{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nWartość wyrażenia (2 -√3)\n2 -(√3 -2)\n2 jest równa\nA. (-2√3)\nB. 0\nC. 6\nD. 8√3\n\nMMAP-P0_100\nWartość wyrażenia (2-√3)²-(√3-2)² jest równa A. -2√3 B. 0 C. 6 D. 8√3","answer":"B","answer_text":"Zadanie 6. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\nPunkt \\((-8, 6)\\) leży na obu prostych z odpowiedzi D: \\(x - y = -14\\) i \\(-2x + y = 22\\).\n\n## Sposób 1 - Podstawienie punktu do każdego układu\n\nJeśli punkt \\((-8, 6)\\) jest przecięciem dwóch prostych, to musi **jednocześnie** spełniać oba ich równania. Podstawiamy \\(x = -8\\), \\(y = 6\\) do każdej odpowiedzi:\n\n**Odpowiedź A:** \\(2x + 3y = 2\\) i \\(-x + y = -14\\)\n\\[2 \\cdot (-8) + 3 \\cdot 6 = -16 + 18 = 2 \\checkmark\\]\n\\[-(-8) + 6 = 8 + 6 = 14 \\neq -14 \\quad \\times\\]\nDrugie równanie nie jest spełnione → **A odpada**.\n\n**Odpowiedź B:** \\(3x + 2y = -12\\) i \\(2x + y = 10\\)\n\\[3 \\cdot (-8) + 2 \\cdot 6 = -24 + 12 = -12 \\checkmark\\]\n\\[2 \\cdot (-8) + 6 = -16 + 6 = -10 \\neq 10 \\quad \\times\\]\nDrugie równanie nie jest spełnione → **B odpada**.\n\n**Odpowiedź C:** \\(x + y = -2\\) i \\(x - 2y = 4\\)\n\\[(-8) + 6 = -2 \\checkmark\\]\n\\[(-8) - 2 \\cdot 6 = -8 - 12 = -20 \\neq 4 \\quad \\times\\]\nDrugie równanie nie jest spełnione → **C odpada**.\n\n**Odpowiedź D:** \\(x - y = -14\\) i \\(-2x + y = 22\\)\n\\[(-8) - 6 = -14 \\checkmark\\]\n\\[-2 \\cdot (-8) + 6 = 16 + 6 = 22 \\checkmark\\]\n**Oba równania spełnione!** → **D jest poprawna.**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez rozwiązanie układu\n\nSprawdźmy, czy układ z odpowiedzi D ma **jedyne rozwiązanie** \\((-8, 6)\\):\n\n\\[\\begin{cases} x - y = -14 \\\\ -2x + y = 22 \\end{cases}\\]\n\nDodajemy stronami oba równania (eliminujemy \\(y\\)):\n\\[(x - y) + (-2x + y) = -14 + 22\\]\n\\[-x = 8 \\implies \\mathbf{x = -8}\\]\n\nPodstawiamy do pierwszego równania:\n\\[-8 - y = -14 \\implies y = 6\\]\n\nRozwiązanie układu to \\(\\mathbf{(-8, 6)}\\) - dokładnie punkt z treści zadania. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - równanie kierunkowe prostej:\n\\[y = ax + b\\]\nKażde z równań w zadaniu to prosta w postaci ogólnej \\(Ax + By + C = 0\\). Punkt leży na prostej, jeśli jego współrzędne spełniają to równanie. Tego nie trzeba brać z karty - to definicja.\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy podstawienie współrzędnych punktu do równań prostych.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Pierwsze równanie | Drugie równanie | Błąd |\n| A | \\(2(-8)+3(6)=2\\) ✓ | \\(-(-8)+6=14 \\neq -14\\) ✗ | Mylenie znaku: \\(-x\\) przy \\(x=-8\\) daje \\(+8\\), więc suma to \\(+14\\), nie \\(-14\\) |\n| B | \\(3(-8)+2(6)=-12\\) ✓ | \\(2(-8)+6=-10 \\neq 10\\) ✗ | Uczeń może przeoczyć, że \\(-10 \\neq 10\\) - różnica znaku |\n| C | \\((-8)+6=-2\\) ✓ | \\((-8)-12=-20 \\neq 4\\) ✗ | Nie uwzględniono mnożnika 2 przy \\(y\\): \\(x - 2y = -8 - 12 = -20\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wystarczy, że **jedno** z dwóch równań nie jest spełnione - odpowiedź odpada. Nie poprzestawaj na sprawdzeniu tylko pierwszego równania!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy \\(x = -8\\) uważaj na znaki: \\(-x = -(-8) = +8\\), a \\(2x = 2 \\cdot (-8) = -16\\). To tutaj najłatwiej o pomyłkę przy odpowiedziach A i B.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź, w której **oba** równania są spełnione, jest dokładnie jedna - to gwarantuje, że punkt przecięcia jest jednoznaczny (proste nie są równoległe ani identyczne).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nSprawdzamy, który układ równań jest spełniony przez punkt \\\\((-8, 6)\\\\).\n\n**Odpowiedź A:** \\\\(2(-8) + 3(6) = -16 + 18 = 2\\\\) ✓, ale \\\\(-(-8) + 6 = 14 \\\neq -14\\\\) ✗\n\n**Odpowiedź B:** \\\\(3(-8) + 2(6) = -24 + 12 = -12\\\\) ✓, ale \\\\(2(-8) + 6 = -10 \\\neq 10\\\\) ✗\n\n**Odpowiedź C:** \\\\(-8 + 6 = -2\\\\) ✓, ale \\\\(-8 - 2(6) = -20 \\\neq 4\\\\) ✗\n\n**Odpowiedź D:** \\\\(-8 - 6 = -14\\\\) ✓ oraz \\\\(-2(-8) + 6 = 16 + 6 = 22\\\\) ✓\n\nObie proste z odpowiedzi D przechodzą przez punkt \\\\((-8, 6)\\\\).\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Równanie ogólne prostej \\\\(Ax + By + C = 0\\\\); punkt leży na prostej, gdy spełnia jej równanie.\n\n**Dlaczego inne odpowiedzi są błędne:**\n- A, B, C - punkt \\\\((-8, 6)\\\\) spełnia tylko jedno z dwóch równań w każdym z tych układów","image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-6.svg","topics":"Wzory skróconego mnożenia, algebra","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 6. (0-1)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wartość wyrażenia (2 -√3)
2 -(√3 -2)
2 jest równa
A. (-2√3)
B. 0
C. 6
D. 8√3

\n

MMAP-P0_100
Wartość wyrażenia (2-√3)²-(√3-2)² jest równa A. -2√3 B. 0 C. 6 D. 8√3

","answer_text_html":"

Zadanie 6. (0-1)
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
B

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-6.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: D

\n

Punkt \\((-8, 6)\\) leży na obu prostych z odpowiedzi D: \\(x - y = -14\\) i \\(-2x + y = 22\\).

\n

Sposób 1 - Podstawienie punktu do każdego układu

\n

Jeśli punkt \\((-8, 6)\\) jest przecięciem dwóch prostych, to musi jednocześnie spełniać oba ich równania. Podstawiamy \\(x = -8\\), \\(y = 6\\) do każdej odpowiedzi:

\n

Odpowiedź A: \\(2x + 3y = 2\\) i \\(-x + y = -14\\)
\\[2 \\cdot (-8) + 3 \\cdot 6 = -16 + 18 = 2 \\checkmark\\]
\\[-(-8) + 6 = 8 + 6 = 14 \\neq -14 \\quad \\times\\]
Drugie równanie nie jest spełnione → A odpada.

\n

Odpowiedź B: \\(3x + 2y = -12\\) i \\(2x + y = 10\\)
\\[3 \\cdot (-8) + 2 \\cdot 6 = -24 + 12 = -12 \\checkmark\\]
\\[2 \\cdot (-8) + 6 = -16 + 6 = -10 \\neq 10 \\quad \\times\\]
Drugie równanie nie jest spełnione → B odpada.

\n

Odpowiedź C: \\(x + y = -2\\) i \\(x - 2y = 4\\)
\\[(-8) + 6 = -2 \\checkmark\\]
\\[(-8) - 2 \\cdot 6 = -8 - 12 = -20 \\neq 4 \\quad \\times\\]
Drugie równanie nie jest spełnione → C odpada.

\n

Odpowiedź D: \\(x - y = -14\\) i \\(-2x + y = 22\\)
\\[(-8) - 6 = -14 \\checkmark\\]
\\[-2 \\cdot (-8) + 6 = 16 + 6 = 22 \\checkmark\\]
Oba równania spełnione! → D jest poprawna.

\n

Sposób 2 - Weryfikacja przez rozwiązanie układu

\n

Sprawdźmy, czy układ z odpowiedzi D ma jedyne rozwiązanie \\((-8, 6)\\):

\n

\\[\\begin{cases} x - y = -14 \\\\ -2x + y = 22 \\end{cases}\\]

\n

Dodajemy stronami oba równania (eliminujemy \\(y\\)):
\\[(x - y) + (-2x + y) = -14 + 22\\]
\\[-x = 8 \\implies \\mathbf{x = -8}\\]

\n

Podstawiamy do pierwszego równania:
\\[-8 - y = -14 \\implies y = 6\\]

\n

Rozwiązanie układu to \\(\\mathbf{(-8, 6)}\\) - dokładnie punkt z treści zadania. ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25) - równanie kierunkowe prostej:
\\[y = ax + b\\]
Każde z równań w zadaniu to prosta w postaci ogólnej \\(Ax + By + C = 0\\). Punkt leży na prostej, jeśli jego współrzędne spełniają to równanie. Tego nie trzeba brać z karty - to definicja.

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy podstawienie współrzędnych punktu do równań prostych.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Pierwsze równanie | Drugie równanie | Błąd |
| A | \\(2(-8)+3(6)=2\\) ✓ | \\(-(-8)+6=14 \\neq -14\\) ✗ | Mylenie znaku: \\(-x\\) przy \\(x=-8\\) daje \\(+8\\), więc suma to \\(+14\\), nie \\(-14\\) |
| B | \\(3(-8)+2(6)=-12\\) ✓ | \\(2(-8)+6=-10 \\neq 10\\) ✗ | Uczeń może przeoczyć, że \\(-10 \\neq 10\\) - różnica znaku |
| C | \\((-8)+6=-2\\) ✓ | \\((-8)-12=-20 \\neq 4\\) ✗ | Nie uwzględniono mnożnika 2 przy \\(y\\): \\(x - 2y = -8 - 12 = -20\\) |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Wystarczy, że jedno z dwóch równań nie jest spełnione - odpowiedź odpada. Nie poprzestawaj na sprawdzeniu tylko pierwszego równania!
\n
⚠️ Uwaga: Przy \\(x = -8\\) uważaj na znaki: \\(-x = -(-8) = +8\\), a \\(2x = 2 \\cdot (-8) = -16\\). To tutaj najłatwiej o pomyłkę przy odpowiedziach A i B.
\n
⚠️ Uwaga: Odpowiedź, w której oba równania są spełnione, jest dokładnie jedna - to gwarantuje, że punkt przecięcia jest jednoznaczny (proste nie są równoległe ani identyczne).
\n

Poprawna odpowiedź: D

\n

Rozwiązanie:

\n

Sprawdzamy, który układ równań jest spełniony przez punkt \\\\((-8, 6)\\\\).

\n

Odpowiedź A: \\\\(2(-8) + 3(6) = -16 + 18 = 2\\\\) ✓, ale \\\\(-(-8) + 6 = 14 \\
eq -14\\\\) ✗

\n

Odpowiedź B: \\\\(3(-8) + 2(6) = -24 + 12 = -12\\\\) ✓, ale \\\\(2(-8) + 6 = -10 \\
eq 10\\\\) ✗

\n

Odpowiedź C: \\\\(-8 + 6 = -2\\\\) ✓, ale \\\\(-8 - 2(6) = -20 \\
eq 4\\\\) ✗

\n

Odpowiedź D: \\\\(-8 - 6 = -14\\\\) ✓ oraz \\\\(-2(-8) + 6 = 16 + 6 = 22\\\\) ✓

\n

Obie proste z odpowiedzi D przechodzą przez punkt \\\\((-8, 6)\\\\).

\n

Użyte wzory z karty CKE: Równanie ogólne prostej \\\\(Ax + By + C = 0\\\\); punkt leży na prostej, gdy spełnia jej równanie.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne:

\n"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"
  1. Zaczynamy od zapisu wyrażenia, które musimy obliczyć:
\n

$$ (2 - \\sqrt{3})^2 - (\\sqrt{3} - 2)^2 $$

\n
  1. Zauważamy, że drugi składnik możemy przekształcić. Wykorzystując fakt, że $\\sqrt{3} - 2 = -(2 - \\sqrt{3})$, zapisujemy:
\n

$$ (2 - \\sqrt{3})^2 - (-(2 - \\sqrt{3}))^2 $$

\n
  1. Teraz obliczamy kwadrat drugiego składnika. Zauważ, że $(-a)^2 = a^2$ dla dowolnego a, więc:
\n

$$ (2 - \\sqrt{3})^2 - (2 - \\sqrt{3})^2 $$

\n
  1. Ponieważ mamy teraz identyczne wyrażenia, możemy je uprościć:
\n

$$ (2 - \\sqrt{3})^2 - (2 - \\sqrt{3})^2 = 0 $$

\n
  1. Poprawnie zapisujemy wynik, co przeczytaliśmy z przekształconego równania:
\n

$$ 0 $$

\n
  1. Ostatecznie wiemy, że wartość wyrażenia $ (2 - \\sqrt{3})^2 - (\\sqrt{3} - 2)^2 $ wynosi 0, co odpowiada opcji B.
\n

Odpowiedź: 0

"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

Rozwijamy oba kwadraty, korzystając ze wzoru

\n

(a-b)^2=a^2-2ab+b^2.

\n

Mamy

\n

(2-√(3))^2=2^2-2·2·√(3)+(√(3))^2
=4-4√(3)+3
=7-4√(3).

\n

Podobnie

\n

(√(3)-2)^2=(√(3))^2-2·√(3)·2+2^2
=3-4√(3)+4
=7-4√(3).

\n

Zatem

\n

(2-√(3))^2-(√(3)-2)^2
=(7-4√(3))-(7-4√(3))=0.

\n

Poprawna jest odpowiedź B.

"}]}