{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/34","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"34","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Rozwiąż równanie 2x-3 =[1] 3x-2 2x","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x = 2\\) lub \\(x = \\dfrac{1}{4}\\)\n\n> **Uwaga do treści:** Równanie interpretuję jako \\(2x - 3 = \\dfrac{3x-2}{2x}\\) (prawdopodobna utrata formatowania ułamka przy eksporcie z PDF).\n\n## Sposób 1 - Sprowadzenie do równania kwadratowego (mnożenie przez mianownik)\n\n**Dziedzina:** mianownik \\(2x \\neq 0\\), więc \\(x \\neq 0\\).\n\nObie strony mnożymy przez \\(2x\\):\n\n\\[2x - 3 = \\frac{3x - 2}{2x} \\quad\\Big|\\cdot 2x\\]\n\n\\[(2x - 3) \\cdot 2x = 3x - 2\\]\n\n\\[4x^2 - 6x = 3x - 2\\]\n\nPrzenosimy wszystko na lewą stronę:\n\n\\[4x^2 - 6x - 3x + 2 = 0\\]\n\n\\[4x^2 - 9x + 2 = 0\\]\n\nLiczymy wyróżnik:\n\n\\[\\Delta = (-9)^2 - 4 \\cdot 4 \\cdot 2 = 81 - 32 = 49\\]\n\n\\[\\sqrt{\\Delta} = 7\\]\n\nMiejsca zerowe:\n\n\\[x_1 = \\frac{9 - 7}{2 \\cdot 4} = \\frac{2}{8} = \\frac{1}{4}\\]\n\n\\[x_2 = \\frac{9 + 7}{2 \\cdot 4} = \\frac{16}{8} = 2\\]\n\nSprawdzamy dziedzinę: \\(x_1 = \\frac{1}{4} \\neq 0\\) ✓, \\(x_2 = 2 \\neq 0\\) ✓\n\n**Odpowiedź: \\(x = \\dfrac{1}{4}\\) lub \\(x = 2\\)**\n\n## Sposób 2 - Wzory Viète'a (weryfikacja i szybkie sprawdzenie)\n\nPo doprowadzeniu do postaci \\(4x^2 - 9x + 2 = 0\\), zamiast liczyć deltę, można skorzystać ze wzorów Viète'a, żeby zweryfikować wyniki:\n\n\\[x_1 + x_2 = \\frac{9}{4} \\quad \\text{i} \\quad x_1 \\cdot x_2 = \\frac{2}{4} = \\frac{1}{2}\\]\n\nSprawdzamy dla \\(x_1 = \\frac{1}{4}, x_2 = 2\\):\n\n\\[\\frac{1}{4} + 2 = \\frac{9}{4} \\checkmark\\]\n\n\\[\\frac{1}{4} \\cdot 2 = \\frac{1}{2} \\checkmark\\]\n\nOba wzory Viète'a się zgadzają - wyniki są poprawne.\n\nDodatkowo weryfikacja przez podstawienie do oryginalnego równania:\n\nDla \\(x = 2\\):\n\\[\\text{LS: } 2(2) - 3 = 1, \\quad \\text{PS: } \\frac{3(2)-2}{2 \\cdot 2} = \\frac{4}{4} = 1 \\checkmark\\]\n\nDla \\(x = \\dfrac{1}{4}\\):\n\\[\\text{LS: } 2 \\cdot \\frac{1}{4} - 3 = \\frac{1}{2} - 3 = -\\frac{5}{2}\\]\n\\[\\text{PS: } \\frac{3 \\cdot \\frac{1}{4} - 2}{2 \\cdot \\frac{1}{4}} = \\frac{\\frac{3}{4} - 2}{\\frac{1}{2}} = \\frac{-\\frac{5}{4}}{\\frac{1}{2}} = -\\frac{5}{2} \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wyróżnik i wzór na miejsca zerowe:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac\\]\n\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\nUżyte w Sposobie 1 do rozwiązania równania \\(4x^2 - 9x + 2 = 0\\).\n\n**Dział 7 - wzory Viète'a:**\n\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}, \\quad x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\]\nUżyte w Sposobie 2 do weryfikacji.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze najpierw wyznaczaj dziedzinę! Jeśli po rozwiązaniu dostaniesz \\(x = 0\\), takie rozwiązanie odrzucamy - mianownik \\(2x\\) byłby równy zeru.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mnożąc obie strony przez \\(2x\\), nie wiesz jeszcze, czy \\(2x > 0\\) czy \\(2x < 0\\) - ale w równaniach (w przeciwieństwie do nierówności!) można spokojnie mnożyć przez wyrażenie z \\(x\\), o ile sprawdzisz na końcu dziedzinę.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić się w rozwinięciu \\((2x-3) \\cdot 2x = 4x^2 - 6x\\) - pamiętaj o pomnożeniu \\(KAŻDEGO\\) składnika lewej strony przez \\(2x\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: \\\\(x = 2\\\\) lub \\\\(x = \\\\frac{1}{4}\\\\)**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nRównanie:\n\\\\[\\\\frac{2x-3}{3x-2} = \\\\frac{1}{2x}\\\\]\n\n**Krok 1:** Dziedzina: \\\\(x \\\neq 0\\\\) i \\\\(x \\\neq \\\\frac{2}{3}\\\\).\n\n**Krok 2:** Mnożymy obie strony przez \\\\(2x(3x-2)\\\\):\n\\\\[2x(2x - 3) = 3x - 2\\\\]\n\\\\[4x^2 - 6x = 3x - 2\\\\]\n\\\\[4x^2 - 9x + 2 = 0\\\\]\n\n**Krok 3:** Wyróżnik:\n\\\\[\\\\Delta = 81 - 32 = 49\\\\]\n\\\\[\\\\sqrt{\\\\Delta} = 7\\\\]\n\n\\\\[x_1 = \\\\frac{9 + 7}{8} = \\\\frac{16}{8} = 2\\\\]\n\\\\[x_2 = \\\\frac{9 - 7}{8} = \\\\frac{2}{8} = \\\\frac{1}{4}\\\\]\n\n**Krok 4:** Oba rozwiązania należą do dziedziny (\\\\(x \\\neq 0\\\\) i \\\\(x \\\neq \\\\frac{2}{3}\\\\)) ✓\n\n**Sprawdzenie:**\n- \\\\(x = 2\\\\): \\\\(\\\\frac{2 \\\\cdot 2 - 3}{3 \\\\cdot 2 - 2} = \\\\frac{1}{4}\\\\) i \\\\(\\\\frac{1}{2 \\\\cdot 2} = \\\\frac{1}{4}\\\\) ✓\n- \\\\(x = \\\\frac{1}{4}\\\\): \\\\(\\\\frac{\\\\frac{1}{2} - 3}{\\\\frac{3}{4} - 2} = \\\\frac{-\\\\frac{5}{2}}{-\\\\frac{5}{4}} = 2\\\\) i \\\\(\\\\frac{1}{\\\\frac{1}{2}} = 2\\\\) ✓\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Wyróżnik \\\\(\\\\Delta = b^2 - 4ac\\\\); wzór na pierwiastki równania kwadratowego.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Rozwiąż równanie 2x-3 =[1] 3x-2 2x

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(x = 2\\) lub \\(x = \\dfrac{1}{4}\\)

\n
Uwaga do treści: Równanie interpretuję jako \\(2x - 3 = \\dfrac{3x-2}{2x}\\) (prawdopodobna utrata formatowania ułamka przy eksporcie z PDF).
\n

Sposób 1 - Sprowadzenie do równania kwadratowego (mnożenie przez mianownik)

\n

Dziedzina: mianownik \\(2x \\neq 0\\), więc \\(x \\neq 0\\).

\n

Obie strony mnożymy przez \\(2x\\):

\n

\\[2x - 3 = \\frac{3x - 2}{2x} \\quad\\Big|\\cdot 2x\\]

\n

\\[(2x - 3) \\cdot 2x = 3x - 2\\]

\n

\\[4x^2 - 6x = 3x - 2\\]

\n

Przenosimy wszystko na lewą stronę:

\n

\\[4x^2 - 6x - 3x + 2 = 0\\]

\n

\\[4x^2 - 9x + 2 = 0\\]

\n

Liczymy wyróżnik:

\n

\\[\\Delta = (-9)^2 - 4 \\cdot 4 \\cdot 2 = 81 - 32 = 49\\]

\n

\\[\\sqrt{\\Delta} = 7\\]

\n

Miejsca zerowe:

\n

\\[x_1 = \\frac{9 - 7}{2 \\cdot 4} = \\frac{2}{8} = \\frac{1}{4}\\]

\n

\\[x_2 = \\frac{9 + 7}{2 \\cdot 4} = \\frac{16}{8} = 2\\]

\n

Sprawdzamy dziedzinę: \\(x_1 = \\frac{1}{4} \\neq 0\\) ✓, \\(x_2 = 2 \\neq 0\\) ✓

\n

Odpowiedź: \\(x = \\dfrac{1}{4}\\) lub \\(x = 2\\)

\n

Sposób 2 - Wzory Viète'a (weryfikacja i szybkie sprawdzenie)

\n

Po doprowadzeniu do postaci \\(4x^2 - 9x + 2 = 0\\), zamiast liczyć deltę, można skorzystać ze wzorów Viète'a, żeby zweryfikować wyniki:

\n

\\[x_1 + x_2 = \\frac{9}{4} \\quad \\text{i} \\quad x_1 \\cdot x_2 = \\frac{2}{4} = \\frac{1}{2}\\]

\n

Sprawdzamy dla \\(x_1 = \\frac{1}{4}, x_2 = 2\\):

\n

\\[\\frac{1}{4} + 2 = \\frac{9}{4} \\checkmark\\]

\n

\\[\\frac{1}{4} \\cdot 2 = \\frac{1}{2} \\checkmark\\]

\n

Oba wzory Viète'a się zgadzają - wyniki są poprawne.

\n

Dodatkowo weryfikacja przez podstawienie do oryginalnego równania:

\n

Dla \\(x = 2\\):
\\[\\text{LS: } 2(2) - 3 = 1, \\quad \\text{PS: } \\frac{3(2)-2}{2 \\cdot 2} = \\frac{4}{4} = 1 \\checkmark\\]

\n

Dla \\(x = \\dfrac{1}{4}\\):
\\[\\text{LS: } 2 \\cdot \\frac{1}{4} - 3 = \\frac{1}{2} - 3 = -\\frac{5}{2}\\]
\\[\\text{PS: } \\frac{3 \\cdot \\frac{1}{4} - 2}{2 \\cdot \\frac{1}{4}} = \\frac{\\frac{3}{4} - 2}{\\frac{1}{2}} = \\frac{-\\frac{5}{4}}{\\frac{1}{2}} = -\\frac{5}{2} \\checkmark\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - wyróżnik i wzór na miejsca zerowe:
\\[\\Delta = b^2 - 4ac\\]
\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]
Użyte w Sposobie 1 do rozwiązania równania \\(4x^2 - 9x + 2 = 0\\).

\n

Dział 7 - wzory Viète'a:
\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}, \\quad x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\]
Użyte w Sposobie 2 do weryfikacji.

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Zawsze najpierw wyznaczaj dziedzinę! Jeśli po rozwiązaniu dostaniesz \\(x = 0\\), takie rozwiązanie odrzucamy - mianownik \\(2x\\) byłby równy zeru.
\n
⚠️ Uwaga: Mnożąc obie strony przez \\(2x\\), nie wiesz jeszcze, czy \\(2x > 0\\) czy \\(2x < 0\\) - ale w równaniach (w przeciwieństwie do nierówności!) można spokojnie mnożyć przez wyrażenie z \\(x\\), o ile sprawdzisz na końcu dziedzinę.
\n
⚠️ Uwaga: Łatwo pomylić się w rozwinięciu \\((2x-3) \\cdot 2x = 4x^2 - 6x\\) - pamiętaj o pomnożeniu \\(KAŻDEGO\\) składnika lewej strony przez \\(2x\\).
\n

Poprawna odpowiedź: \\\\(x = 2\\\\) lub \\\\(x = \\\\frac{1}{4}\\\\)

\n

Rozwiązanie:

\n

Równanie:
\\\\[\\\\frac{2x-3}{3x-2} = \\\\frac{1}{2x}\\\\]

\n

Krok 1: Dziedzina: \\\\(x \\
eq 0\\\\) i \\\\(x \\
eq \\\\frac{2}{3}\\\\).

\n

Krok 2: Mnożymy obie strony przez \\\\(2x(3x-2)\\\\):
\\\\[2x(2x - 3) = 3x - 2\\\\]
\\\\[4x^2 - 6x = 3x - 2\\\\]
\\\\[4x^2 - 9x + 2 = 0\\\\]

\n

Krok 3: Wyróżnik:
\\\\[\\\\Delta = 81 - 32 = 49\\\\]
\\\\[\\\\sqrt{\\\\Delta} = 7\\\\]

\n

\\\\[x_1 = \\\\frac{9 + 7}{8} = \\\\frac{16}{8} = 2\\\\]
\\\\[x_2 = \\\\frac{9 - 7}{8} = \\\\frac{2}{8} = \\\\frac{1}{4}\\\\]

\n

Krok 4: Oba rozwiązania należą do dziedziny (\\\\(x \\
eq 0\\\\) i \\\\(x \\
eq \\\\frac{2}{3}\\\\)) ✓

\n

Sprawdzenie:

\n\n

Użyte wzory z karty CKE: Wyróżnik \\\\(\\\\Delta = b^2 - 4ac\\\\); wzór na pierwiastki równania kwadratowego.

"}]}