{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"30","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nWszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym cyfry się\nnie powtarzają, jest\nA. 9 ⋅10 ⋅10 ⋅10 ⋅10\nB. 9 ⋅9 ⋅9 ⋅9\nC. 10 ⋅9 ⋅8 ⋅7\nD. 9 ⋅9 ⋅8 ⋅7\nWszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym cyfry się nie powtarzają, jest A. 9⋅10⋅10⋅10⋅10 B. 9⋅9⋅9⋅9 C. 10⋅9⋅8⋅7 D. 9⋅9⋅8⋅7","answer":"D","answer_text":"Zadanie 30. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x \\in (-4, 1)\\)\n\n## Sposób 1 - Przekształcenie do postaci kwadratowej i delta\n\n**Przenosimy wszystko na lewą stronę:**\n\n\\[5 - x^2 > 3x + 1\\]\n\\[5 - x^2 - 3x - 1 > 0\\]\n\\[-x^2 - 3x + 4 > 0\\]\n\nMnożymy obie strony przez \\(-1\\) - **uwaga: nierówność zmienia kierunek!**\n\n\\[x^2 + 3x - 4 < 0\\]\n\n**Szukamy miejsc zerowych trójmianu** \\(f(x) = x^2 + 3x - 4\\):\n\n\\[\\Delta = 3^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot (-4) = 9 + 16 = 25\\]\n\\[x_1 = \\frac{-3 - \\sqrt{25}}{2} = \\frac{-3 - 5}{2} = \\frac{-8}{2} = -4\\]\n\\[x_2 = \\frac{-3 + \\sqrt{25}}{2} = \\frac{-3 + 5}{2} = \\frac{2}{2} = 1\\]\n\n**Interpretacja:** Parabola \\(f(x) = x^2 + 3x - 4\\) ma ramiona skierowane **w górę** (współczynnik przy \\(x^2\\) to \\(+1 > 0\\)), więc jest **poniżej zera** między pierwiastkami.\n\n\\[x^2 + 3x - 4 < 0 \\iff x \\in (-4, 1)\\]\n\n**Odpowiedź:** \\(\\boxed{x \\in (-4, 1)}\\)\n\n## Sposób 2 - Faktoryzacja (rozkład na czynniki)\n\nPo sprowadzeniu do postaci:\n\\[x^2 + 3x - 4 < 0\\]\n\nPróbujemy rozłożyć na czynniki **\"na oko\"** - szukamy dwóch liczb, których:\n- iloczyn \\(= -4\\)\n- suma \\(= 3\\)\n\nTakie liczby to \\(4\\) i \\(-1\\), bo \\(4 \\cdot (-1) = -4\\) i \\(4 + (-1) = 3\\). Zatem:\n\n\\[x^2 + 3x - 4 = (x + 4)(x - 1)\\]\n\nNierówność przyjmuje postać:\n\\[(x + 4)(x - 1) < 0\\]\n\nIloczyn dwóch czynników jest ujemny, gdy **jeden jest dodatni, drugi ujemny**. Analizujemy znaki:\n\n| Przedział | \\(x + 4\\) | \\(x - 1\\) | Iloczyn |\n| \\(x < -4\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) |\n| \\(-4 < x < 1\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) ✓ |\n| \\(x > 1\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) |\n\nIloczyn jest ujemny dokładnie dla \\(x \\in (-4, 1)\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wyróżnik i miejsca zerowe:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\nUżyliśmy w Sposobie 1 do wyznaczenia pierwiastków \\(x_1 = -4\\), \\(x_2 = 1\\).\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mnożąc obie strony nierówności przez liczbę **ujemną**, musisz odwrócić znak nierówności. Tutaj przy mnożeniu przez \\(-1\\) znak \\(>\\) zamienia się w \\(<\\). To najczęstszy błąd!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Końcowy wynik to przedział **otwarty** \\((-4, 1)\\) - punkty \\(x = -4\\) i \\(x = 1\\) **nie należą** do rozwiązania, bo nierówność jest ostra (\\(>\\), nie \\(\\geq\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po znalezieniu pierwiastków paraboli skierowanej ramionami w górę - parabola jest **poniżej zera między pierwiastkami**, a powyżej zera **na zewnątrz**. Nie pomyl tych dwóch przypadków!\n\n**Poprawna odpowiedź: \\\\(x \\\\in (-4, 1)\\\\)**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nRozwiązujemy nierówność:\n\\\\[5 - x^2 > 3x + 1\\\\]\n\nPrzenosimy wszystko na jedną stronę:\n\\\\[-x^2 - 3x + 4 > 0\\\\]\n\nMnożymy przez \\\\(-1\\\\) (zmieniamy znak nierówności):\n\\\\[x^2 + 3x - 4 < 0\\\\]\n\nRozkładamy trójmian na czynniki. Wyróżnik:\n\\\\[\\\\Delta = 9 + 16 = 25\\\\]\n\\\\[x_1 = \\\\frac{-3 - 5}{2} = -4, \\\\quad x_2 = \\\\frac{-3 + 5}{2} = 1\\\\]\n\nZatem:\n\\\\[x^2 + 3x - 4 = (x + 4)(x - 1)\\\\]\n\nNierówność \\\\((x+4)(x-1) < 0\\\\) jest spełniona, gdy \\\\(x \\\\in (-4, 1)\\\\).\n\n(Parabola \\\\(y = x^2 + 3x - 4\\\\) jest skierowana ramionami w górę, więc jest ujemna między pierwiastkami.)\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Wyróżnik \\\\(\\\\Delta = b^2 - 4ac\\\\); miejsca zerowe trójmianu kwadratowego; postać iloczynowa \\\\(a(x-x_1)(x-x_2)\\\\).","image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-30.svg","topics":"Kombinatoryka","page_from":24,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 30. (0-1)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym cyfry się
nie powtarzają, jest
A. 9 ⋅10 ⋅10 ⋅10 ⋅10
B. 9 ⋅9 ⋅9 ⋅9
C. 10 ⋅9 ⋅8 ⋅7
D. 9 ⋅9 ⋅8 ⋅7
Wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym cyfry się nie powtarzają, jest A. 9⋅10⋅10⋅10⋅10 B. 9⋅9⋅9⋅9 C. 10⋅9⋅8⋅7 D. 9⋅9⋅8⋅7

","answer_text_html":"

Zadanie 30. (0-1)
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
D

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-30.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(x \\in (-4, 1)\\)

\n

Sposób 1 - Przekształcenie do postaci kwadratowej i delta

\n

Przenosimy wszystko na lewą stronę:

\n

\\[5 - x^2 > 3x + 1\\]
\\[5 - x^2 - 3x - 1 > 0\\]
\\[-x^2 - 3x + 4 > 0\\]

\n

Mnożymy obie strony przez \\(-1\\) - uwaga: nierówność zmienia kierunek!

\n

\\[x^2 + 3x - 4 < 0\\]

\n

Szukamy miejsc zerowych trójmianu \\(f(x) = x^2 + 3x - 4\\):

\n

\\[\\Delta = 3^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot (-4) = 9 + 16 = 25\\]
\\[x_1 = \\frac{-3 - \\sqrt{25}}{2} = \\frac{-3 - 5}{2} = \\frac{-8}{2} = -4\\]
\\[x_2 = \\frac{-3 + \\sqrt{25}}{2} = \\frac{-3 + 5}{2} = \\frac{2}{2} = 1\\]

\n

Interpretacja: Parabola \\(f(x) = x^2 + 3x - 4\\) ma ramiona skierowane w górę (współczynnik przy \\(x^2\\) to \\(+1 > 0\\)), więc jest poniżej zera między pierwiastkami.

\n

\\[x^2 + 3x - 4 < 0 \\iff x \\in (-4, 1)\\]

\n

Odpowiedź: \\(\\boxed{x \\in (-4, 1)}\\)

\n

Sposób 2 - Faktoryzacja (rozkład na czynniki)

\n

Po sprowadzeniu do postaci:
\\[x^2 + 3x - 4 < 0\\]

\n

Próbujemy rozłożyć na czynniki "na oko" - szukamy dwóch liczb, których:

\n\n

Takie liczby to \\(4\\) i \\(-1\\), bo \\(4 \\cdot (-1) = -4\\) i \\(4 + (-1) = 3\\). Zatem:

\n

\\[x^2 + 3x - 4 = (x + 4)(x - 1)\\]

\n

Nierówność przyjmuje postać:
\\[(x + 4)(x - 1) < 0\\]

\n

Iloczyn dwóch czynników jest ujemny, gdy jeden jest dodatni, drugi ujemny. Analizujemy znaki:

\n

| Przedział | \\(x + 4\\) | \\(x - 1\\) | Iloczyn |
| \\(x < -4\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) |
| \\(-4 < x < 1\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) ✓ |
| \\(x > 1\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) |

\n

Iloczyn jest ujemny dokładnie dla \\(x \\in (-4, 1)\\). ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - wyróżnik i miejsca zerowe:
\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]
Użyliśmy w Sposobie 1 do wyznaczenia pierwiastków \\(x_1 = -4\\), \\(x_2 = 1\\).

\n

Typowe pułapki

\n
⚠️ Uwaga: Mnożąc obie strony nierówności przez liczbę ujemną, musisz odwrócić znak nierówności. Tutaj przy mnożeniu przez \\(-1\\) znak \\(>\\) zamienia się w \\(<\\). To najczęstszy błąd!
\n
⚠️ Uwaga: Końcowy wynik to przedział otwarty \\((-4, 1)\\) - punkty \\(x = -4\\) i \\(x = 1\\) nie należą do rozwiązania, bo nierówność jest ostra (\\(>\\), nie \\(\\geq\\)).
\n
⚠️ Uwaga: Po znalezieniu pierwiastków paraboli skierowanej ramionami w górę - parabola jest poniżej zera między pierwiastkami, a powyżej zera na zewnątrz. Nie pomyl tych dwóch przypadków!
\n

Poprawna odpowiedź: \\\\(x \\\\in (-4, 1)\\\\)

\n

Rozwiązanie:

\n

Rozwiązujemy nierówność:
\\\\[5 - x^2 > 3x + 1\\\\]

\n

Przenosimy wszystko na jedną stronę:
\\\\[-x^2 - 3x + 4 > 0\\\\]

\n

Mnożymy przez \\\\(-1\\\\) (zmieniamy znak nierówności):
\\\\[x^2 + 3x - 4 < 0\\\\]

\n

Rozkładamy trójmian na czynniki. Wyróżnik:
\\\\[\\\\Delta = 9 + 16 = 25\\\\]
\\\\[x_1 = \\\\frac{-3 - 5}{2} = -4, \\\\quad x_2 = \\\\frac{-3 + 5}{2} = 1\\\\]

\n

Zatem:
\\\\[x^2 + 3x - 4 = (x + 4)(x - 1)\\\\]

\n

Nierówność \\\\((x+4)(x-1) < 0\\\\) jest spełniona, gdy \\\\(x \\\\in (-4, 1)\\\\).

\n

(Parabola \\\\(y = x^2 + 3x - 4\\\\) jest skierowana ramionami w górę, więc jest ujemna między pierwiastkami.)

\n

Użyte wzory z karty CKE: Wyróżnik \\\\(\\\\Delta = b^2 - 4ac\\\\); miejsca zerowe trójmianu kwadratowego; postać iloczynowa \\\\(a(x-x_1)(x-x_2)\\\\).

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"

Poprawnie, aby utworzyć czterocyfrową liczbę, w której cyfry nie powtarzają się, najpierw wybieramy z $9$ cyfr (bez $0$) dla pierwszej pozycji, następnie $9$ cyfr dla drugiej (z wyłączeniem pierwszej), $8$ cyfr dla trzeciej i $7$ cyfr dla czwartej, stąd $9 \\cdot 9 \\cdot 8 \\cdot 7$.

"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

Pierwszą cyfrę wybieramy na 9 sposobów (nie może być zerem). Drugą, różną od pierwszej, na 9 sposobów, trzecią na 8 , a czwartą na 7 . Zatem liczba takich liczb wynosi

\n

9·9·8·7.

"}]}