Wynik | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |<br>| B | \\(20\\%\\) | Obliczenie \\(\\frac{40}{200} \\cdot 100\\%\\) - podzielono obniżkę przez <strong>nową cenę</strong> zamiast przez cenę <strong>pierwotną</strong> |<br>| C | \\(40\\%\\) | Wzięto absolutną obniżkę w złotówkach (40 zł) i odczytano ją jako procent - pominięto dzielenie |<br>| D | \\(83\\frac{1}{3}\\%\\) | Obliczono, jaki procent ceny pierwotnej stanowi <strong>nowa cena</strong> (\\(\\frac{200}{240}\\)), zamiast jaki procent stanowi <strong>różnica</strong> |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Procent obniżki zawsze liczymy względem ceny <strong>pierwotnej</strong> (wyjściowej), nie końcowej. To najczęstszy błąd - odpowiedź B powstaje właśnie z tego błędu.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Kwota obniżki (40 zł) to nie to samo co procent obniżki (16⅔%). Nie wolno mieszać jednostek.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Odpowiedź D jest wynikiem poprawnego obliczenia - ale złej rzeczy. Uczeń policzył, ile zostało, zamiast ile odjęto. Warto sprawdzić, czy pytanie brzmi „o ile obniżono&quot; czy „ile wynosi nowa cena&quot;.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<p><strong>Rozwiązanie:</strong></p>\n<p>Cena początkowa: 240 zł, cena po obniżce: 200 zł.</p>\n<p>Obniżka wynosi:<br>\\\\[240 - 200 = 40 \\\\text{ zł}\\\\]</p>\n<p>Procent obniżki:<br>\\\\[\\\\frac{40}{240} \\\\cdot 100\\\\% = \\\\frac{1}{6} \\\\cdot 100\\\\% = 16\\\\frac{2}{3}\\\\%\\\\]</p>\n<p><strong>Użyte wzory z karty CKE:</strong> Obliczanie procentów (procent = część/całość × 100%).</p>\n<p><strong>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne:</strong></p>\n<ul><li>B. 20% - byłoby 20% gdyby \\\\(\\\\frac{40}{200}\\\\), ale liczymy procent od ceny początkowej (240), nie końcowej</li><li>C. 40% - to kwota obniżki w złotych, nie procent</li><li>D. \\\\(83\\\\frac{1}{3}\\\\%\\\\) - to procent, który stanowi nowa cena z początkowej (\\\\(\\\\frac{200}{240}\\\\)), nie procent obniżki</li></ul>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<ol><li>Zacznijmy od zapisania wyrażenia, które chcemy obliczyć:</li></ol>\n<p>$$\\text{Wyrażenie} = \\\\log_{25} 1 - \\frac{1}{2} \\\\log_{25} 5$$</p>\n<ol><li>Obliczmy wartość $\\\\log_{25} 1$. Z definicji logarytmu wiemy, że:</li></ol>\n<p>$$\\\\log_{a} 1 = 0$$<br>Dla dowolnej bazy $a &gt; 0$ (w tym przypadku $25$), ponieważ $25^0 = 1$. Zatem:<br>$$\\\\log_{25} 1 = 0$$</p>\n<ol><li>Podstawiamy tę wartość do naszego wyrażenia:</li></ol>\n<p>$$0 - \\frac{1}{2} \\\\log_{25} 5$$</p>\n<ol><li>Teraz zajmiemy się obliczeniem $\\\\log_{25} 5$. Możemy skorzystać z właściwości logarytmów. Zauważmy, że $25 = 5^2$, więc:</li></ol>\n<p>$$\\\\log_{25} 5 = \\\\\\frac{\\\\log_{5} 5}{\\\\log_{5} 25}$$</p>\n<ol><li>Obliczmy poszczególne logarytmy:</li></ol>\n<p>$$\\\\log_{5} 5 = 1$$<br>$$\\\\log_{5} 25 = 2$$<br>Ponieważ $25 = 5^2$. Zatem:<br>$$\\\\log_{25} 5 = \\\\frac{1}{2}$$</p>\n<ol><li>Podstawiamy obliczoną wartość do naszego wyrażenia:</li></ol>\n<p>$$0 - \\frac{1}{2} \\\\cdot \\frac{1}{2}$$</p>\n<ol><li>Uprośćmy to wyrażenie:</li></ol>\n<p>$$0 - \\frac{1}{4}$$</p>\n<ol><li>Wynik jest więc równy:</li></ol>\n<p>$$-\\frac{1}{4}$$</p>\n<p><strong>Odpowiedź:</strong> $-\\frac{1}{4}$</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>log_251-(1)/(2)log_255<br>=0-(1)/(2)·(1)/(2)<br>=-(1)/(4).</p>\n<p>Zatem poprawna jest odpowiedź A.</p>"}]}