Ze zbioru pięciu liczb {1, 2, 3, 4, 5} losujemy bez zwracania kolejno dwa razy po jednej liczbie. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że obie wylosowane liczby są nieparzyste.
","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"Losujemy kolejno (z zachowaniem kolejności), więc przestrzeń zdarzeń składa się z par uporządkowanych.
\nKrok 1: Policz wszystkie możliwe wyniki.
\nPierwsze losowanie: 5 możliwości. Drugie losowanie (bez zwracania): 4 możliwości.
\n\\[|\\Omega| = 5 \\cdot 4 = 20\\]
\nKrok 2: Policz liczby nieparzyste w zbiorze.
\nZe zbioru \\(\\{1, 2, 3, 4, 5\\}\\) liczby nieparzyste to: \\(1, 3, 5\\) - jest ich 3.
\nKrok 3: Policz korzystne wyniki (obie liczby nieparzyste).
\nPierwsze losowanie (nieparzysta): 3 możliwości.
Drugie losowanie (nieparzysta, inna niż pierwsza): 2 możliwości.
\\[|A| = 3 \\cdot 2 = 6\\]
\nKrok 4: Oblicz prawdopodobieństwo.
\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|} = \\frac{6}{20} = \\mathbf{\\frac{3}{10}}\\]
\nSkoro interesuje nas tylko to, czy obie liczby są nieparzyste (nie ma znaczenia, która była pierwsza), możemy pracować na zbiorach nieuporządkowanych.
\nKrok 1: Wszystkie możliwe pary nieuporządkowane (bez zwracania).
\n\\[|\\Omega| = \\binom{5}{2} = \\frac{5!}{2! \\cdot 3!} = \\frac{5 \\cdot 4}{2} = 10\\]
\nKrok 2: Korzystne pary - wybieramy 2 nieparzyste spośród \\(\\{1, 3, 5\\}\\).
\n\\[|A| = \\binom{3}{2} = \\frac{3!}{2! \\cdot 1!} = 3\\]
\nKonkretnie te pary to: \\(\\{1,3\\}\\), \\(\\{1,5\\}\\), \\(\\{3,5\\}\\).
\nKrok 3: Prawdopodobieństwo.
\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|} = \\frac{3}{10}\\]
\nOba sposoby dają ten sam wynik - to dobry znak, że odpowiedź jest poprawna.
\nDział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30) - prawdopodobieństwo klasyczne:
\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]
\nUżyliśmy tego wzoru w obu sposobach - liczymy liczbę wyników korzystnych i dzielimy przez liczbę wszystkich równie prawdopodobnych wyników.
\nDział 4 (Silnia i symbol Newtona, s. 6) - kombinacje w Sposobie 2:
\n\\[\\binom{n}{k} = \\frac{n!}{k!(n-k)!}\\]
\nUżyliśmy \\(\\binom{5}{2} = 10\\) (liczba par z 5 elementów) i \\(\\binom{3}{2} = 3\\) (liczba par nieparzystych).
\n⚠️ Uwaga: Losowanie bez zwracania oznacza, że ta sama liczba nie może pojawić się dwa razy. Nie mylić z losowaniem ze zwracaniem, gdzie \\(|\\Omega| = 5 \\cdot 5 = 25\\) - to byłby inny problem!\n
⚠️ Uwaga: Przy losowaniu kolejnym można liczyć zarówno pary uporządkowane (Sposób 1), jak i nieuporządkowane (Sposób 2) - ważne, żeby być konsekwentnym i liczyć zarówno zdarzenia korzystne, jak i całą przestrzeń tą samą metodą. Mieszanie obu podejść daje błąd.\n
⚠️ Uwaga: Łatwy błąd - policzenie prawdopodobieństwa tylko dla pierwszego losowania: \\(P(\\text{pierwsza nieparzysta}) = \\frac{3}{5}\\). To nie wystarczy - trzeba uwzględnić oba losowania!\n
Poprawna odpowiedź: \\\\(\\\\frac{3}{10}\\\\)
\nRozwiązanie:
\nZe zbioru \\\\(\\\\{1, 2, 3, 4, 5\\\\}\\\\) losujemy bez zwracania kolejno dwa razy po jednej liczbie.
\nLiczby nieparzyste w zbiorze: \\\\(\\\\{1, 3, 5\\\\}\\\\) - jest ich 3.
\nLiczba wszystkich wyników: Losujemy kolejno 2 z 5 (kolejność ma znaczenie, bez zwracania):
\\\\[|\\\\Omega| = 5 \\\\cdot 4 = 20\\\\]
Liczba wyników sprzyjających (obie nieparzyste):
\\\\[|A| = 3 \\\\cdot 2 = 6\\\\]
(Pierwszy los: 3 liczby nieparzyste z 5, drugi los: 2 nieparzyste z 4 pozostałych.)
\nPrawdopodobieństwo:
\\\\[P(A) = \\\\frac{|A|}{|\\\\Omega|} = \\\\frac{6}{20} = \\\\frac{3}{10}\\\\]
Użyte wzory z karty CKE: Prawdopodobieństwo klasyczne: \\\\(P(A) = \\\\frac{|A|}{|\\\\Omega|}\\\\); wariacje bez powtórzeń.
"}]}