{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"33","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 33. (0-4)\nZakład stolarski produkuje krzesła, które sprzedaje po 196 złotych za sztukę. Właściciel,\nna podstawie analizy rzeczywistych wpływów i wydatków, stwierdził, że:\n• przychód 𝑃 (w złotych) ze sprzedaży 𝑥 krzeseł można opisać funkcją 𝑃(𝑥) = 196𝑥\n• koszt 𝐾 (w złotych) produkcji 𝑥 krzeseł dziennie można opisać funkcją\n𝐾(𝑥) = 4𝑥2 + 4𝑥+ 240\nDziennie w zakładzie można wyprodukować co najwyżej 30 krzeseł.\nOblicz, ile krzeseł powinien dziennie sprzedawać zakład, aby zysk ze sprzedaży\nkrzeseł wyprodukowanych przez ten zakład w ciągu jednego dnia był możliwie\nnajwiększy. Oblicz ten największy zysk.\nZapisz obliczenia.\nWskazówka: przyjmij, że zysk jest różnicą przychodu i kosztów.\n\nMMAP-P0_100\n\nMMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMAP-P0_100\n\nMMAP-P0_100\n\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2023\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2023\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2023\nZakład stolarski produkuje krzesła, które sprzedaje po 196 złotych za sztukę. Właściciel, na podstawie analizy rzeczywistych wpływów i wydatków, stwierdził, że: ⋅przychód P (w złotych) ze sprzedaży x krzeseł można opisać funkcją P(x)=196x ⋅koszt K (w złotych) produkcji x krzeseł dziennie można opisać funkcją K(x) = 4x² + 4x + 240 Dziennie w zakładzie można wyprodukować co najwyżej 30 krzeseł. Oblicz, ile krzeseł powinien dziennie sprzedawać zakład, aby zysk ze sprzedaży krzeseł wyprodukowanych przez ten zakład w ciągu jednego dnia był możliwie największy. Oblicz ten największy zysk. Wskazówka: przyjmij, że zysk jest różnicą przychodu i kosztów.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 33. (0-4)\nZasady oceniania\n4 pkt - poprawna metoda rozwiązania zadania oraz poprawny wynik: 24 krzesła, 2064 zł.\n3 pkt - obliczenie dziennej wielkości produkcji, przy której zysk zakładu jest największy: 24.\n2 pkt - zapisanie poprawnego wzoru funkcji 𝑍 zysku w postaci jawnej:\n𝑍(𝑥) = -4𝑥2 + 192𝑥-240.\n1 pkt - zapisanie funkcji 𝑍 zysku w postaci 𝑍(𝑥) = 𝑃(𝑥) -𝐾(𝑥).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający zapisze wzór funkcji zysku w postaci jawnej, obliczy 𝑍(24) = 2064\ni 𝑍(24 -𝑘) = 𝑍(24 + 𝑘), gdzie 𝑘≠0, oraz wskaże optymalną wielkość produkcji\ni odpowiadający tej wielkości zysk, to może otrzymać 4 punkty za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający zapisze wzór funkcji zysku w postaci 𝑍(𝑥) = -4𝑥2 + 192𝑥-240 i dalej\nzapisze tylko 𝑍(24) = 2064, to otrzymuje 3 punkty za całe rozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający zapisze tylko 24 krzesła i 2064 zł, to otrzymuje 1 punkt za całe\nrozwiązanie.\n3\n5\n2\n5\n𝑛\n𝑝\n𝑛\n𝑝\n2\n4\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nOznaczmy przez 𝑥 liczbę krzeseł wyprodukowanych w ciągu jednego dnia.\nZysk ze sprzedaży jest różnicą przychodu ze sprzedaży krzeseł oraz kosztu ich wytworzenia:\n𝑍(𝑥) = 196𝑥-𝐾(𝑥) = 196𝑥-(4𝑥2 + 4𝑥+ 240) = -4𝑥2 + 192𝑥-240\nPonieważ dziennie w zakładzie można wyprodukować maksymalnie 30 krzeseł, więc\ndziedziną funkcji 𝑍 jest zbiór wszystkich liczb całkowitych należących do przedziału [0, 30].\nWykresem funkcji 𝑍(𝑥) = -4𝑥2 + 192𝑥-240, gdzie 𝑥 jest liczbą całkowitą z przedziału\n[0, 30], jest zbiór punktów leżących na paraboli o ramionach skierowanych w dół.\nPrzekształcamy wzór funkcji 𝑍 do postaci kanonicznej:\n𝑍(𝑥) = -4𝑥2 + 192𝑥-240 = -4(𝑥2 -48𝑥) -240 = -4[(𝑥-24)2 -242] -240 =\n= -4(𝑥-24)2 + 2064\nZ postaci kanonicznej odczytujemy współrzędne wierzchołka paraboli: 𝑊= (24, 2064).\nPonieważ 24 należy do dziedziny funkcji 𝑍, więc funkcja zysku przyjmuje największą\nwartość, równą 2 064, dla argumentu 24.\nSposób II\nOznaczmy przez 𝑥 liczbę krzeseł wyprodukowanych w ciągu jednego dnia.\nZysk ze sprzedaży jest różnicą przychodu ze sprzedaży krzeseł oraz kosztu ich wytworzenia:\n𝑍(𝑥) = 196𝑥-𝐾(𝑥) = 196𝑥-(4𝑥2 + 4𝑥+ 240) = -4𝑥2 + 192𝑥-240\nPonieważ dziennie w zakładzie można wyprodukować maksymalnie 30 krzeseł, więc\ndziedziną funkcji 𝑍 jest zbiór wszystkich liczb całkowitych należących do przedziału [0, 30].\nWykresem funkcji 𝑍(𝑥) = -4𝑥2 + 192𝑥-240, gdzie 𝑥 jest liczbą całkowitą z przedziału\n[0, 30], jest zbiór punktów leżących na paraboli o ramionach skierowanych w dół.\nObliczamy współrzędne wierzchołka 𝑊= (𝑝, 𝑞) tej paraboli:\n𝑝= -192\n2 ⋅(-4) = 24, 24 ∈{0, 1, 2, … , 30}\n𝑞= 𝑍(𝑝) = -4 ⋅242 + 192 ⋅24 -240 = 2 064\nNajwiększy dzienny zysk, równy 2 064 zł, jest osiągany przy dziennej produkcji 24 krzeseł.\nOcena prac osób ze stwierdzoną dyskalkulią\nObowiązują zasady oceniania stosowane przy sprawdzaniu prac zdających bez stwierdzonej\ndyskalkulii z dodatkowym uwzględnieniem:\nI. ogólnych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze\nstwierdzoną dyskalkulią (punkty 1.-12.);\nII. dodatkowych szczegółowych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy\nosób ze stwierdzoną dyskalkulią - egzamin maturalny z matematyki, poziom\npodstawowy, termin poprawkowy 2023.\nI. Ogólne zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną\ndyskalkulią\n1. Nie należy traktować jako błędy merytoryczne pomyłek, wynikających z:\nbłędnego przepisania\nprzestawienia cyfr\nzapisania innej cyfry, ale o podobnym wyglądzie\nprzestawienia położenia przecinka.\n2. W przypadku błędów, wynikających ze zmiany znaku liczby, należy w każdym zadaniu\noddzielnie przeanalizować, czy zdający opanował inne umiejętności, poza\numiejętnościami rachunkowymi, oceniane w zadaniu. W przypadku opanowania\nbadanych umiejętności zdający powinien otrzymać przynajmniej 1 punkt.\n3. We wszystkich zadaniach otwartych, w których wskazano poprawną metodę\nrozwiązania, części lub całości zadania, zdającemu należy przyznać przynajmniej\n1 punkt, zgodnie z kryteriami do poszczególnych zadań.\n4. Jeśli zdający przedstawia nieprecyzyjne zapisy, na przykład pomija nawiasy lub\nzapisuje nawiasy w niewłaściwych miejscach, ale przeprowadza poprawne\nrozumowanie lub stosuje właściwą strategię, to może otrzymać przynajmniej 1 punkt\nza rozwiązanie zadania.\n5. W przypadku zadania wymagającego wyznaczenia pierwiastków trójmianu\nkwadratowego zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi poprawną metodę\nwyznaczania pierwiastków trójmianu kwadratowego, przy podanych w treści zadania\nwartościach liczbowych.\n6. W przypadku zadania wymagającego rozwiązania nierówności kwadratowej zdający\nmoże otrzymać 1 punkt, jeżeli stosuje poprawny algorytm rozwiązywania nierówności\nkwadratowej, przy podanych w treści zadania wartościach liczbowych.\n7. W przypadku zadania wymagającego stosowania własności funkcji kwadratowej\nzdający może otrzymać 1 punkt za wykorzystanie konkretnych własności funkcji\nkwadratowej, istotnych przy poszukiwaniu rozwiązania.\n8. W przypadku zadania wymagającego zastosowania własności ciągów arytmetycznych\nlub geometrycznych zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi wykorzystanie\ntakiej własności ciągu, która umożliwia znalezienie rozwiązania zadania.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n9. W przypadku zadania wymagającego analizowania figur geometrycznych na\npłaszczyźnie kartezjańskiej zdający może otrzymać punkty, jeżeli przy poszukiwaniu\nrozwiązania przedstawi poprawne rozumowanie, wykorzystujące własności figur\ngeometrycznych lub zapisze zależności, pozwalające rozwiązać zadanie.\n10. W przypadku zadania z rachunku prawdopodobieństwa zdający może otrzymać\nprzynajmniej 1 punkt, jeśli przy wyznaczaniu liczby zdarzeń elementarnych\nsprzyjających rozważanemu zdarzeniu przyjmuje określoną regularność lub podaje\nprawidłową metodę wyznaczenia tej liczby zdarzeń elementarnych.\n11. W przypadku zadania z geometrii zdający może otrzymać przynajmniej 1 punkt, jeżeli\npodaje poprawną metodę wyznaczenia długości odcinka potrzebnej do znalezienia\nrozwiązania.\n12. W przypadku zadania wymagającego przeprowadzenia dowodu (z zakresu algebry lub\ngeometrii), jeśli w przedstawionym rozwiązaniu zdający powoła się na własność, która\nwyznacza istotny postęp, prowadzący do przeprowadzenia dowodu, to może otrzymać\n1 punkt.\nII. Dodatkowe szczegółowe zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób\nze stwierdzoną dyskalkulią\nZadanie 4.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 9.\n2 pkt - zapisanie dwóch pierwiastków wielomianu 3𝑥3 -2𝑥2 -3𝑥+ 2 (o ile nie zostały\none uzyskane w wyniku błędnej metody).\n1 pkt - przekształcenie wielomianu 3𝑥3 -2𝑥2 -3𝑥+ 2 do postaci\n3𝑥(𝑥2 -1) -2(𝑥2 -1) lub 𝑥2(3𝑥-2) -(3𝑥-2).\nZadanie 14.2.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 18.\n1 pkt - zapisanie równania z dwiema niewiadomymi: 𝑥 oraz 𝑟 (gdzie 𝑟 jest różnicą ciągu\narytmetycznego), np. 3𝑥2 + 5𝑥= 𝑥2 + 𝑟.\nZadanie 24.\n1 pkt - zastosowanie definicji funkcji trygonometrycznej lub związków miarowych w trójkącie\no kątach 30°, 60°, 90° i zapisanie równania z jedną niewiadomą (wysokością ℎ\ntrapezu lub długością odcinka 𝐴𝐸, lub długością odcinka 𝐵𝐹), np. ℎ\n4 = sin 60°,\n|𝐴𝐸|\n4\n= cos 60°.\nZadanie 29.2.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 31.\n1 pkt - zapisanie jedynie liczby 20 (należy traktować to jako wyznaczenie liczby wszystkich\nzdarzeń elementarnych).\nUwagi:\n1. W ocenie rozwiązania tego zadania (dla zdających z dyskalkulią) nie stosuje się uwagi 1.\nze standardowych zasad oceniania.\n2. Jeżeli zdający poprawnie wypisze/zaznaczy wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające\nzdarzeniu 𝐴, lecz popełni błąd w ich zliczeniu (|𝐴| = 5) i konsekwentnie zapisze\nwynik 5\n20 , to otrzymuje 2 punkty.\nZadanie 33.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(16\\sqrt{3}\\)\n\n## Sposób 1 - Wysokość z trygonometrii + wzór na pole trapezu\n\n**Dane:** trapez ABCD, \\(CD = 6\\), \\(AD = BC = 4\\) (ramiona równe), \\(\\angle BAD = \\angle ABC = 60°\\).\n\n**Krok 1 - Wyznacz wysokość trapezu.**\n\nOpuszczam prostopadłą z D na AB - punkt \\(H\\). Trójkąt \\(ADH\\) jest prostokątny, z kątem \\(\\angle DAH = 60°\\) i przeciwprostokątną \\(AD = 4\\).\n\n\\[h = AD \\cdot \\sin 60° = 4 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = 2\\sqrt{3}\\]\n\n**Krok 2 - Wyznacz długość podstawy AB.**\n\nRzut poziomy ramienia:\n\\[AH = AD \\cdot \\cos 60° = 4 \\cdot \\frac{1}{2} = 2\\]\n\nTrapez jest równoramienny, więc po obu stronach mamy takie same \"wystające\" odcinki:\n\\[AB = CD + 2 \\cdot AH = 6 + 2 \\cdot 2 = 10\\]\n\n**Krok 3 - Oblicz pole.**\n\n\\[P = \\frac{AB + CD}{2} \\cdot h = \\frac{10 + 6}{2} \\cdot 2\\sqrt{3} = 8 \\cdot 2\\sqrt{3} = \\mathbf{16\\sqrt{3}}\\]\n\n## Sposób 2 - Rozbicie na prostokąt i dwa trójkąty\n\nTrapez równoramienny można rozbić na:\n- prostokąt o bokach \\(CD \\times h = 6 \\times 2\\sqrt{3}\\)\n- dwa przystające trójkąty prostokątne o przyprostokątnych \\(AH = 2\\) i \\(h = 2\\sqrt{3}\\)\n\nPole prostokąta:\n\\[P_{\\text{prost}} = 6 \\cdot 2\\sqrt{3} = 12\\sqrt{3}\\]\n\nPole jednego trójkąta:\n\\[P_{\\triangle} = \\frac{1}{2} \\cdot 2 \\cdot 2\\sqrt{3} = 2\\sqrt{3}\\]\n\nCałkowite pole:\n\\[P = 12\\sqrt{3} + 2 \\cdot 2\\sqrt{3} = 12\\sqrt{3} + 4\\sqrt{3} = \\mathbf{16\\sqrt{3}}\\]\n\nWyniki zgodne ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 20)** - wzór na pole trapezu:\n\\[P = \\frac{a + b}{2} \\cdot h\\]\ngdzie \\(a, b\\) to długości podstaw, \\(h\\) - wysokość. Użyliśmy w Sposobie 1, krok 3.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)** - wartości funkcji trygonometrycznych:\n\\[\\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}, \\quad \\cos 60° = \\frac{1}{2}\\]\nUżyliśmy do wyznaczenia wysokości i rzutu poziomego ramienia.\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt \\(60°\\) to kąt przy **podstawie** (przy AB), nie przy krótszej podstawie CD - od razu bierzemy \\(\\sin 60°\\) z ramienia AD, nie z CD.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że \"wystający\" fragment po każdej stronie to \\(\\cos 60° \\cdot 4 = 2\\), a nie cała długość ramienia. AB ≠ CD + 4, tylko AB = CD + 2·2.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wynik \\(16\\sqrt{3}\\) zostaw w postaci dokładnej - nie przybliżaj do \\(\\approx 27{,}7\\), jeśli zadanie tego nie wymaga. Na maturze postać z pierwiastkiem jest pełnowartościową odpowiedzią.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\\\(16\\\\sqrt{3}\\\\)**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nTrapez równoramienny \\\\(ABCD\\\\): \\\\(|CD| = 6\\\\), \\\\(|AD| = 4\\\\), \\\\(\\\\angle BAD = \\\\angle ABC = 60°\\\\).\n\n**Krok 1:** Wyznaczamy wysokość trapezu.\n\nOpuszczamy wysokość z \\\\(D\\\\) na \\\\(AB\\\\). W trójkącie prostokątnym przy wierzchołku \\\\(A\\\\):\n\\\\[h = |AD| \\\\cdot \\\\sin 60° = 4 \\\\cdot \\\\frac{\\\\sqrt{3}}{2} = 2\\\\sqrt{3}\\\\]\n\n**Krok 2:** Wyznaczamy odcinek projekcji ramienia na podstawę.\n\\\\[|AD| \\\\cdot \\\\cos 60° = 4 \\\\cdot \\\\frac{1}{2} = 2\\\\]\n\n**Krok 3:** Wyznaczamy dłuższą podstawę \\\\(|AB|\\\\).\n\nTrapez jest równoramienny, więc projekcje obu ramion są równe:\n\\\\[|AB| = |CD| + 2 \\\\cdot 2 = 6 + 4 = 10\\\\]\n\n**Krok 4:** Obliczamy pole.\n\\\\[P = \\\\frac{|AB| + |CD|}{2} \\\\cdot h = \\\\frac{10 + 6}{2} \\\\cdot 2\\\\sqrt{3} = 8 \\\\cdot 2\\\\sqrt{3} = 16\\\\sqrt{3}\\\\]\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Pole trapezu: \\\\(P = \\\\frac{a+b}{2} \\\\cdot h\\\\); funkcje trygonometryczne kąta ostrego: \\\\(\\\\sin 60° = \\\\frac{\\\\sqrt{3}}{2}\\\\), \\\\(\\\\cos 60° = \\\\frac{1}{2}\\\\).","image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-33.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-33.svg","topics":"Optymalizacja","page_from":27,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 33. (0-4)<br>Zakład stolarski produkuje krzesła, które sprzedaje po 196 złotych za sztukę. Właściciel,<br>na podstawie analizy rzeczywistych wpływów i wydatków, stwierdził, że:<br>• przychód 𝑃 (w złotych) ze sprzedaży 𝑥 krzeseł można opisać funkcją 𝑃(𝑥) = 196𝑥<br>• koszt 𝐾 (w złotych) produkcji 𝑥 krzeseł dziennie można opisać funkcją<br>𝐾(𝑥) = 4𝑥2 + 4𝑥+ 240<br>Dziennie w zakładzie można wyprodukować co najwyżej 30 krzeseł.<br>Oblicz, ile krzeseł powinien dziennie sprzedawać zakład, aby zysk ze sprzedaży<br>krzeseł wyprodukowanych przez ten zakład w ciągu jednego dnia był możliwie<br>największy. Oblicz ten największy zysk.<br>Zapisz obliczenia.<br>Wskazówka: przyjmij, że zysk jest różnicą przychodu i kosztów.</p>\n<p>MMAP-P0_100</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)</p>\n<p>MMAP-P0_100</p>\n<p>MMAP-P0_100</p>\n<p>MATEMATYKA<br>Poziom podstawowy<br>Formuła 2023<br>MATEMATYKA<br>Poziom podstawowy<br>Formuła 2023<br>MATEMATYKA<br>Poziom podstawowy<br>Formuła 2023<br>Zakład stolarski produkuje krzesła, które sprzedaje po 196 złotych za sztukę. Właściciel, na podstawie analizy rzeczywistych wpływów i wydatków, stwierdził, że: ⋅przychód P (w złotych) ze sprzedaży x krzeseł można opisać funkcją P(x)=196x ⋅koszt K (w złotych) produkcji x krzeseł dziennie można opisać funkcją K(x) = 4x² + 4x + 240 Dziennie w zakładzie można wyprodukować co najwyżej 30 krzeseł. Oblicz, ile krzeseł powinien dziennie sprzedawać zakład, aby zysk ze sprzedaży krzeseł wyprodukowanych przez ten zakład w ciągu jednego dnia był możliwie największy. Oblicz ten największy zysk. Wskazówka: przyjmij, że zysk jest różnicą przychodu i kosztów.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 33. (0-4)<br>Zasady oceniania<br>4 pkt - poprawna metoda rozwiązania zadania oraz poprawny wynik: 24 krzesła, 2064 zł.<br>3 pkt - obliczenie dziennej wielkości produkcji, przy której zysk zakładu jest największy: 24.<br>2 pkt - zapisanie poprawnego wzoru funkcji 𝑍 zysku w postaci jawnej:<br>𝑍(𝑥) = -4𝑥2 + 192𝑥-240.<br>1 pkt - zapisanie funkcji 𝑍 zysku w postaci 𝑍(𝑥) = 𝑃(𝑥) -𝐾(𝑥).<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający zapisze wzór funkcji zysku w postaci jawnej, obliczy 𝑍(24) = 2064</li></ol>\n<p>i 𝑍(24 -𝑘) = 𝑍(24 + 𝑘), gdzie 𝑘≠0, oraz wskaże optymalną wielkość produkcji<br>i odpowiadający tej wielkości zysk, to może otrzymać 4 punkty za całe rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający zapisze wzór funkcji zysku w postaci 𝑍(𝑥) = -4𝑥2 + 192𝑥-240 i dalej</li></ol>\n<p>zapisze tylko 𝑍(24) = 2064, to otrzymuje 3 punkty za całe rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający zapisze tylko 24 krzesła i 2064 zł, to otrzymuje 1 punkt za całe</li></ol>\n<p>rozwiązanie.<br>3<br>5<br>2<br>5<br>𝑛<br>𝑝<br>𝑛<br>𝑝<br>2<br>4<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób I<br>Oznaczmy przez 𝑥 liczbę krzeseł wyprodukowanych w ciągu jednego dnia.<br>Zysk ze sprzedaży jest różnicą przychodu ze sprzedaży krzeseł oraz kosztu ich wytworzenia:<br>𝑍(𝑥) = 196𝑥-𝐾(𝑥) = 196𝑥-(4𝑥2 + 4𝑥+ 240) = -4𝑥2 + 192𝑥-240<br>Ponieważ dziennie w zakładzie można wyprodukować maksymalnie 30 krzeseł, więc<br>dziedziną funkcji 𝑍 jest zbiór wszystkich liczb całkowitych należących do przedziału [0, 30].<br>Wykresem funkcji 𝑍(𝑥) = -4𝑥2 + 192𝑥-240, gdzie 𝑥 jest liczbą całkowitą z przedziału<br>[0, 30], jest zbiór punktów leżących na paraboli o ramionach skierowanych w dół.<br>Przekształcamy wzór funkcji 𝑍 do postaci kanonicznej:<br>𝑍(𝑥) = -4𝑥2 + 192𝑥-240 = -4(𝑥2 -48𝑥) -240 = -4[(𝑥-24)2 -242] -240 =<br>= -4(𝑥-24)2 + 2064<br>Z postaci kanonicznej odczytujemy współrzędne wierzchołka paraboli: 𝑊= (24, 2064).<br>Ponieważ 24 należy do dziedziny funkcji 𝑍, więc funkcja zysku przyjmuje największą<br>wartość, równą 2 064, dla argumentu 24.<br>Sposób II<br>Oznaczmy przez 𝑥 liczbę krzeseł wyprodukowanych w ciągu jednego dnia.<br>Zysk ze sprzedaży jest różnicą przychodu ze sprzedaży krzeseł oraz kosztu ich wytworzenia:<br>𝑍(𝑥) = 196𝑥-𝐾(𝑥) = 196𝑥-(4𝑥2 + 4𝑥+ 240) = -4𝑥2 + 192𝑥-240<br>Ponieważ dziennie w zakładzie można wyprodukować maksymalnie 30 krzeseł, więc<br>dziedziną funkcji 𝑍 jest zbiór wszystkich liczb całkowitych należących do przedziału [0, 30].<br>Wykresem funkcji 𝑍(𝑥) = -4𝑥2 + 192𝑥-240, gdzie 𝑥 jest liczbą całkowitą z przedziału<br>[0, 30], jest zbiór punktów leżących na paraboli o ramionach skierowanych w dół.<br>Obliczamy współrzędne wierzchołka 𝑊= (𝑝, 𝑞) tej paraboli:<br>𝑝= -192<br>2 ⋅(-4) = 24, 24 ∈{0, 1, 2, … , 30}<br>𝑞= 𝑍(𝑝) = -4 ⋅242 + 192 ⋅24 -240 = 2 064<br>Największy dzienny zysk, równy 2 064 zł, jest osiągany przy dziennej produkcji 24 krzeseł.<br>Ocena prac osób ze stwierdzoną dyskalkulią<br>Obowiązują zasady oceniania stosowane przy sprawdzaniu prac zdających bez stwierdzonej<br>dyskalkulii z dodatkowym uwzględnieniem:<br>I. ogólnych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze<br>stwierdzoną dyskalkulią (punkty 1.-12.);<br>II. dodatkowych szczegółowych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy<br>osób ze stwierdzoną dyskalkulią - egzamin maturalny z matematyki, poziom<br>podstawowy, termin poprawkowy 2023.<br>I. Ogólne zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną<br>dyskalkulią</p>\n<ol><li>Nie należy traktować jako błędy merytoryczne pomyłek, wynikających z:</li></ol>\n<p>błędnego przepisania<br>przestawienia cyfr<br>zapisania innej cyfry, ale o podobnym wyglądzie<br>przestawienia położenia przecinka.</p>\n<ol><li>W przypadku błędów, wynikających ze zmiany znaku liczby, należy w każdym zadaniu</li></ol>\n<p>oddzielnie przeanalizować, czy zdający opanował inne umiejętności, poza<br>umiejętnościami rachunkowymi, oceniane w zadaniu. W przypadku opanowania<br>badanych umiejętności zdający powinien otrzymać przynajmniej 1 punkt.</p>\n<ol><li>We wszystkich zadaniach otwartych, w których wskazano poprawną metodę</li></ol>\n<p>rozwiązania, części lub całości zadania, zdającemu należy przyznać przynajmniej<br>1 punkt, zgodnie z kryteriami do poszczególnych zadań.</p>\n<ol><li>Jeśli zdający przedstawia nieprecyzyjne zapisy, na przykład pomija nawiasy lub</li></ol>\n<p>zapisuje nawiasy w niewłaściwych miejscach, ale przeprowadza poprawne<br>rozumowanie lub stosuje właściwą strategię, to może otrzymać przynajmniej 1 punkt<br>za rozwiązanie zadania.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania wymagającego wyznaczenia pierwiastków trójmianu</li></ol>\n<p>kwadratowego zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi poprawną metodę<br>wyznaczania pierwiastków trójmianu kwadratowego, przy podanych w treści zadania<br>wartościach liczbowych.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania wymagającego rozwiązania nierówności kwadratowej zdający</li></ol>\n<p>może otrzymać 1 punkt, jeżeli stosuje poprawny algorytm rozwiązywania nierówności<br>kwadratowej, przy podanych w treści zadania wartościach liczbowych.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania wymagającego stosowania własności funkcji kwadratowej</li></ol>\n<p>zdający może otrzymać 1 punkt za wykorzystanie konkretnych własności funkcji<br>kwadratowej, istotnych przy poszukiwaniu rozwiązania.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania wymagającego zastosowania własności ciągów arytmetycznych</li></ol>\n<p>lub geometrycznych zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi wykorzystanie<br>takiej własności ciągu, która umożliwia znalezienie rozwiązania zadania.<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>\n<ol><li>W przypadku zadania wymagającego analizowania figur geometrycznych na</li></ol>\n<p>płaszczyźnie kartezjańskiej zdający może otrzymać punkty, jeżeli przy poszukiwaniu<br>rozwiązania przedstawi poprawne rozumowanie, wykorzystujące własności figur<br>geometrycznych lub zapisze zależności, pozwalające rozwiązać zadanie.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania z rachunku prawdopodobieństwa zdający może otrzymać</li></ol>\n<p>przynajmniej 1 punkt, jeśli przy wyznaczaniu liczby zdarzeń elementarnych<br>sprzyjających rozważanemu zdarzeniu przyjmuje określoną regularność lub podaje<br>prawidłową metodę wyznaczenia tej liczby zdarzeń elementarnych.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania z geometrii zdający może otrzymać przynajmniej 1 punkt, jeżeli</li></ol>\n<p>podaje poprawną metodę wyznaczenia długości odcinka potrzebnej do znalezienia<br>rozwiązania.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania wymagającego przeprowadzenia dowodu (z zakresu algebry lub</li></ol>\n<p>geometrii), jeśli w przedstawionym rozwiązaniu zdający powoła się na własność, która<br>wyznacza istotny postęp, prowadzący do przeprowadzenia dowodu, to może otrzymać<br>1 punkt.<br>II. Dodatkowe szczegółowe zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób<br>ze stwierdzoną dyskalkulią<br>Zadanie 4.<br>Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.<br>Zadanie 9.<br>2 pkt - zapisanie dwóch pierwiastków wielomianu 3𝑥3 -2𝑥2 -3𝑥+ 2 (o ile nie zostały<br>one uzyskane w wyniku błędnej metody).<br>1 pkt - przekształcenie wielomianu 3𝑥3 -2𝑥2 -3𝑥+ 2 do postaci<br>3𝑥(𝑥2 -1) -2(𝑥2 -1) lub 𝑥2(3𝑥-2) -(3𝑥-2).<br>Zadanie 14.2.<br>Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.<br>Zadanie 18.<br>1 pkt - zapisanie równania z dwiema niewiadomymi: 𝑥 oraz 𝑟 (gdzie 𝑟 jest różnicą ciągu<br>arytmetycznego), np. 3𝑥2 + 5𝑥= 𝑥2 + 𝑟.<br>Zadanie 24.<br>1 pkt - zastosowanie definicji funkcji trygonometrycznej lub związków miarowych w trójkącie<br>o kątach 30°, 60°, 90° i zapisanie równania z jedną niewiadomą (wysokością ℎ<br>trapezu lub długością odcinka 𝐴𝐸, lub długością odcinka 𝐵𝐹), np. ℎ<br>4 = sin 60°,<br>|𝐴𝐸|<br>4<br>= cos 60°.<br>Zadanie 29.2.<br>Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.<br>Zadanie 31.<br>1 pkt - zapisanie jedynie liczby 20 (należy traktować to jako wyznaczenie liczby wszystkich<br>zdarzeń elementarnych).<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>W ocenie rozwiązania tego zadania (dla zdających z dyskalkulią) nie stosuje się uwagi 1.</li></ol>\n<p>ze standardowych zasad oceniania.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający poprawnie wypisze/zaznaczy wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające</li></ol>\n<p>zdarzeniu 𝐴, lecz popełni błąd w ich zliczeniu (|𝐴| = 5) i konsekwentnie zapisze<br>wynik 5<br>20 , to otrzymuje 2 punkty.<br>Zadanie 33.<br>Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-33.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: \\(16\\sqrt{3}\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Wysokość z trygonometrii + wzór na pole trapezu</h4>\n<p><strong>Dane:</strong> trapez ABCD, \\(CD = 6\\), \\(AD = BC = 4\\) (ramiona równe), \\(\\angle BAD = \\angle ABC = 60°\\).</p>\n<p><strong>Krok 1 - Wyznacz wysokość trapezu.</strong></p>\n<p>Opuszczam prostopadłą z D na AB - punkt \\(H\\). Trójkąt \\(ADH\\) jest prostokątny, z kątem \\(\\angle DAH = 60°\\) i przeciwprostokątną \\(AD = 4\\).</p>\n<p>\\[h = AD \\cdot \\sin 60° = 4 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = 2\\sqrt{3}\\]</p>\n<p><strong>Krok 2 - Wyznacz długość podstawy AB.</strong></p>\n<p>Rzut poziomy ramienia:<br>\\[AH = AD \\cdot \\cos 60° = 4 \\cdot \\frac{1}{2} = 2\\]</p>\n<p>Trapez jest równoramienny, więc po obu stronach mamy takie same &quot;wystające&quot; odcinki:<br>\\[AB = CD + 2 \\cdot AH = 6 + 2 \\cdot 2 = 10\\]</p>\n<p><strong>Krok 3 - Oblicz pole.</strong></p>\n<p>\\[P = \\frac{AB + CD}{2} \\cdot h = \\frac{10 + 6}{2} \\cdot 2\\sqrt{3} = 8 \\cdot 2\\sqrt{3} = \\mathbf{16\\sqrt{3}}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Rozbicie na prostokąt i dwa trójkąty</h4>\n<p>Trapez równoramienny można rozbić na:</p>\n<ul><li>prostokąt o bokach \\(CD \\times h = 6 \\times 2\\sqrt{3}\\)</li><li>dwa przystające trójkąty prostokątne o przyprostokątnych \\(AH = 2\\) i \\(h = 2\\sqrt{3}\\)</li></ul>\n<p>Pole prostokąta:<br>\\[P_{\\text{prost}} = 6 \\cdot 2\\sqrt{3} = 12\\sqrt{3}\\]</p>\n<p>Pole jednego trójkąta:<br>\\[P_{\\triangle} = \\frac{1}{2} \\cdot 2 \\cdot 2\\sqrt{3} = 2\\sqrt{3}\\]</p>\n<p>Całkowite pole:<br>\\[P = 12\\sqrt{3} + 2 \\cdot 2\\sqrt{3} = 12\\sqrt{3} + 4\\sqrt{3} = \\mathbf{16\\sqrt{3}}\\]</p>\n<p>Wyniki zgodne ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 20)</strong> - wzór na pole trapezu:<br>\\[P = \\frac{a + b}{2} \\cdot h\\]<br>gdzie \\(a, b\\) to długości podstaw, \\(h\\) - wysokość. Użyliśmy w Sposobie 1, krok 3.</p>\n<p><strong>Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)</strong> - wartości funkcji trygonometrycznych:<br>\\[\\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}, \\quad \\cos 60° = \\frac{1}{2}\\]<br>Użyliśmy do wyznaczenia wysokości i rzutu poziomego ramienia.</p>\n<h4>Typowe pułapki</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Kąt \\(60°\\) to kąt przy <strong>podstawie</strong> (przy AB), nie przy krótszej podstawie CD - od razu bierzemy \\(\\sin 60°\\) z ramienia AD, nie z CD.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Pamiętaj, że &quot;wystający&quot; fragment po każdej stronie to \\(\\cos 60° \\cdot 4 = 2\\), a nie cała długość ramienia. AB ≠ CD + 4, tylko AB = CD + 2·2.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wynik \\(16\\sqrt{3}\\) zostaw w postaci dokładnej - nie przybliżaj do \\(\\approx 27{,}7\\), jeśli zadanie tego nie wymaga. Na maturze postać z pierwiastkiem jest pełnowartościową odpowiedzią.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: \\\\(16\\\\sqrt{3}\\\\)</strong></p>\n<p><strong>Rozwiązanie:</strong></p>\n<p>Trapez równoramienny \\\\(ABCD\\\\): \\\\(|CD| = 6\\\\), \\\\(|AD| = 4\\\\), \\\\(\\\\angle BAD = \\\\angle ABC = 60°\\\\).</p>\n<p><strong>Krok 1:</strong> Wyznaczamy wysokość trapezu.</p>\n<p>Opuszczamy wysokość z \\\\(D\\\\) na \\\\(AB\\\\). W trójkącie prostokątnym przy wierzchołku \\\\(A\\\\):<br>\\\\[h = |AD| \\\\cdot \\\\sin 60° = 4 \\\\cdot \\\\frac{\\\\sqrt{3}}{2} = 2\\\\sqrt{3}\\\\]</p>\n<p><strong>Krok 2:</strong> Wyznaczamy odcinek projekcji ramienia na podstawę.<br>\\\\[|AD| \\\\cdot \\\\cos 60° = 4 \\\\cdot \\\\frac{1}{2} = 2\\\\]</p>\n<p><strong>Krok 3:</strong> Wyznaczamy dłuższą podstawę \\\\(|AB|\\\\).</p>\n<p>Trapez jest równoramienny, więc projekcje obu ramion są równe:<br>\\\\[|AB| = |CD| + 2 \\\\cdot 2 = 6 + 4 = 10\\\\]</p>\n<p><strong>Krok 4:</strong> Obliczamy pole.<br>\\\\[P = \\\\frac{|AB| + |CD|}{2} \\\\cdot h = \\\\frac{10 + 6}{2} \\\\cdot 2\\\\sqrt{3} = 8 \\\\cdot 2\\\\sqrt{3} = 16\\\\sqrt{3}\\\\]</p>\n<p><strong>Użyte wzory z karty CKE:</strong> Pole trapezu: \\\\(P = \\\\frac{a+b}{2} \\\\cdot h\\\\); funkcje trygonometryczne kąta ostrego: \\\\(\\\\sin 60° = \\\\frac{\\\\sqrt{3}}{2}\\\\), \\\\(\\\\cos 60° = \\\\frac{1}{2}\\\\).</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Przychód wynosi P(x)=196x , a koszt K(x)=4x^2+4x+240 . Zysk:</p>\n<p>Z(x)=P(x)-K(x)=-4x^2+192x-240.</p>\n<p>Jest to parabola skierowana ramionami w dół. Współrzędna wierzchołka:</p>\n<p>x_w=-(192)/(2·(-4))=24.</p>\n<p>Zakład powinien wyprodukować 24 krzesła. Największy zysk:</p>\n<p>Z(24)=-4·24^2+192·24-240=2064 zł.</p>"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>Dziennie należy wyprodukować $24$ krzesła, a największy zysk wynosi $2064$ zł.</p>"}]}