Punkty , -[21] , B= (6, 7) oraz C= (-9, 2) są wierzchołkami trójkąta ABC . A= ([22] 5 5 ) Symetralna boku AB tego trójkąta przecina bok BC w punkcie D . Oblicz współrzędne punktu D.
","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"Uwaga do treści: Współrzędne punktu A są zniekształcone w OCR. Na podstawie kontekstu i wyniku przyjmuję A = (5, 5), B = (6, 7), C = (-9, 2).\n
Krok 1 - Środek odcinka AB:
\n\\[M_{AB} = \\left(\\frac{5+6}{2},\\ \\frac{5+7}{2}\\right) = \\left(\\frac{11}{2},\\ 6\\right)\\]
\nSymetralna przechodzi przez \\(M_{AB}\\) i jest prostopadła do \\(AB\\).
\nKrok 2 - Nachylenie prostej AB:
\n\\[a_{AB} = \\frac{7-5}{6-5} = \\frac{2}{1} = 2\\]
\nKrok 3 - Nachylenie symetralnej:
\nProste prostopadłe mają iloczyn nachyleń równy \\(-1\\):
\n\\[a_{AB} \\cdot a_{\\perp} = -1 \\implies 2 \\cdot a_{\\perp} = -1 \\implies a_{\\perp} = -\\frac{1}{2}\\]
\nKrok 4 - Równanie symetralnej (prosta przez \\(M = \\left(\\frac{11}{2}, 6\\right)\\) o nachyleniu \\(-\\frac{1}{2}\\)):
\n\\[y - 6 = -\\frac{1}{2}\\left(x - \\frac{11}{2}\\right)\\]
\n\\[y = -\\frac{x}{2} + \\frac{11}{4} + 6 = -\\frac{x}{2} + \\frac{11}{4} + \\frac{24}{4}\\]
\n\\[\\boxed{y = -\\frac{x}{2} + \\frac{35}{4}}\\]
\nKrok 5 - Równanie prostej BC (przez B = (6, 7) i C = (-9, 2)):
\n\\[a_{BC} = \\frac{2-7}{-9-6} = \\frac{-5}{-15} = \\frac{1}{3}\\]
\n\\[y - 7 = \\frac{1}{3}(x - 6) \\implies y = \\frac{x}{3} - 2 + 7\\]
\n\\[\\boxed{y = \\frac{x}{3} + 5}\\]
\nKrok 6 - Wyznaczenie punktu D (przecięcie symetralnej z prostą BC):
\n\\[-\\frac{x}{2} + \\frac{35}{4} = \\frac{x}{3} + 5\\]
\nMnożę obie strony przez 12 (NWW mianowników 2, 4, 3):
\n\\[-6x + 105 = 4x + 60\\]
\n\\[105 - 60 = 4x + 6x\\]
\n\\[45 = 10x \\implies \\mathbf{x = \\frac{9}{2}}\\]
\nPodstawiam do równania BC:
\n\\[y = \\frac{1}{3} \\cdot \\frac{9}{2} + 5 = \\frac{9}{6} + 5 = \\frac{3}{2} + \\frac{10}{2} = \\mathbf{\\frac{13}{2}}\\]
\n\\[\\boxed{D = \\left(\\frac{9}{2},\\ \\frac{13}{2}\\right)}\\]
\nSymetralna boku AB to zbiór punktów równoodległych od A i B. Punkt D leży na BC, więc zapiszmy BC parametrycznie i szukamy punktu spełniającego \\(|DA|^2 = |DB|^2\\).
\nParametryzacja odcinka BC (parametr \\(t \\in [0,1]\\)):
\n\\[\\text{D}(t) = B + t(C - B) = (6, 7) + t(-15, -5) = (6 - 15t,\\ 7 - 5t)\\]
\nWarunek \\(|DA|^2 = |DB|^2\\):
\n\\[(6 - 15t - 5)^2 + (7 - 5t - 5)^2 = (6 - 15t - 6)^2 + (7 - 5t - 7)^2\\]
\n\\[(1 - 15t)^2 + (2 - 5t)^2 = (-15t)^2 + (-5t)^2\\]
\nRozwijam lewą stronę:
\\[1 - 30t + 225t^2 + 4 - 20t + 25t^2 = 225t^2 + 25t^2\\]
\\[5 - 50t + 250t^2 = 250t^2\\]
\n\\[5 - 50t = 0 \\implies t = \\frac{1}{10}\\]
\nWspółrzędne D:
\\[x = 6 - 15 \\cdot \\frac{1}{10} = 6 - \\frac{3}{2} = \\frac{9}{2}\\]
\\[y = 7 - 5 \\cdot \\frac{1}{10} = 7 - \\frac{1}{2} = \\frac{13}{2}\\]
\\[\\boxed{D = \\left(\\frac{9}{2},\\ \\frac{13}{2}\\right)} \\checkmark\\]
\nPonieważ \\(t = \\frac{1}{10} \\in [0, 1]\\), punkt D leży na odcinku BC (nie poza nim).
\nDział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25):
\n⚠️ Uwaga: Symetralna boku AB przechodzi przez środek AB - nie przez wierzchołek! Częsty błąd: zapisanie prostej prostopadłej do AB przez A lub B zamiast przez \\(M_{AB}\\).\n
⚠️ Uwaga: Nachylenie prostej prostopadłej to odwrotność ze znakiem minus: jeśli \\(a_{AB} = 2\\), to \\(a_{\\perp} = -\\frac{1}{2}\\), nie \\(\\frac{1}{2}\\) i nie \\(-2\\).\n
⚠️ Uwaga: Warto sprawdzić, czy wyznaczony punkt D leży rzeczywiście na odcinku BC (nie na jego przedłużeniu) - w Sposobie 2 parametr \\(t = \\frac{1}{10} \\in [0,1]\\) potwierdza, że tak jest.\n
Poprawna odpowiedź: \\\\(D = (-6, 3)\\\\)
\nRozwiązanie:
\nDane: \\\\(A = \\\\left(\\\\frac{22}{5}, -\\\\frac{21}{5}\\\\right)\\\\), \\\\(B = (6, 7)\\\\), \\\\(C = (-9, 2)\\\\).
\nSymetralna boku \\\\(AB\\\\) przecina bok \\\\(BC\\\\) w punkcie \\\\(D\\\\).
\nKrok 1: Środek odcinka \\\\(AB\\\\):
\\\\[M = \\\\left(\\\\frac{\\\\frac{22}{5} + 6}{2}, \\\\ \\\\frac{-\\\\frac{21}{5} + 7}{2}\\\\right) = \\\\left(\\\\frac{\\\\frac{52}{5}}{2}, \\\\ \\\\frac{\\\\frac{14}{5}}{2}\\\\right) = \\\\left(\\\\frac{26}{5}, \\\\ \\\\frac{7}{5}\\\\right)\\\\]
Krok 2: Nachylenie prostej \\\\(AB\\\\):
\\\\[a_{AB} = \\\\frac{7 - \\\\left(-\\\\frac{21}{5}\\\\right)}{6 - \\\\frac{22}{5}} = \\\\frac{\\\\frac{56}{5}}{\\\\frac{8}{5}} = 7\\\\]
Krok 3: Nachylenie symetralnej (prostopadła do \\\\(AB\\\\)):
\\\\[a_s = -\\\\frac{1}{7}\\\\]
Krok 4: Równanie symetralnej przez \\\\(M\\\\left(\\\\frac{26}{5}, \\\\frac{7}{5}\\\\right)\\\\):
\\\\[y - \\\\frac{7}{5} = -\\\\frac{1}{7}\\\\left(x - \\\\frac{26}{5}\\\\right)\\\\]
\\\\[y = -\\\\frac{x}{7} + \\\\frac{26}{35} + \\\\frac{7}{5} = -\\\\frac{x}{7} + \\\\frac{26}{35} + \\\\frac{49}{35} = -\\\\frac{x}{7} + \\\\frac{75}{35} = -\\\\frac{x}{7} + \\\\frac{15}{7}\\\\]
Krok 5: Równanie prostej \\\\(BC\\\\):
\\\\[a_{BC} = \\\\frac{2 - 7}{-9 - 6} = \\\\frac{-5}{-15} = \\\\frac{1}{3}\\\\]
\\\\[y - 7 = \\\\frac{1}{3}(x - 6) \\\\implies y = \\\\frac{x}{3} + 5\\\\]
Krok 6: Punkt przecięcia (symetralna \\\\(\\\\cap\\\\) prosta \\\\(BC\\\\)):
\\\\[-\\\\frac{x}{7} + \\\\frac{15}{7} = \\\\frac{x}{3} + 5\\\\]
Mnożymy przez 21:
\\\\[-3x + 45 = 7x + 105\\\\]
\\\\[-10x = 60\\\\]
\\\\[x = -6\\\\]
\\\\[y = \\\\frac{-6}{3} + 5 = 3\\\\]
Sprawdzenie: \\\\(D = (-6, 3)\\\\) leży na \\\\(BC\\\\): parametr \\\\(t = \\\\frac{-6-6}{-9-6} = \\\\frac{4}{5} \\\\in (0,1)\\\\) ✓
\nSprawdzamy, że \\\\(D\\\\) leży na symetralnej \\\\(AB\\\\) (równoodległy od \\\\(A\\\\) i \\\\(B\\\\)):
\\\\[|DA|^2 = \\\\left(-6 - \\\\frac{22}{5}\\\\right)^2 + \\\\left(3 + \\\\frac{21}{5}\\\\right)^2 = \\\\left(-\\\\frac{52}{5}\\\\right)^2 + \\\\left(\\\\frac{36}{5}\\\\right)^2 = \\\\frac{2704 + 1296}{25} = \\\\frac{4000}{25}\\\\]
\\\\[|DB|^2 = (-6-6)^2 + (3-7)^2 = 144 + 16 = 160 = \\\\frac{4000}{25}\\\\] ✓
Użyte wzory z karty CKE: Środek odcinka; nachylenie prostej; proste prostopadłe: \\\\(a_1 \\\\cdot a_2 = -1\\\\); długość odcinka.
"}]}