{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nWartość wyrażenia\n3-1\n(- 1\n9\n)\n-2 ∙81 jest równa\nA. 1\n3\nB. (-1\n3)\nC. 3\nD. (-3)\nWartość wyrażenia 3^-1 /(-1/9)^-2⋅81 jest równa A. 1/3 B. (-1/3) C. 3 D. (-3)","answer":"A","answer_text":"Zadanie 5. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - wartość wyrażenia wynosi \\(0\\)\n\n## Sposób 1 - Spostrzeżenie algebraiczne (bez rachunków)\n\nTreść zadania to (po odczytaniu garblednego OCR):\n\\[(2 - \\sqrt{3})^2 - (\\sqrt{3} - 2)^2\\]\n\n**Kluczowe spostrzeżenie:** zauważamy, że drugi czynnik jest negacją pierwszego:\n\\[\\sqrt{3} - 2 = -(2 - \\sqrt{3})\\]\n\nJeśli oznaczymy \\(a = 2 - \\sqrt{3}\\), to:\n\\[a^2 - (-a)^2 = a^2 - a^2 = \\boxed{0}\\]\n\nPodniesienie liczby do kwadratu **zawsze daje wynik nieujemny i eliminuje znak**, dlatego \\(a^2 = (-a)^2\\) dla każdego \\(a\\).\n\n## Sposób 2 - Rozwinięcie nawiasów (weryfikacja)\n\nRozwijamy oba kwadraty ze wzorów skróconego mnożenia \\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\):\n\n\\[(2-\\sqrt{3})^2 = 4 - 2 \\cdot 2 \\cdot \\sqrt{3} + 3 = 7 - 4\\sqrt{3}\\]\n\n\\[(\\sqrt{3}-2)^2 = 3 - 2 \\cdot \\sqrt{3} \\cdot 2 + 4 = 7 - 4\\sqrt{3}\\]\n\nOdejmujemy:\n\\[(7 - 4\\sqrt{3}) - (7 - 4\\sqrt{3}) = 7 - 4\\sqrt{3} - 7 + 4\\sqrt{3} = \\mathbf{0}\\]\n\nWynik potwierdza: **odpowiedź B.**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):**\n\\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 do rozwinięcia \\((2-\\sqrt{3})^2\\) i \\((\\sqrt{3}-2)^2\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A: \\(-2\\sqrt{3}\\) | Odjęcie wyrazów bez podnoszenia do kwadratu: \\((2-\\sqrt{3}) - (\\sqrt{3}-2) = 4 - 2\\sqrt{3}\\), lub pomylenie kolejności - wychodzi coś z \\(\\sqrt{3}\\) |\n| C: \\(6\\) | Policzenie \\((2-\\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1\\) i \\((\\sqrt{3}-2)^2 = 3-4 = -1\\) (błędne mnożenie krzyżowe), a następnie: \\(1-(-1) = \\), lub inne błędy przy rozwinięciu |\n| D: \\(8\\sqrt{3}\\) | Pomylenie znaków - policzenie \\((2+\\sqrt{3})^2 - (\\sqrt{3}-2)^2\\) zamiast z minusem: \\[(2+\\sqrt{3})^2 - (\\sqrt{3}-2)^2 = (7+4\\sqrt{3}) - (7-4\\sqrt{3}) = 8\\sqrt{3}\\] |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kwadrat liczby ujemnej jest dodatni - \\((-a)^2 = a^2\\). Uczniowie często mylą \\((-\\sqrt{3})^2 = 3\\) z \\(-(\\sqrt{3})^2 = -3\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl \\((a-b)^2\\) z \\(a^2 - b^2\\)! To drugi wzór to różnica kwadratów \\((a-b)(a+b)\\), a nie kwadrat różnicy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Widząc dwie liczby różniące się tylko kolejnością w odejmowaniu (np. \\(2-\\sqrt{3}\\) i \\(\\sqrt{3}-2\\)), od razu sprawdź, czy są swoimi przeciwnościami - jeśli tak i stoją pod parzystą potęgą, wynik różnicy to zawsze \\(0\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nObliczamy wartość wyrażenia \\\\((2 - \\\\sqrt{3})^2 - (\\\\sqrt{3} - 2)^2\\\\).\n\nZauważmy, że \\\\(\\\\sqrt{3} - 2 = -(2 - \\\\sqrt{3})\\\\), więc:\n\\\\[(\\\\sqrt{3} - 2)^2 = [-(2-\\\\sqrt{3})]^2 = (2-\\\\sqrt{3})^2\\\\]\n\nZatem:\n\\\\[(2-\\\\sqrt{3})^2 - (\\\\sqrt{3}-2)^2 = (2-\\\\sqrt{3})^2 - (2-\\\\sqrt{3})^2 = 0\\\\]\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Wzór skróconego mnożenia \\\\((a-b)^2 = (b-a)^2\\\\); ogólniej \\\\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\\\).\n\n**Dlaczego inne odpowiedzi są błędne:**\n- A. \\\\(-2\\\\sqrt{3}\\\\) - wynik błędnego rozwinięcia kwadratów\n- C. \\\\(6\\\\) - błąd np. z pominięcia znaku minus\n- D. \\\\(8\\\\sqrt{3}\\\\) - wynik dodania zamiast odejmowania","image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-5.svg","topics":"Liczby rzeczywiste, algebra","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 5. (0-1)<br>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.<br>Wartość wyrażenia<br>3-1<br>(- 1<br>9<br>)<br>-2 ∙81 jest równa<br>A. 1<br>3<br>B. (-1<br>3)<br>C. 3<br>D. (-3)<br>Wartość wyrażenia 3^-1 /(-1/9)^-2⋅81 jest równa A. 1/3 B. (-1/3) C. 3 D. (-3)</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 5. (0-1)<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>A</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-5.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B - wartość wyrażenia wynosi \\(0\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Spostrzeżenie algebraiczne (bez rachunków)</h4>\n<p>Treść zadania to (po odczytaniu garblednego OCR):<br>\\[(2 - \\sqrt{3})^2 - (\\sqrt{3} - 2)^2\\]</p>\n<p><strong>Kluczowe spostrzeżenie:</strong> zauważamy, że drugi czynnik jest negacją pierwszego:<br>\\[\\sqrt{3} - 2 = -(2 - \\sqrt{3})\\]</p>\n<p>Jeśli oznaczymy \\(a = 2 - \\sqrt{3}\\), to:<br>\\[a^2 - (-a)^2 = a^2 - a^2 = \\boxed{0}\\]</p>\n<p>Podniesienie liczby do kwadratu <strong>zawsze daje wynik nieujemny i eliminuje znak</strong>, dlatego \\(a^2 = (-a)^2\\) dla każdego \\(a\\).</p>\n<h4>Sposób 2 - Rozwinięcie nawiasów (weryfikacja)</h4>\n<p>Rozwijamy oba kwadraty ze wzorów skróconego mnożenia \\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\):</p>\n<p>\\[(2-\\sqrt{3})^2 = 4 - 2 \\cdot 2 \\cdot \\sqrt{3} + 3 = 7 - 4\\sqrt{3}\\]</p>\n<p>\\[(\\sqrt{3}-2)^2 = 3 - 2 \\cdot \\sqrt{3} \\cdot 2 + 4 = 7 - 4\\sqrt{3}\\]</p>\n<p>Odejmujemy:<br>\\[(7 - 4\\sqrt{3}) - (7 - 4\\sqrt{3}) = 7 - 4\\sqrt{3} - 7 + 4\\sqrt{3} = \\mathbf{0}\\]</p>\n<p>Wynik potwierdza: <strong>odpowiedź B.</strong></p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):</strong><br>\\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]<br>Użyliśmy w Sposobie 2 do rozwinięcia \\((2-\\sqrt{3})^2\\) i \\((\\sqrt{3}-2)^2\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |<br>| A: \\(-2\\sqrt{3}\\) | Odjęcie wyrazów bez podnoszenia do kwadratu: \\((2-\\sqrt{3}) - (\\sqrt{3}-2) = 4 - 2\\sqrt{3}\\), lub pomylenie kolejności - wychodzi coś z \\(\\sqrt{3}\\) |<br>| C: \\(6\\) | Policzenie \\((2-\\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1\\) i \\((\\sqrt{3}-2)^2 = 3-4 = -1\\) (błędne mnożenie krzyżowe), a następnie: \\(1-(-1) = \\), lub inne błędy przy rozwinięciu |<br>| D: \\(8\\sqrt{3}\\) | Pomylenie znaków - policzenie \\((2+\\sqrt{3})^2 - (\\sqrt{3}-2)^2\\) zamiast z minusem: \\[(2+\\sqrt{3})^2 - (\\sqrt{3}-2)^2 = (7+4\\sqrt{3}) - (7-4\\sqrt{3}) = 8\\sqrt{3}\\] |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Kwadrat liczby ujemnej jest dodatni - \\((-a)^2 = a^2\\). Uczniowie często mylą \\((-\\sqrt{3})^2 = 3\\) z \\(-(\\sqrt{3})^2 = -3\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie myl \\((a-b)^2\\) z \\(a^2 - b^2\\)! To drugi wzór to różnica kwadratów \\((a-b)(a+b)\\), a nie kwadrat różnicy.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Widząc dwie liczby różniące się tylko kolejnością w odejmowaniu (np. \\(2-\\sqrt{3}\\) i \\(\\sqrt{3}-2\\)), od razu sprawdź, czy są swoimi przeciwnościami - jeśli tak i stoją pod parzystą potęgą, wynik różnicy to zawsze \\(0\\).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<p><strong>Rozwiązanie:</strong></p>\n<p>Obliczamy wartość wyrażenia \\\\((2 - \\\\sqrt{3})^2 - (\\\\sqrt{3} - 2)^2\\\\).</p>\n<p>Zauważmy, że \\\\(\\\\sqrt{3} - 2 = -(2 - \\\\sqrt{3})\\\\), więc:<br>\\\\[(\\\\sqrt{3} - 2)^2 = [-(2-\\\\sqrt{3})]^2 = (2-\\\\sqrt{3})^2\\\\]</p>\n<p>Zatem:<br>\\\\[(2-\\\\sqrt{3})^2 - (\\\\sqrt{3}-2)^2 = (2-\\\\sqrt{3})^2 - (2-\\\\sqrt{3})^2 = 0\\\\]</p>\n<p><strong>Użyte wzory z karty CKE:</strong> Wzór skróconego mnożenia \\\\((a-b)^2 = (b-a)^2\\\\); ogólniej \\\\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\\\).</p>\n<p><strong>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne:</strong></p>\n<ul><li>A. \\\\(-2\\\\sqrt{3}\\\\) - wynik błędnego rozwinięcia kwadratów</li><li>C. \\\\(6\\\\) - błąd np. z pominięcia znaku minus</li><li>D. \\\\(8\\\\sqrt{3}\\\\) - wynik dodania zamiast odejmowania</li></ul>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<ol><li>Rozpoczynamy od wyrażenia, które chcemy obliczyć: $$\\frac{3^{-1}}{\\big(-\\frac{1}{9}\\big)^{-2}} \\times 81.$$\\</li></ol>\n<ol><li>Zajmiemy się najpierw mianownikiem: \\(-\\frac{1}{9}\\) do potęgi \\(-2\\). Użyjemy wzoru na potęgowanie ułamków: $$a^{-b} = \\frac{1}{a^b}.$$ Tak więc: $$\\big(-\\frac{1}{9}\\big)^{-2} = \\frac{1}{\\left(-\\frac{1}{9}\\right)^{2}}.$$\\</li></ol>\n<ol><li>Teraz liczymy \\(\\left(-\\frac{1}{9}\\right)^{2}\\): $$\\left(-\\frac{1}{9}\\right)^{2} = \\frac{(-1)^{2}}{9^{2}} = \\frac{1}{81}.$$\\</li></ol>\n<ol><li>Podstawiamy obliczenia z punktu 3 do wzoru z punktu 2: $$\\big(-\\frac{1}{9}\\big)^{-2} = \\frac{1}{\\frac{1}{81}} = 81.$$\\</li></ol>\n<ol><li>Teraz możemy wrócić do naszego wyrażenia z punktu 1: $$\\frac{3^{-1}}{81} \\times 81.$$\\</li></ol>\n<ol><li>Zauważmy, że \\(81\\) w liczniku i mianowniku się skróci: $$\\frac{3^{-1}}{81} \\cdot 81 = 3^{-1}.$$\\</li></ol>\n<ol><li>Teraz obliczmy, co to oznacza \\(3^{-1}\\). Zgodnie z definicją potęgi: $$3^{-1} = \\frac{1}{3}.$$\\</li></ol>\n<ol><li>Podsumowując, wartość wyrażenia wynosi $$\\frac{1}{3}.$$\\</li></ol>\n<p><strong>Odpowiedź:</strong> A.</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>frac 3^-1 (-(1)/(3) )^-2 ·81=(frac13)/(9)·81=(1)/(27)·81=3.</p>"}]}