{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"4","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (0-2)\nWykaż, że dla każdej liczby naturalnej 𝒏≥𝟏 liczba 𝟑𝒏𝟑+ 𝟏𝟖𝒏𝟐+ 𝟏𝟓𝒏 jest\npodzielna przez 𝟔.\n\nMMAP-P0_100\nWykaż, że dla każdej liczby naturalnej n≥1 liczba 3n^3+18n^2+15n jest podzielna przez 6.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 4. (0-2)\nZasady oceniania\n2 pkt - uzasadnienie, że wyrażenie 3𝑛3 + 18𝑛2 + 15𝑛 jest liczbą podzielną przez 3 oraz\nprzez 2.\n1 pkt - przekształcenie wyrażenia 3𝑛3 + 18𝑛2 + 15𝑛 do postaci 3𝑛(𝑛2 + 6𝑛+ 5) lub\n3(𝑛3 + 6𝑛2 + 5𝑛), lub 3𝑛(𝑛+ 1)(𝑛+ 5)\nALBO\n- uzasadnienie, że wyrażenie 3𝑛3 + 18𝑛2 + 15𝑛 jest liczbą podzielną przez 3,\nALBO\n- rozpatrzenie przypadku, gdy 𝑛 jest liczbą parzystą (lub nieparzystą) i uzasadnienie,\nże wówczas 3𝑛3 + 18𝑛2 + 15𝑛 dzieli się przez 6,\nALBO\n- uzasadnienie, że wyrażenie 3𝑛3 + 18𝑛2 + 15𝑛 (lub 3𝑛3 + 15𝑛, lub 𝑛3 + 5𝑛) jest\nliczbą podzielną przez 2.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość tezy tylko dla wybranych wartości 𝑛, to otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający przyjmuje np. 𝑛= 6𝑘+ 𝑟, gdzie 𝑘 jest liczbą całkowitą nieujemną i 𝑟\njest resztą z dzielenia liczby 𝑛 przez 6, i przeprowadzi poprawne rozumowanie dla co\nnajmniej połowy przypadków, ale nie przeprowadzi pełnego rozumowania dla wszystkich\nprzypadków, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPrzekształcamy równoważnie wyrażenie 3𝑛3 + 18𝑛2 + 15𝑛 do postaci iloczynu\n3𝑛3 + 18𝑛2 + 15𝑛= 3𝑛(𝑛2 + 6𝑛+ 5) = 3𝑛(𝑛+ 1)(𝑛+ 5)\nPonieważ liczby 𝑛 oraz 𝑛+ 1 są kolejnymi liczbami naturalnymi, to jedna z nich jest liczbą\nparzystą, zatem iloczyn 𝑛(𝑛+ 1) jest liczbą parzystą, więc iloczyn 3𝑛(𝑛+ 1)(𝑛+ 5) jest\npodzielny przez 6. To należało wykazać.\nSposób II\nPrzekształcamy równoważnie wyrażenie 3𝑛3 + 18𝑛2 + 15𝑛 do postaci iloczynu\n3𝑛3 + 18𝑛2 + 15𝑛= 3(𝑛3 + 6𝑛2 + 5𝑛)\nRozważmy dwa przypadki: gdy 𝑛 jest liczbą parzystą oraz gdy 𝑛 jest liczbą nieparzystą.\nJeśli 𝑛 jest liczbą parzystą, to wtedy 𝑛3 jest liczbą parzystą, 6𝑛2 jest liczba parzystą i 5𝑛\njest liczbą parzystą. Stąd 𝑛3 + 6𝑛2 + 5𝑛 jest liczbą parzystą (jako suma liczb parzystych).\nZatem 3(𝑛3 + 6𝑛2 + 5𝑛) dzieli się przez 3 oraz przez 2, czyli dzieli się przez 6.\nJeśli 𝑛 jest liczbą nieparzystą, to wtedy 𝑛3 jest liczbą nieparzystą, 6𝑛2 jest liczba parzystą\ni 5𝑛 jest liczbą nieparzystą. Stąd 𝑛3 + 6𝑛2 + 5𝑛 jest liczbą parzystą (jako suma dwóch\nliczb nieparzystych i liczby parzystej). Zatem 3(𝑛3 + 6𝑛2 + 5𝑛) dzieli się przez 3 oraz\nprzez 2, czyli dzieli się przez 6. To należało wykazać.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(\\frac{1}{3}\\)\n\n## Sposób 1 - Obliczanie po kolei każdego składnika\n\nRozbijamy wyrażenie na części i obliczamy każdą z osobna.\n\n**Krok 1: Licznik ułamka**\n\\[3^{-1} = \\frac{1}{3}\\]\n\n**Krok 2: Mianownik ułamka**\n\nUwaga na dwie rzeczy: podstawa jest ujemna, a wykładnik jest ujemny.\n\nUjemny wykładnik oznacza odwrotność:\n\\[\\left(-\\frac{1}{9}\\right)^{-2} = \\frac{1}{\\left(-\\frac{1}{9}\\right)^2}\\]\n\nPodnosimy do kwadratu (minus znika, bo wykładnik parzysty):\n\\[\\left(-\\frac{1}{9}\\right)^2 = \\frac{(-1)^2}{9^2} = \\frac{1}{81}\\]\n\nZatem:\n\\[\\left(-\\frac{1}{9}\\right)^{-2} = \\frac{1}{\\frac{1}{81}} = 81\\]\n\n**Krok 3: Składamy ułamek**\n\\[\\frac{3^{-1}}{\\left(-\\frac{1}{9}\\right)^{-2}} = \\frac{\\frac{1}{3}}{81} = \\frac{1}{3} \\cdot \\frac{1}{81} = \\frac{1}{243}\\]\n\n**Krok 4: Mnożymy przez 81**\n\\[\\frac{1}{243} \\cdot 81 = \\frac{81}{243} = \\frac{1}{3}\\]\n\n**Wynik: \\(\\dfrac{1}{3}\\)**\n\n## Sposób 2 - Przekształcenie przez zamianę ujemnych wykładników\n\nUżywamy reguły \\(a^{-n} = \\frac{1}{a^n}\\) odwrotnie: dzielenie przez \\(a^{-n}\\) to mnożenie przez \\(a^n\\).\n\n\\[\\frac{3^{-1}}{\\left(-\\frac{1}{9}\\right)^{-2}} \\cdot 81 = 3^{-1} \\cdot \\left(-\\frac{1}{9}\\right)^{2} \\cdot 81\\]\n\nTeraz każdy czynnik:\n\\[3^{-1} = \\frac{1}{3}, \\qquad \\left(-\\frac{1}{9}\\right)^2 = \\frac{1}{81}\\]\n\nMnożymy wszystko razem:\n\\[\\frac{1}{3} \\cdot \\frac{1}{81} \\cdot 81 = \\frac{1}{3} \\cdot \\underbrace{\\frac{81}{81}}_{= 1} = \\frac{1}{3}\\]\n\nCzynniki \\(\\frac{1}{81}\\) i \\(81\\) skracają się do 1 - warto to zauważyć od razu, żeby zaoszczędzić obliczenia.\n\n**Wynik: \\(\\dfrac{1}{3}\\)**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)**\n\nWzory użyte w tym zadaniu:\n\n\\[a^{-n} = \\frac{1}{a^n}\\]\n\nUżyte przy \\(3^{-1} = \\frac{1}{3}\\) oraz do rozwinięcia \\(\\left(-\\frac{1}{9}\\right)^{-2}\\).\n\n\\[\\left(\\frac{a}{b}\\right)^r = \\frac{a^r}{b^r}\\]\n\nUżyte przy potęgowaniu ułamka \\(\\left(-\\frac{1}{9}\\right)^2 = \\frac{(-1)^2}{9^2} = \\frac{1}{81}\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Znak minus podstawy NIE przenosi się na wynik przy parzystym wykładniku. \\(\\left(-\\frac{1}{9}\\right)^2 = +\\frac{1}{81}\\), a nie \\(-\\frac{1}{81}\\). To najczęstszy błąd.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Ujemny wykładnik przy mianowniku ułamka - wiele osób myli kierunek: \\(\\frac{1}{a^{-2}} = a^2\\), nie \\(\\frac{1}{a^2}\\). Dzielenie przez \\(a^{-2}\\) to mnożenie przez \\(a^2\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kolejność działań - mnożenie przez 81 dotyczy całego wyrażenia \\(\\frac{3^{-1}}{(\\ldots)^{-2}}\\), nie tylko mianownika. Nie wolno wciągnąć 81 tylko do mianownika.\n\n**Odpowiedź: \\(\\frac{1}{3}\\)**\n\n**Sposób 1** - Krok po kroku\n\nWyrażenie: \\(\\frac{3^{-1}}{\\left(-\\frac{1}{9}\\right)^{-2}} \\cdot 81\\)\n\nKrok 1: \\(3^{-1} = \\frac{1}{3}\\)\n\nKrok 2: \\(\\left(-\\frac{1}{9}\\right)^{-2} = \\left(\\frac{1}{-\\frac{1}{9}}\\right)^{2}\\) Lepiej: \\(\\left(-\\frac{1}{9}\\right)^{-2} = \\frac{1}{\\left(-\\frac{1}{9}\\right)^2} = \\frac{1}{\\frac{1}{81}} = 81\\)\n\nAlbo inaczej: \\(\\left(-\\frac{1}{9}\\right)^{-2} = (-9)^2 = 81\\).\n\nKrok 3: Podstawiamy:\n\\[\\frac{\\frac{1}{3}}{81} \\cdot 81 = \\frac{1}{3} \\cdot \\frac{81}{81} = \\frac{1}{3} \\cdot 1 = \\frac{1}{3}\\]\n\nAle uwaga - kolejność działań: \\(\\frac{3^{-1}}{\\left(-\\frac{1}{9}\\right)^{-2}} \\cdot 81\\).\n\n\\[= \\frac{1/3}{81} \\cdot 81 = \\frac{1}{3}\\]\n\n**Sposób 2** - Zamiana na potęgi 3\n\n\\(3^{-1} = 3^{-1}\\), \\(\\left(-\\frac{1}{9}\\right)^{-2} = 9^2 = 3^4 = 81\\), \\(81 = 3^4\\).\n\n\\[\\frac{3^{-1}}{3^4} \\cdot 3^4 = 3^{-1} \\cdot 3^{4-4} = 3^{-1} \\cdot 3^0 = 3^{-1} = \\frac{1}{3}\\]\n\n**Wzory z karty CKE:**\n- \\(a^{-n} = \\frac{1}{a^n}\\), \\(\\left(\\frac{a}{b}\\right)^{-n} = \\left(\\frac{b}{a}\\right)^n\\) (Dział 1, s. 1)","image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-4.svg","topics":"Dowody algebraiczne, liczby_naturalne","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 4. (0-2)<br>Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej 𝒏≥𝟏 liczba 𝟑𝒏𝟑+ 𝟏𝟖𝒏𝟐+ 𝟏𝟓𝒏 jest<br>podzielna przez 𝟔.</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n≥1 liczba 3n^3+18n^2+15n jest podzielna przez 6.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 4. (0-2)<br>Zasady oceniania<br>2 pkt - uzasadnienie, że wyrażenie 3𝑛3 + 18𝑛2 + 15𝑛 jest liczbą podzielną przez 3 oraz<br>przez 2.<br>1 pkt - przekształcenie wyrażenia 3𝑛3 + 18𝑛2 + 15𝑛 do postaci 3𝑛(𝑛2 + 6𝑛+ 5) lub<br>3(𝑛3 + 6𝑛2 + 5𝑛), lub 3𝑛(𝑛+ 1)(𝑛+ 5)<br>ALBO</p>\n<ul><li>uzasadnienie, że wyrażenie 3𝑛3 + 18𝑛2 + 15𝑛 jest liczbą podzielną przez 3,</li></ul>\n<p>ALBO</p>\n<ul><li>rozpatrzenie przypadku, gdy 𝑛 jest liczbą parzystą (lub nieparzystą) i uzasadnienie,</li></ul>\n<p>że wówczas 3𝑛3 + 18𝑛2 + 15𝑛 dzieli się przez 6,<br>ALBO</p>\n<ul><li>uzasadnienie, że wyrażenie 3𝑛3 + 18𝑛2 + 15𝑛 (lub 3𝑛3 + 15𝑛, lub 𝑛3 + 5𝑛) jest</li></ul>\n<p>liczbą podzielną przez 2.<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość tezy tylko dla wybranych wartości 𝑛, to otrzymuje</li></ol>\n<p>0 punktów za całe rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający przyjmuje np. 𝑛= 6𝑘+ 𝑟, gdzie 𝑘 jest liczbą całkowitą nieujemną i 𝑟</li></ol>\n<p>jest resztą z dzielenia liczby 𝑛 przez 6, i przeprowadzi poprawne rozumowanie dla co<br>najmniej połowy przypadków, ale nie przeprowadzi pełnego rozumowania dla wszystkich<br>przypadków, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób I<br>Przekształcamy równoważnie wyrażenie 3𝑛3 + 18𝑛2 + 15𝑛 do postaci iloczynu<br>3𝑛3 + 18𝑛2 + 15𝑛= 3𝑛(𝑛2 + 6𝑛+ 5) = 3𝑛(𝑛+ 1)(𝑛+ 5)<br>Ponieważ liczby 𝑛 oraz 𝑛+ 1 są kolejnymi liczbami naturalnymi, to jedna z nich jest liczbą<br>parzystą, zatem iloczyn 𝑛(𝑛+ 1) jest liczbą parzystą, więc iloczyn 3𝑛(𝑛+ 1)(𝑛+ 5) jest<br>podzielny przez 6. To należało wykazać.<br>Sposób II<br>Przekształcamy równoważnie wyrażenie 3𝑛3 + 18𝑛2 + 15𝑛 do postaci iloczynu<br>3𝑛3 + 18𝑛2 + 15𝑛= 3(𝑛3 + 6𝑛2 + 5𝑛)<br>Rozważmy dwa przypadki: gdy 𝑛 jest liczbą parzystą oraz gdy 𝑛 jest liczbą nieparzystą.<br>Jeśli 𝑛 jest liczbą parzystą, to wtedy 𝑛3 jest liczbą parzystą, 6𝑛2 jest liczba parzystą i 5𝑛<br>jest liczbą parzystą. Stąd 𝑛3 + 6𝑛2 + 5𝑛 jest liczbą parzystą (jako suma liczb parzystych).<br>Zatem 3(𝑛3 + 6𝑛2 + 5𝑛) dzieli się przez 3 oraz przez 2, czyli dzieli się przez 6.<br>Jeśli 𝑛 jest liczbą nieparzystą, to wtedy 𝑛3 jest liczbą nieparzystą, 6𝑛2 jest liczba parzystą<br>i 5𝑛 jest liczbą nieparzystą. Stąd 𝑛3 + 6𝑛2 + 5𝑛 jest liczbą parzystą (jako suma dwóch<br>liczb nieparzystych i liczby parzystej). Zatem 3(𝑛3 + 6𝑛2 + 5𝑛) dzieli się przez 3 oraz<br>przez 2, czyli dzieli się przez 6. To należało wykazać.</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-4.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: \\(\\frac{1}{3}\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Obliczanie po kolei każdego składnika</h4>\n<p>Rozbijamy wyrażenie na części i obliczamy każdą z osobna.</p>\n<p><strong>Krok 1: Licznik ułamka</strong><br>\\[3^{-1} = \\frac{1}{3}\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Mianownik ułamka</strong></p>\n<p>Uwaga na dwie rzeczy: podstawa jest ujemna, a wykładnik jest ujemny.</p>\n<p>Ujemny wykładnik oznacza odwrotność:<br>\\[\\left(-\\frac{1}{9}\\right)^{-2} = \\frac{1}{\\left(-\\frac{1}{9}\\right)^2}\\]</p>\n<p>Podnosimy do kwadratu (minus znika, bo wykładnik parzysty):<br>\\[\\left(-\\frac{1}{9}\\right)^2 = \\frac{(-1)^2}{9^2} = \\frac{1}{81}\\]</p>\n<p>Zatem:<br>\\[\\left(-\\frac{1}{9}\\right)^{-2} = \\frac{1}{\\frac{1}{81}} = 81\\]</p>\n<p><strong>Krok 3: Składamy ułamek</strong><br>\\[\\frac{3^{-1}}{\\left(-\\frac{1}{9}\\right)^{-2}} = \\frac{\\frac{1}{3}}{81} = \\frac{1}{3} \\cdot \\frac{1}{81} = \\frac{1}{243}\\]</p>\n<p><strong>Krok 4: Mnożymy przez 81</strong><br>\\[\\frac{1}{243} \\cdot 81 = \\frac{81}{243} = \\frac{1}{3}\\]</p>\n<p><strong>Wynik: \\(\\dfrac{1}{3}\\)</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Przekształcenie przez zamianę ujemnych wykładników</h4>\n<p>Używamy reguły \\(a^{-n} = \\frac{1}{a^n}\\) odwrotnie: dzielenie przez \\(a^{-n}\\) to mnożenie przez \\(a^n\\).</p>\n<p>\\[\\frac{3^{-1}}{\\left(-\\frac{1}{9}\\right)^{-2}} \\cdot 81 = 3^{-1} \\cdot \\left(-\\frac{1}{9}\\right)^{2} \\cdot 81\\]</p>\n<p>Teraz każdy czynnik:<br>\\[3^{-1} = \\frac{1}{3}, \\qquad \\left(-\\frac{1}{9}\\right)^2 = \\frac{1}{81}\\]</p>\n<p>Mnożymy wszystko razem:<br>\\[\\frac{1}{3} \\cdot \\frac{1}{81} \\cdot 81 = \\frac{1}{3} \\cdot \\underbrace{\\frac{81}{81}}_{= 1} = \\frac{1}{3}\\]</p>\n<p>Czynniki \\(\\frac{1}{81}\\) i \\(81\\) skracają się do 1 - warto to zauważyć od razu, żeby zaoszczędzić obliczenia.</p>\n<p><strong>Wynik: \\(\\dfrac{1}{3}\\)</strong></p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)</strong></p>\n<p>Wzory użyte w tym zadaniu:</p>\n<p>\\[a^{-n} = \\frac{1}{a^n}\\]</p>\n<p>Użyte przy \\(3^{-1} = \\frac{1}{3}\\) oraz do rozwinięcia \\(\\left(-\\frac{1}{9}\\right)^{-2}\\).</p>\n<p>\\[\\left(\\frac{a}{b}\\right)^r = \\frac{a^r}{b^r}\\]</p>\n<p>Użyte przy potęgowaniu ułamka \\(\\left(-\\frac{1}{9}\\right)^2 = \\frac{(-1)^2}{9^2} = \\frac{1}{81}\\).</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Znak minus podstawy NIE przenosi się na wynik przy parzystym wykładniku. \\(\\left(-\\frac{1}{9}\\right)^2 = +\\frac{1}{81}\\), a nie \\(-\\frac{1}{81}\\). To najczęstszy błąd.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Ujemny wykładnik przy mianowniku ułamka - wiele osób myli kierunek: \\(\\frac{1}{a^{-2}} = a^2\\), nie \\(\\frac{1}{a^2}\\). Dzielenie przez \\(a^{-2}\\) to mnożenie przez \\(a^2\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Kolejność działań - mnożenie przez 81 dotyczy całego wyrażenia \\(\\frac{3^{-1}}{(\\ldots)^{-2}}\\), nie tylko mianownika. Nie wolno wciągnąć 81 tylko do mianownika.</blockquote>\n<p><strong>Odpowiedź: \\(\\frac{1}{3}\\)</strong></p>\n<p><strong>Sposób 1</strong> - Krok po kroku</p>\n<p>Wyrażenie: \\(\\frac{3^{-1}}{\\left(-\\frac{1}{9}\\right)^{-2}} \\cdot 81\\)</p>\n<p>Krok 1: \\(3^{-1} = \\frac{1}{3}\\)</p>\n<p>Krok 2: \\(\\left(-\\frac{1}{9}\\right)^{-2} = \\left(\\frac{1}{-\\frac{1}{9}}\\right)^{2}\\) Lepiej: \\(\\left(-\\frac{1}{9}\\right)^{-2} = \\frac{1}{\\left(-\\frac{1}{9}\\right)^2} = \\frac{1}{\\frac{1}{81}} = 81\\)</p>\n<p>Albo inaczej: \\(\\left(-\\frac{1}{9}\\right)^{-2} = (-9)^2 = 81\\).</p>\n<p>Krok 3: Podstawiamy:<br>\\[\\frac{\\frac{1}{3}}{81} \\cdot 81 = \\frac{1}{3} \\cdot \\frac{81}{81} = \\frac{1}{3} \\cdot 1 = \\frac{1}{3}\\]</p>\n<p>Ale uwaga - kolejność działań: \\(\\frac{3^{-1}}{\\left(-\\frac{1}{9}\\right)^{-2}} \\cdot 81\\).</p>\n<p>\\[= \\frac{1/3}{81} \\cdot 81 = \\frac{1}{3}\\]</p>\n<p><strong>Sposób 2</strong> - Zamiana na potęgi 3</p>\n<p>\\(3^{-1} = 3^{-1}\\), \\(\\left(-\\frac{1}{9}\\right)^{-2} = 9^2 = 3^4 = 81\\), \\(81 = 3^4\\).</p>\n<p>\\[\\frac{3^{-1}}{3^4} \\cdot 3^4 = 3^{-1} \\cdot 3^{4-4} = 3^{-1} \\cdot 3^0 = 3^{-1} = \\frac{1}{3}\\]</p>\n<p><strong>Wzory z karty CKE:</strong></p>\n<ul><li>\\(a^{-n} = \\frac{1}{a^n}\\), \\(\\left(\\frac{a}{b}\\right)^{-n} = \\left(\\frac{b}{a}\\right)^n\\) (Dział 1, s. 1)</li></ul>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>3n^3+18n^2+15n=3n(n^2+6n+5)=3n(n+1)(n+5).</p>\n<p>Liczby n i n+1 są kolejnymi liczbami naturalnymi, więc jedna z nich jest parzysta. Iloczyn n(n+1)(n+5) jest więc podzielny przez 2 , a po pomnożeniu przez 3 całe wyrażenie jest podzielne przez 6 .</p>"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>Uzasadnienie</p>"}]}