{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"31","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (0-2)\nZe zbioru pięciu liczb {1, 2, 3, 4, 5} losujemy bez zwracania kolejno dwa razy po jednej\nliczbie.\nOblicz prawdopodobieństwo zdarzenia 𝑨 polegającego na tym, że obie wylosowane\nliczby są nieparzyste. Zapisz obliczenia.\n\nMMAP-P0_100\n\nMMAP-P0_100\nZe zbioru pięciu liczb {1,2,3,4,5} losujemy bez zwracania kolejno dwa razy po jednej liczbie. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że obie wylosowane liczby są nieparzyste.","answer":"(3)/(10)","answer_text":"Zadanie 31. (0-2)\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody obliczenia prawdopodobieństwa zdarzenia 𝐴\ni uzyskanie poprawnego wyniku: 𝑃(𝐴) = 6\n20 = 3\n10 .\n1 pkt - wypisanie wszystkich zdarzeń elementarnych lub obliczenie/podanie liczby tych\nzdarzeń: |Ω| = 5 ⋅4,\nALBO\n- sporządzenie tabeli 5x5 i wypełnienie/zaznaczenie pól odpowiadających zdarzeniom\nelementarnym (lub wykreślenie pól na głównej przekątnej),\nALBO\n- sporządzenie pełnego drzewa stochastycznego,\nALBO\n- wypisanie (zaznaczenie w tabeli) wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających\nzdarzeniu 𝐴 i niewypisanie żadnego niewłaściwego:\n(1, 3), (1, 5), (3, 1), (3, 5), (5, 1), (5, 3),\nALBO\n- podanie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴:\n|𝐴| = 6, jeśli nie została otrzymana w wyniku zastosowania błędnej metody,\nALBO\n- sporządzenie fragmentu drzewa stochastycznego, które zawiera wszystkie gałęzie\nsprzyjające zdarzeniu 𝐴 oraz zapisanie prawdopodobieństwa na co najmniej jednym\nodcinku każdego z etapów doświadczenia,\nALBO\n- podanie prawdopodobieństwa jednoelementowego zdarzenia (elementarnego): 1\n20 ,\nALBO\n- zapisanie tylko 𝑃(𝐴) = 6\n20 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający zapisuje tylko liczbę 6 lub 20 i z rozwiązania nie wynika znaczenie tych\nliczb, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający przedstawia dwa sprzeczne ze sobą zapisy i z rozwiązania nie wynika\njednoznacznie, który z nich zdający uznaje za poprawny, to za te zapisy zdający nie\notrzymuje punktów.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nZdarzeniami elementarnymi są wszystkie uporządkowane pary liczb (𝑎, 𝑏), gdzie\n𝑎, 𝑏∈{1, 2, 3, 4, 5} i 𝑎≠𝑏.\nLiczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa |Ω| = 5 ⋅4 = 20.\nZdarzeniu 𝐴 sprzyjają następujące zdarzenia elementarne:\n(1, 3), (1, 5), (3, 1), (3, 5), (5, 1), (5, 3),\nwięc |𝐴| = 6.\nPrawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe: 𝑃(𝐴) = |𝐴|\n|Ω| = 6\n20 = 3\n10 .\nSposób II (drzewo stochastyczne)\nRysujemy fragment drzewa stochastycznego rozważanego doświadczenia z uwzględnieniem\nwszystkich istotnych gałęzi.\nPrawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe\n𝑃(𝐴) = 1\n5 ∙1\n4 + 1\n5 ∙1\n4 + 1\n5 ∙1\n4 + 1\n5 ∙1\n4 + 1\n5 ∙1\n4 + 1\n5 ∙1\n4 = 6\n20 = 3\n10\nSposób IIa (drzewo stochastyczne uproszczone)\nRozpatrujemy dwuetapowe doświadczenie losowe. Niech 𝑛 odpowiada zdarzeniu\nwylosowania liczby nieparzystej, natomiast 𝑝 - zdarzeniu wylosowania liczby parzystej.\nRysujemy drzewo z uwzględnieniem wszystkich istotnych gałęzi.\n1\n5\n1\n5\n1\n5\n3\n5\n1\n5\n1\n3\n1\n3\n5\n1\n4\n1\n4\n1\n4\n1\n4\n1\n4\n1\n4\nPrawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe\n𝑃(𝐴) = 3\n5 ∙2\n4 = 6\n20 = 3\n10","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x = -4\\)\n\n## Sposób 1 - Warunek stałej różnicy\n\nW ciągu arytmetycznym różnica między kolejnymi wyrazami jest stała:\n\\[a_2 - a_1 = a_3 - a_2\\]\n\nPodstawiamy nasze wyrazy:\n\\[x^2 - (3x^2 + 5x) = (20 - x^2) - x^2\\]\n\nUpraszczamy obie strony:\n\\[-2x^2 - 5x = 20 - 2x^2\\]\n\nDodajemy \\(2x^2\\) do obu stron:\n\\[-5x = 20\\]\n\n\\[\\boxed{x = -4}\\]\n\n**Weryfikacja:** Sprawdzamy, że ciąg faktycznie jest arytmetyczny:\n\\[a_1 = 3 \\cdot 16 + 5 \\cdot (-4) = 48 - 20 = 28\\]\n\\[a_2 = (-4)^2 = 16\\]\n\\[a_3 = 20 - 16 = 4\\]\n\nRóżnica: \\(16 - 28 = -12\\), \\(4 - 16 = -12\\). ✓ Ciąg \\((28, 16, 4)\\) jest arytmetyczny o różnicy \\(r = -12\\).\n\n## Sposób 2 - Własność środkowego wyrazu\n\nW ciągu arytmetycznym środkowy wyraz jest **średnią arytmetyczną** sąsiadów:\n\\[2a_2 = a_1 + a_3\\]\n\nPodstawiamy:\n\\[2x^2 = (3x^2 + 5x) + (20 - x^2)\\]\n\n\\[2x^2 = 2x^2 + 5x + 20\\]\n\nOdejmujemy \\(2x^2\\) od obu stron:\n\\[0 = 5x + 20\\]\n\n\\[5x = -20\\]\n\n\\[\\boxed{x = -4}\\]\n\nTo ta sama odpowiedź, co potwierdza wynik.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - własność ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = \\frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2} \\quad \\text{(dla } n \\geq 2\\text{)}\\]\nW Sposobie 2 użyliśmy tej własności dla \\(n = 2\\): środkowy wyraz \\(x^2\\) jest średnią wyrazów pierwszego i trzeciego.\n\nRównoważna postać (Sposób 1) - stała różnica:\n\\[a_2 - a_1 = a_3 - a_2 = r\\]\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie zapomnij rozwinąć nawiasu \\(-(3x^2 + 5x)\\) - częsty błąd to pominięcie znaku minus przed \\(5x\\), co daje \\(-2x^2 + 5x\\) zamiast \\(-2x^2 - 5x\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź wynik, wstawiając \\(x = -4\\) do wszystkich trzech wyrazów. Uczniowie często liczą tylko dwie różnice i przerywają weryfikację po pierwszej.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wyraz \\((-4)^2 = 16\\), a nie \\(-16\\). Przy ujemnym \\(x\\) łatwo o błąd przy obliczaniu potęgi.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\\\(x = -4\\\\)**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nCiąg \\\\((3x^2 + 5x, \\\\ x^2, \\\\ 20 - x^2)\\\\) jest arytmetyczny.\n\nWarunek ciągu arytmetycznego - środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną skrajnych:\n\\\\[2 \\\\cdot x^2 = (3x^2 + 5x) + (20 - x^2)\\\\]\n\\\\[2x^2 = 3x^2 + 5x + 20 - x^2\\\\]\n\\\\[2x^2 = 2x^2 + 5x + 20\\\\]\n\\\\[0 = 5x + 20\\\\]\n\\\\[5x = -20\\\\]\n\\\\[x = -4\\\\]\n\n**Sprawdzenie:** Dla \\\\(x = -4\\\\):\n- \\\\(a_1 = 3 \\\\cdot 16 + 5 \\\\cdot (-4) = 48 - 20 = 28\\\\)\n- \\\\(a_2 = 16\\\\)\n- \\\\(a_3 = 20 - 16 = 4\\\\)\n\nRóżnica: \\\\(16 - 28 = -12\\\\) i \\\\(4 - 16 = -12\\\\) ✓ - ciąg arytmetyczny o różnicy \\\\(r = -12\\\\).\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Ciąg arytmetyczny: \\\\(a_n = \\\\frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}\\\\).","image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-31.svg","topics":"Prawdopodobieństwo, prawdopodobienstwo","page_from":24,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 31. (0-2)
Ze zbioru pięciu liczb {1, 2, 3, 4, 5} losujemy bez zwracania kolejno dwa razy po jednej
liczbie.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia 𝑨 polegającego na tym, że obie wylosowane
liczby są nieparzyste. Zapisz obliczenia.

\n

MMAP-P0_100

\n

MMAP-P0_100
Ze zbioru pięciu liczb {1,2,3,4,5} losujemy bez zwracania kolejno dwa razy po jednej liczbie. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że obie wylosowane liczby są nieparzyste.

","answer_text_html":"

Zadanie 31. (0-2)
Zasady oceniania
2 pkt - zastosowanie poprawnej metody obliczenia prawdopodobieństwa zdarzenia 𝐴
i uzyskanie poprawnego wyniku: 𝑃(𝐴) = 6
20 = 3
10 .
1 pkt - wypisanie wszystkich zdarzeń elementarnych lub obliczenie/podanie liczby tych
zdarzeń: |Ω| = 5 ⋅4,
ALBO

\n\n

elementarnym (lub wykreślenie pól na głównej przekątnej),
ALBO

\n\n

ALBO

\n\n

zdarzeniu 𝐴 i niewypisanie żadnego niewłaściwego:
(1, 3), (1, 5), (3, 1), (3, 5), (5, 1), (5, 3),
ALBO

\n\n

|𝐴| = 6, jeśli nie została otrzymana w wyniku zastosowania błędnej metody,
ALBO

\n\n

sprzyjające zdarzeniu 𝐴 oraz zapisanie prawdopodobieństwa na co najmniej jednym
odcinku każdego z etapów doświadczenia,
ALBO

\n\n

20 ,
ALBO

\n\n

20 .
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:

\n
  1. Jeżeli zdający zapisuje tylko liczbę 6 lub 20 i z rozwiązania nie wynika znaczenie tych
\n

liczb, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeżeli zdający przedstawia dwa sprzeczne ze sobą zapisy i z rozwiązania nie wynika
\n

jednoznacznie, który z nich zdający uznaje za poprawny, to za te zapisy zdający nie
otrzymuje punktów.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I
Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie uporządkowane pary liczb (𝑎, 𝑏), gdzie
𝑎, 𝑏∈{1, 2, 3, 4, 5} i 𝑎≠𝑏.
Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa |Ω| = 5 ⋅4 = 20.
Zdarzeniu 𝐴 sprzyjają następujące zdarzenia elementarne:
(1, 3), (1, 5), (3, 1), (3, 5), (5, 1), (5, 3),
więc |𝐴| = 6.
Prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe: 𝑃(𝐴) = |𝐴|
|Ω| = 6
20 = 3
10 .
Sposób II (drzewo stochastyczne)
Rysujemy fragment drzewa stochastycznego rozważanego doświadczenia z uwzględnieniem
wszystkich istotnych gałęzi.
Prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe
𝑃(𝐴) = 1
5 ∙1
4 + 1
5 ∙1
4 + 1
5 ∙1
4 + 1
5 ∙1
4 + 1
5 ∙1
4 + 1
5 ∙1
4 = 6
20 = 3
10
Sposób IIa (drzewo stochastyczne uproszczone)
Rozpatrujemy dwuetapowe doświadczenie losowe. Niech 𝑛 odpowiada zdarzeniu
wylosowania liczby nieparzystej, natomiast 𝑝 - zdarzeniu wylosowania liczby parzystej.
Rysujemy drzewo z uwzględnieniem wszystkich istotnych gałęzi.
1
5
1
5
1
5
3
5
1
5
1
3
1
3
5
1
4
1
4
1
4
1
4
1
4
1
4
Prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe
𝑃(𝐴) = 3
5 ∙2
4 = 6
20 = 3
10

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-31.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(x = -4\\)

\n

Sposób 1 - Warunek stałej różnicy

\n

W ciągu arytmetycznym różnica między kolejnymi wyrazami jest stała:
\\[a_2 - a_1 = a_3 - a_2\\]

\n

Podstawiamy nasze wyrazy:
\\[x^2 - (3x^2 + 5x) = (20 - x^2) - x^2\\]

\n

Upraszczamy obie strony:
\\[-2x^2 - 5x = 20 - 2x^2\\]

\n

Dodajemy \\(2x^2\\) do obu stron:
\\[-5x = 20\\]

\n

\\[\\boxed{x = -4}\\]

\n

Weryfikacja: Sprawdzamy, że ciąg faktycznie jest arytmetyczny:
\\[a_1 = 3 \\cdot 16 + 5 \\cdot (-4) = 48 - 20 = 28\\]
\\[a_2 = (-4)^2 = 16\\]
\\[a_3 = 20 - 16 = 4\\]

\n

Różnica: \\(16 - 28 = -12\\), \\(4 - 16 = -12\\). ✓ Ciąg \\((28, 16, 4)\\) jest arytmetyczny o różnicy \\(r = -12\\).

\n

Sposób 2 - Własność środkowego wyrazu

\n

W ciągu arytmetycznym środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną sąsiadów:
\\[2a_2 = a_1 + a_3\\]

\n

Podstawiamy:
\\[2x^2 = (3x^2 + 5x) + (20 - x^2)\\]

\n

\\[2x^2 = 2x^2 + 5x + 20\\]

\n

Odejmujemy \\(2x^2\\) od obu stron:
\\[0 = 5x + 20\\]

\n

\\[5x = -20\\]

\n

\\[\\boxed{x = -4}\\]

\n

To ta sama odpowiedź, co potwierdza wynik.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 8 (Ciągi, s. 9-10) - własność ciągu arytmetycznego:
\\[a_n = \\frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2} \\quad \\text{(dla } n \\geq 2\\text{)}\\]
W Sposobie 2 użyliśmy tej własności dla \\(n = 2\\): środkowy wyraz \\(x^2\\) jest średnią wyrazów pierwszego i trzeciego.

\n

Równoważna postać (Sposób 1) - stała różnica:
\\[a_2 - a_1 = a_3 - a_2 = r\\]

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Nie zapomnij rozwinąć nawiasu \\(-(3x^2 + 5x)\\) - częsty błąd to pominięcie znaku minus przed \\(5x\\), co daje \\(-2x^2 + 5x\\) zamiast \\(-2x^2 - 5x\\).
\n
⚠️ Uwaga: Sprawdź wynik, wstawiając \\(x = -4\\) do wszystkich trzech wyrazów. Uczniowie często liczą tylko dwie różnice i przerywają weryfikację po pierwszej.
\n
⚠️ Uwaga: Wyraz \\((-4)^2 = 16\\), a nie \\(-16\\). Przy ujemnym \\(x\\) łatwo o błąd przy obliczaniu potęgi.
\n

Poprawna odpowiedź: \\\\(x = -4\\\\)

\n

Rozwiązanie:

\n

Ciąg \\\\((3x^2 + 5x, \\\\ x^2, \\\\ 20 - x^2)\\\\) jest arytmetyczny.

\n

Warunek ciągu arytmetycznego - środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną skrajnych:
\\\\[2 \\\\cdot x^2 = (3x^2 + 5x) + (20 - x^2)\\\\]
\\\\[2x^2 = 3x^2 + 5x + 20 - x^2\\\\]
\\\\[2x^2 = 2x^2 + 5x + 20\\\\]
\\\\[0 = 5x + 20\\\\]
\\\\[5x = -20\\\\]
\\\\[x = -4\\\\]

\n

Sprawdzenie: Dla \\\\(x = -4\\\\):

\n\n

Różnica: \\\\(16 - 28 = -12\\\\) i \\\\(4 - 16 = -12\\\\) ✓ - ciąg arytmetyczny o różnicy \\\\(r = -12\\\\).

\n

Użyte wzory z karty CKE: Ciąg arytmetyczny: \\\\(a_n = \\\\frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}\\\\).

"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

Losujemy kolejno dwie liczby bez zwracania ze zbioru

\n

\\ 1,2,3,4,5\\ .

\n

Liczba wszystkich uporządkowanych wyników wynosi

\n

|Ω|=5·4=20.

\n

Liczby nieparzyste to 1,3,5 . Aby obie wylosowane liczby były nieparzyste, pierwszą wybieramy na 3 sposoby, a drugą na 2 sposoby:

\n

|A|=3·2=6.

\n

Zatem

\n

P(A)=(|A|)/(|Ω|)=(6)/(20)=(3)/(10).

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$\\dfrac{3}{10}$

"}]}