{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"32","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (0-1)\nNa diagramie przedstawiono rozkład wynagrodzenia brutto wszystkich stu pracowników\npewnej firmy za styczeń 2023 roku.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nŚrednia wynagrodzenia brutto wszystkich pracowników tej firmy za styczeń 2023 roku jest\nrówna\nA. 5 690 zł\nB. 5 280 zł\nC. 6 257 zł\nD. 5 900 zł\n10\n36\n5\n25\n18\n4\n2\n0\n5\n10\n15\n20\n25\n30\n35\n40\n4800\n5100\n5500\n5900\n6400\n7500\n8600\nliczba\npracowników\nwynagrodzenie brutto za styczeń 2023 (w zł)\n\nMMAP-P0_100\nNa diagramie przedstawiono rozkład wynagrodzenia brutto wszystkich stu pracowników pewnej firmy za styczeń 2023 roku. [rysunek] Średnia wynagrodzenia brutto wszystkich pracowników tej firmy za styczeń 2023 roku jest równa A. 5690 zł B. 5280 zł C. 6257 zł D. 5900 zł","answer":"A","answer_text":"Zadanie 32. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: Dowód\n\nNależy wykazać, że przy założeniach \\(x > 0\\), \\(y > 0\\), \\(x > 2y\\) zachodzi \\(x^2 + 3xy - 10y^2 > 0\\).\n\n## Sposób 1 - Rozkład na czynniki (traktowanie jako trójmian w \\(x\\))\n\n**Rozkładamy** wyrażenie \\(x^2 + 3xy - 10y^2\\) traktując je jako trójmian kwadratowy względem \\(x\\), z parametrem \\(y\\).\n\nWyróżnik przy \\(a = 1\\), \\(b = 3y\\), \\(c = -10y^2\\):\n\\[\\Delta = (3y)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot (-10y^2) = 9y^2 + 40y^2 = 49y^2\\]\n\nPonieważ \\(y > 0\\), mamy \\(\\sqrt{\\Delta} = 7y\\). Pierwiastki trójmianu:\n\\[x_1 = \\frac{-3y - 7y}{2} = -5y, \\qquad x_2 = \\frac{-3y + 7y}{2} = 2y\\]\n\nZatem rozkład na czynniki:\n\\[x^2 + 3xy - 10y^2 = (x - 2y)(x + 5y)\\]\n\nTeraz **oceniamy znak każdego czynnika** przy naszych założeniach:\n\n- Z warunku \\(x > 2y\\) wynika: \\(\\quad x - 2y > 0\\) ✓\n- Z warunków \\(x > 0\\), \\(y > 0\\) wynika: \\(\\quad x + 5y > 0\\) ✓\n\nIloczyn dwóch liczb dodatnich jest dodatni, zatem:\n\\[\\boxed{x^2 + 3xy - 10y^2 = (x - 2y)(x + 5y) > 0}\\]\n\nCo należało wykazać. \\(\\blacksquare\\)\n\n## Sposób 2 - Podstawienie \\(t = x - 2y\\)\n\n**Pomysł:** skoro \\(x > 2y\\), naturalne jest wprowadzenie \\(t = x - 2y\\), czyli \\(t > 0\\). Wówczas \\(x = t + 2y\\).\n\nPodstawiamy do wyrażenia:\n\\[x^2 + 3xy - 10y^2 = (t + 2y)^2 + 3(t + 2y)y - 10y^2\\]\n\nRozwijamy krok po kroku:\n\\[(t + 2y)^2 = t^2 + 4ty + 4y^2\\]\n\\[3(t + 2y)y = 3ty + 6y^2\\]\n\nSumujemy wszystko:\n\\[t^2 + 4ty + 4y^2 + 3ty + 6y^2 - 10y^2 = t^2 + 7ty + \\underbrace{(4 + 6 - 10)}_{= 0}y^2\\]\n\nZatem:\n\\[x^2 + 3xy - 10y^2 = t^2 + 7ty = t(t + 7y)\\]\n\nOceniamy znak:\n- \\(t = x - 2y > 0\\) (z założenia)\n- \\(t + 7y > 0\\), bo \\(t > 0\\) i \\(y > 0\\)\n\nIloczyn \\(t(t + 7y) > 0\\), co kończy dowód. \\(\\blacksquare\\)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wyróżnik i rozkład trójmianu:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]\nW Sposobie 1 potraktowaliśmy \\(x^2 + 3xy - 10y^2\\) jako trójmian kwadratowy w \\(x\\) (z \\(y\\) jako parametrem), obliczyli \\(\\Delta = 49y^2\\) i rozłożyli na czynniki liniowe.\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)** - w Sposobie 2 skorzystano z:\n\\[(t + 2y)^2 = t^2 + 4ty + 4y^2\\]\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie próbuj dowodzić wprost przez \"podzielenie przez \\(y^2\\)\" i badanie wyrażenia \\(\\left(\\frac{x}{y}\\right)^2 + 3\\frac{x}{y} - 10\\) bez uprzedniego uzasadnienia, że \\(y^2 > 0\\) (a więc mnożenie nie zmienia znaku nierówności). To szczegół, ale egzaminatorzy go oceniają.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy rozkładzie trójmianu z parametrem \\(y\\) pamiętaj, że \\(\\sqrt{49y^2} = 7|y| = 7y\\) **tylko dlatego**, że \\(y > 0\\). Gdyby \\(y < 0\\), byłoby \\(7|y| = -7y\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W zadaniu dowodowym musisz wykazać **oba** czynniki są dodatnie z osobna i **wyciągnąć wniosek** o iloczynie - nie wystarczy samo rozkładu bez słownego uzasadnienia znaku.\n\n**Dowód:**\n\nDla \\\\(x > 0\\\\), \\\\(y > 0\\\\) i \\\\(x > 2y\\\\) wykazujemy, że \\\\(x^2 + 3xy - 10y^2 > 0\\\\).\n\n**Krok 1:** Rozkładamy wyrażenie na czynniki.\n\nSzukamy rozkładu \\\\(x^2 + 3xy - 10y^2\\\\). Traktujemy jako trójmian kwadratowy względem \\\\(x\\\\):\n\\\\[\\\\Delta = (3y)^2 - 4 \\\\cdot 1 \\\\cdot (-10y^2) = 9y^2 + 40y^2 = 49y^2\\\\]\n\\\\[x = \\\\frac{-3y \\\\pm 7y}{2}\\\\]\n\nPierwiastki: \\\\(x = 2y\\\\) lub \\\\(x = -5y\\\\).\n\nZatem:\n\\\\[x^2 + 3xy - 10y^2 = (x - 2y)(x + 5y)\\\\]\n\n**Krok 2:** Analizujemy znaki czynników.\n\nZ założeń:\n- \\\\(x > 2y\\\\) i \\\\(y > 0\\\\), więc \\\\(x - 2y > 0\\\\)\n- \\\\(x > 0\\\\) i \\\\(y > 0\\\\), więc \\\\(x + 5y > 0\\\\)\n\n**Krok 3:** Wniosek.\n\nIloczyn dwóch liczb dodatnich jest dodatni:\n\\\\[(x - 2y)(x + 5y) > 0\\\\]\n\nCo kończy dowód: \\\\(x^2 + 3xy - 10y^2 > 0\\\\). \\\\(\\\\square\\\\)\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Wyróżnik trójmianu kwadratowego \\\\(\\\\Delta = b^2 - 4ac\\\\); rozkład na czynniki (postać iloczynowa); wzory Viète'a.","image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-32.svg","topics":"Statystyka, prawdopodobienstwo","page_from":26,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 32. (0-1)
Na diagramie przedstawiono rozkład wynagrodzenia brutto wszystkich stu pracowników
pewnej firmy za styczeń 2023 roku.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Średnia wynagrodzenia brutto wszystkich pracowników tej firmy za styczeń 2023 roku jest
równa
A. 5 690 zł
B. 5 280 zł
C. 6 257 zł
D. 5 900 zł
10
36
5
25
18
4
2
0
5
10
15
20
25
30
35
40
4800
5100
5500
5900
6400
7500
8600
liczba
pracowników
wynagrodzenie brutto za styczeń 2023 (w zł)

\n

MMAP-P0_100
Na diagramie przedstawiono rozkład wynagrodzenia brutto wszystkich stu pracowników pewnej firmy za styczeń 2023 roku. [rysunek] Średnia wynagrodzenia brutto wszystkich pracowników tej firmy za styczeń 2023 roku jest równa A. 5690 zł B. 5280 zł C. 6257 zł D. 5900 zł

","answer_text_html":"

Zadanie 32. (0-1)
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
A

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-32.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: Dowód

\n

Należy wykazać, że przy założeniach \\(x > 0\\), \\(y > 0\\), \\(x > 2y\\) zachodzi \\(x^2 + 3xy - 10y^2 > 0\\).

\n

Sposób 1 - Rozkład na czynniki (traktowanie jako trójmian w \\(x\\))

\n

Rozkładamy wyrażenie \\(x^2 + 3xy - 10y^2\\) traktując je jako trójmian kwadratowy względem \\(x\\), z parametrem \\(y\\).

\n

Wyróżnik przy \\(a = 1\\), \\(b = 3y\\), \\(c = -10y^2\\):
\\[\\Delta = (3y)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot (-10y^2) = 9y^2 + 40y^2 = 49y^2\\]

\n

Ponieważ \\(y > 0\\), mamy \\(\\sqrt{\\Delta} = 7y\\). Pierwiastki trójmianu:
\\[x_1 = \\frac{-3y - 7y}{2} = -5y, \\qquad x_2 = \\frac{-3y + 7y}{2} = 2y\\]

\n

Zatem rozkład na czynniki:
\\[x^2 + 3xy - 10y^2 = (x - 2y)(x + 5y)\\]

\n

Teraz oceniamy znak każdego czynnika przy naszych założeniach:

\n\n

Iloczyn dwóch liczb dodatnich jest dodatni, zatem:
\\[\\boxed{x^2 + 3xy - 10y^2 = (x - 2y)(x + 5y) > 0}\\]

\n

Co należało wykazać. \\(\\blacksquare\\)

\n

Sposób 2 - Podstawienie \\(t = x - 2y\\)

\n

Pomysł: skoro \\(x > 2y\\), naturalne jest wprowadzenie \\(t = x - 2y\\), czyli \\(t > 0\\). Wówczas \\(x = t + 2y\\).

\n

Podstawiamy do wyrażenia:
\\[x^2 + 3xy - 10y^2 = (t + 2y)^2 + 3(t + 2y)y - 10y^2\\]

\n

Rozwijamy krok po kroku:
\\[(t + 2y)^2 = t^2 + 4ty + 4y^2\\]
\\[3(t + 2y)y = 3ty + 6y^2\\]

\n

Sumujemy wszystko:
\\[t^2 + 4ty + 4y^2 + 3ty + 6y^2 - 10y^2 = t^2 + 7ty + \\underbrace{(4 + 6 - 10)}_{= 0}y^2\\]

\n

Zatem:
\\[x^2 + 3xy - 10y^2 = t^2 + 7ty = t(t + 7y)\\]

\n

Oceniamy znak:

\n\n

Iloczyn \\(t(t + 7y) > 0\\), co kończy dowód. \\(\\blacksquare\\)

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - wyróżnik i rozkład trójmianu:
\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]
W Sposobie 1 potraktowaliśmy \\(x^2 + 3xy - 10y^2\\) jako trójmian kwadratowy w \\(x\\) (z \\(y\\) jako parametrem), obliczyli \\(\\Delta = 49y^2\\) i rozłożyli na czynniki liniowe.

\n

Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7) - w Sposobie 2 skorzystano z:
\\[(t + 2y)^2 = t^2 + 4ty + 4y^2\\]

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Nie próbuj dowodzić wprost przez "podzielenie przez \\(y^2\\)" i badanie wyrażenia \\(\\left(\\frac{x}{y}\\right)^2 + 3\\frac{x}{y} - 10\\) bez uprzedniego uzasadnienia, że \\(y^2 > 0\\) (a więc mnożenie nie zmienia znaku nierówności). To szczegół, ale egzaminatorzy go oceniają.
\n
⚠️ Uwaga: Przy rozkładzie trójmianu z parametrem \\(y\\) pamiętaj, że \\(\\sqrt{49y^2} = 7|y| = 7y\\) tylko dlatego, że \\(y > 0\\). Gdyby \\(y < 0\\), byłoby \\(7|y| = -7y\\).
\n
⚠️ Uwaga: W zadaniu dowodowym musisz wykazać oba czynniki są dodatnie z osobna i wyciągnąć wniosek o iloczynie - nie wystarczy samo rozkładu bez słownego uzasadnienia znaku.
\n

Dowód:

\n

Dla \\\\(x > 0\\\\), \\\\(y > 0\\\\) i \\\\(x > 2y\\\\) wykazujemy, że \\\\(x^2 + 3xy - 10y^2 > 0\\\\).

\n

Krok 1: Rozkładamy wyrażenie na czynniki.

\n

Szukamy rozkładu \\\\(x^2 + 3xy - 10y^2\\\\). Traktujemy jako trójmian kwadratowy względem \\\\(x\\\\):
\\\\[\\\\Delta = (3y)^2 - 4 \\\\cdot 1 \\\\cdot (-10y^2) = 9y^2 + 40y^2 = 49y^2\\\\]
\\\\[x = \\\\frac{-3y \\\\pm 7y}{2}\\\\]

\n

Pierwiastki: \\\\(x = 2y\\\\) lub \\\\(x = -5y\\\\).

\n

Zatem:
\\\\[x^2 + 3xy - 10y^2 = (x - 2y)(x + 5y)\\\\]

\n

Krok 2: Analizujemy znaki czynników.

\n

Z założeń:

\n\n

Krok 3: Wniosek.

\n

Iloczyn dwóch liczb dodatnich jest dodatni:
\\\\[(x - 2y)(x + 5y) > 0\\\\]

\n

Co kończy dowód: \\\\(x^2 + 3xy - 10y^2 > 0\\\\). \\\\(\\\\square\\\\)

\n

Użyte wzory z karty CKE: Wyróżnik trójmianu kwadratowego \\\\(\\\\Delta = b^2 - 4ac\\\\); rozkład na czynniki (postać iloczynowa); wzory Viète'a.

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"

Poprawnie, średnia wynagrodzenia brutto wynosi $5 690 [\\text{zł}]$, co można obliczyć sumując wynagrodzenia wszystkich pracowników i dzieląc przez ich liczbę.

"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

Obliczamy średnią ważoną:

\n

(4800·10+5100·36+5500·5+5900·25+6400·18+7500·4+8600·2)/(100).

\n

Suma wynagrodzeń wynosi

\n

569000 zł,

\n

więc

\n

(569000)/(100)=5690 zł.

\n

Poprawna jest odpowiedź A.

"}]}