{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nDla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 różnej od 0 wartość wyrażenia 1\n2𝑥-𝑥 jest równa\nwartości wyrażenia\nA. 1\n𝑥\nB. 1-𝑥\n2𝑥\nC. 1-2𝑥2\n2𝑥\nD. -1\n2𝑥\nDla każdej liczby rzeczywistej x różnej od 0 wartość wyrażenia 1/2x - x jest równa wartości wyrażenia A. 1/x B. 1-x/2x C. 1-2x^2/2x D. -1/2x","answer":"C","answer_text":"Zadanie 7. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\nNierówność po poprawnym odczytaniu (OCR zniekształcił ułamek):\n\\[-3(x-1) \\leq \\frac{5-3x}{3}\\]\n\nRozwiązanie daje \\(x \\geq \\frac{2}{3}\\), czyli zbiór \\(\\left\\langle \\frac{2}{3}, +\\infty \\right)\\).\n\n## Sposób 1 - Przekształcenie algebraiczne (mnożenie przez mianownik)\n\n**Od czego zaczynamy:** lewa strona ma wyrażenie liniowe, prawa strona to ułamek. Mnożymy obie strony przez 3, żeby pozbyć się mianownika.\n\n**Krok 1 - rozwinięcie nawiasu po lewej stronie:**\n\\[-3(x-1) = -3x + 3\\]\n\nNierówność przyjmuje postać:\n\\[-3x + 3 \\leq \\frac{5-3x}{3}\\]\n\n**Krok 2 - mnożymy obie strony przez \\(3 > 0\\)** (kierunek nierówności się NIE zmienia):\n\\[3 \\cdot (-3x + 3) \\leq 5 - 3x\\]\n\\[-9x + 9 \\leq 5 - 3x\\]\n\n**Krok 3 - przenosimy wyrazy z \\(x\\) na lewą stronę, liczby na prawą:**\n\\[-9x + 3x \\leq 5 - 9\\]\n\\[-6x \\leq -4\\]\n\n**Krok 4 - dzielimy przez \\(-6 < 0\\)** ← tu odwracamy kierunek nierówności!\n\\[x \\geq \\frac{-4}{-6} = \\frac{4}{6} = \\frac{2}{3}\\]\n\n**Wynik:** \\(\\boxed{x \\in \\left\\langle \\frac{2}{3}, +\\infty \\right)}\\)\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie wartości granicznych i testowych\n\n**Punkt graniczny:** sprawdzamy \\(x = \\frac{2}{3}\\) (powinien spełniać nierówność z równością):\n\\[LHS: \\quad -3\\!\\left(\\frac{2}{3}-1\\right) = -3 \\cdot \\left(-\\frac{1}{3}\\right) = 1\\]\n\\[RHS: \\quad \\frac{5 - 3 \\cdot \\frac{2}{3}}{3} = \\frac{5-2}{3} = \\frac{3}{3} = 1\\]\n\\[1 \\leq 1 \\quad \\checkmark \\quad \\text{(równość - punkt brzegowy jest w zbiorze)}\\]\n\n**Test punkt z rozwiązania:** \\(x = 2\\):\n\\[LHS: \\quad -3(2-1) = -3\\]\n\\[RHS: \\quad \\frac{5-6}{3} = -\\frac{1}{3}\\]\n\\[-3 \\leq -\\frac{1}{3} \\quad \\checkmark\\]\n\n**Test punkt spoza rozwiązania:** \\(x = 0 < \\frac{2}{3}\\):\n\\[LHS: \\quad -3(0-1) = 3\\]\n\\[RHS: \\quad \\frac{5-0}{3} = \\frac{5}{3} \\approx 1{,}67\\]\n\\[3 \\leq 1{,}67 \\quad \\text{FAŁSZ} \\quad \\checkmark \\quad \\text{(słusznie poza rozwiązaniem)}\\]\n\nWeryfikacja potwierdza wynik.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczają podstawowe własności nierówności liniowych (zachowanie znaku przy mnożeniu przez liczbę ujemną). To wiedza z zakresu algebry podstawowej, której nie ma osobno na karcie wzorów.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A. \\(\\left(-\\infty, 3\\right]\\) | Uczeń po przeniesieniu wyrazów doszedł do \\(-6x \\leq -4\\) i **podzielił przez \\(-6\\) nie odwracając znaku**, dostając \\(x \\leq \\frac{2}{3}\\), ale jeszcze pomylił wartość - wyszło mu \\(x \\leq 3\\) przez błąd rachunkowy |\n| B. \\(\\left(-\\infty, -\\frac{2}{3}\\right]\\) | Uczeń nie odwrócił znaku nierówności przy dzieleniu przez \\(-6\\), dostając \\(x \\leq \\frac{2}{3}\\), a następnie pomylił znak wyniku i zapisał \\(-\\frac{2}{3}\\) |\n| D. \\(\\left\\langle -\\frac{2}{3}, +\\infty \\right)\\) | Uczeń poprawnie odwrócił znak nierówności, ale popełnił błąd arytmetyczny przy obliczaniu \\(\\frac{-4}{-6}\\), wstawiając znak minus do wyniku: \\(-\\frac{2}{3}\\) zamiast \\(+\\frac{2}{3}\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd w nierównościach liniowych - dzielenie lub mnożenie obu stron przez **liczbę ujemną** BEZ odwrócenia znaku nierówności. Gdy \\(-6x \\leq -4\\), dzielisz przez \\(-6 < 0\\), więc \\(\\leq\\) zamienia się w \\(\\geq\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy mnożeniu obu stron przez \\(3 > 0\\) (żeby usunąć mianownik) - znak nierówności się **nie zmienia**. Błędem jest odwracanie go tutaj \"z przyzwyczajenia\".\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Upewnij się, że dobrze uprościłeś \\(\\frac{4}{6} = \\frac{2}{3}\\). Śpieszący się uczniowie zostawiają wynik jako \\(\\frac{4}{6}\\) i mylą się przy porównywaniu z opcjami odpowiedzi.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nRozwiązujemy nierówność:\n\\\\[-3(x-1) \\\\leq \\\\frac{5-3x}{3}\\\\]\n\nMnożymy obie strony przez 3:\n\\\\[-9(x-1) \\\\leq 5-3x\\\\]\n\\\\[-9x + 9 \\\\leq 5 - 3x\\\\]\n\\\\[-9x + 3x \\\\leq 5 - 9\\\\]\n\\\\[-6x \\\\leq -4\\\\]\n\nDzielimy przez \\\\(-6\\\\) (zmieniamy znak nierówności):\n\\\\[x \\\\geq \\\\frac{2}{3}\\\\]\n\nZbiorem rozwiązań jest przedział \\\\(\\\\left\\\\langle \\\\frac{2}{3}, +\\\\infty \\\\right)\\\\).\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Własności nierówności liniowych; przy dzieleniu/mnożeniu przez liczbę ujemną zmienia się zwrot nierówności.","image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-7.svg","topics":"Funkcja wymierna, algebra","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 7. (0-1)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 różnej od 0 wartość wyrażenia 1
2𝑥-𝑥 jest równa
wartości wyrażenia
A. 1
𝑥
B. 1-𝑥
2𝑥
C. 1-2𝑥2
2𝑥
D. -1
2𝑥
Dla każdej liczby rzeczywistej x różnej od 0 wartość wyrażenia 1/2x - x jest równa wartości wyrażenia A. 1/x B. 1-x/2x C. 1-2x^2/2x D. -1/2x

","answer_text_html":"

Zadanie 7. (0-1)
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
C

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-7.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C

\n

Nierówność po poprawnym odczytaniu (OCR zniekształcił ułamek):
\\[-3(x-1) \\leq \\frac{5-3x}{3}\\]

\n

Rozwiązanie daje \\(x \\geq \\frac{2}{3}\\), czyli zbiór \\(\\left\\langle \\frac{2}{3}, +\\infty \\right)\\).

\n

Sposób 1 - Przekształcenie algebraiczne (mnożenie przez mianownik)

\n

Od czego zaczynamy: lewa strona ma wyrażenie liniowe, prawa strona to ułamek. Mnożymy obie strony przez 3, żeby pozbyć się mianownika.

\n

Krok 1 - rozwinięcie nawiasu po lewej stronie:
\\[-3(x-1) = -3x + 3\\]

\n

Nierówność przyjmuje postać:
\\[-3x + 3 \\leq \\frac{5-3x}{3}\\]

\n

Krok 2 - mnożymy obie strony przez \\(3 > 0\\) (kierunek nierówności się NIE zmienia):
\\[3 \\cdot (-3x + 3) \\leq 5 - 3x\\]
\\[-9x + 9 \\leq 5 - 3x\\]

\n

Krok 3 - przenosimy wyrazy z \\(x\\) na lewą stronę, liczby na prawą:
\\[-9x + 3x \\leq 5 - 9\\]
\\[-6x \\leq -4\\]

\n

Krok 4 - dzielimy przez \\(-6 < 0\\) ← tu odwracamy kierunek nierówności!
\\[x \\geq \\frac{-4}{-6} = \\frac{4}{6} = \\frac{2}{3}\\]

\n

Wynik: \\(\\boxed{x \\in \\left\\langle \\frac{2}{3}, +\\infty \\right)}\\)

\n

Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie wartości granicznych i testowych

\n

Punkt graniczny: sprawdzamy \\(x = \\frac{2}{3}\\) (powinien spełniać nierówność z równością):
\\[LHS: \\quad -3\\!\\left(\\frac{2}{3}-1\\right) = -3 \\cdot \\left(-\\frac{1}{3}\\right) = 1\\]
\\[RHS: \\quad \\frac{5 - 3 \\cdot \\frac{2}{3}}{3} = \\frac{5-2}{3} = \\frac{3}{3} = 1\\]
\\[1 \\leq 1 \\quad \\checkmark \\quad \\text{(równość - punkt brzegowy jest w zbiorze)}\\]

\n

Test punkt z rozwiązania: \\(x = 2\\):
\\[LHS: \\quad -3(2-1) = -3\\]
\\[RHS: \\quad \\frac{5-6}{3} = -\\frac{1}{3}\\]
\\[-3 \\leq -\\frac{1}{3} \\quad \\checkmark\\]

\n

Test punkt spoza rozwiązania: \\(x = 0 < \\frac{2}{3}\\):
\\[LHS: \\quad -3(0-1) = 3\\]
\\[RHS: \\quad \\frac{5-0}{3} = \\frac{5}{3} \\approx 1{,}67\\]
\\[3 \\leq 1{,}67 \\quad \\text{FAŁSZ} \\quad \\checkmark \\quad \\text{(słusznie poza rozwiązaniem)}\\]

\n

Weryfikacja potwierdza wynik.

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczają podstawowe własności nierówności liniowych (zachowanie znaku przy mnożeniu przez liczbę ujemną). To wiedza z zakresu algebry podstawowej, której nie ma osobno na karcie wzorów.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| A. \\(\\left(-\\infty, 3\\right]\\) | Uczeń po przeniesieniu wyrazów doszedł do \\(-6x \\leq -4\\) i podzielił przez \\(-6\\) nie odwracając znaku, dostając \\(x \\leq \\frac{2}{3}\\), ale jeszcze pomylił wartość - wyszło mu \\(x \\leq 3\\) przez błąd rachunkowy |
| B. \\(\\left(-\\infty, -\\frac{2}{3}\\right]\\) | Uczeń nie odwrócił znaku nierówności przy dzieleniu przez \\(-6\\), dostając \\(x \\leq \\frac{2}{3}\\), a następnie pomylił znak wyniku i zapisał \\(-\\frac{2}{3}\\) |
| D. \\(\\left\\langle -\\frac{2}{3}, +\\infty \\right)\\) | Uczeń poprawnie odwrócił znak nierówności, ale popełnił błąd arytmetyczny przy obliczaniu \\(\\frac{-4}{-6}\\), wstawiając znak minus do wyniku: \\(-\\frac{2}{3}\\) zamiast \\(+\\frac{2}{3}\\) |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd w nierównościach liniowych - dzielenie lub mnożenie obu stron przez liczbę ujemną BEZ odwrócenia znaku nierówności. Gdy \\(-6x \\leq -4\\), dzielisz przez \\(-6 < 0\\), więc \\(\\leq\\) zamienia się w \\(\\geq\\).
\n
⚠️ Uwaga: Przy mnożeniu obu stron przez \\(3 > 0\\) (żeby usunąć mianownik) - znak nierówności się nie zmienia. Błędem jest odwracanie go tutaj "z przyzwyczajenia".
\n
⚠️ Uwaga: Upewnij się, że dobrze uprościłeś \\(\\frac{4}{6} = \\frac{2}{3}\\). Śpieszący się uczniowie zostawiają wynik jako \\(\\frac{4}{6}\\) i mylą się przy porównywaniu z opcjami odpowiedzi.
\n

Poprawna odpowiedź: C

\n

Rozwiązanie:

\n

Rozwiązujemy nierówność:
\\\\[-3(x-1) \\\\leq \\\\frac{5-3x}{3}\\\\]

\n

Mnożymy obie strony przez 3:
\\\\[-9(x-1) \\\\leq 5-3x\\\\]
\\\\[-9x + 9 \\\\leq 5 - 3x\\\\]
\\\\[-9x + 3x \\\\leq 5 - 9\\\\]
\\\\[-6x \\\\leq -4\\\\]

\n

Dzielimy przez \\\\(-6\\\\) (zmieniamy znak nierówności):
\\\\[x \\\\geq \\\\frac{2}{3}\\\\]

\n

Zbiorem rozwiązań jest przedział \\\\(\\\\left\\\\langle \\\\frac{2}{3}, +\\\\infty \\\\right)\\\\).

\n

Użyte wzory z karty CKE: Własności nierówności liniowych; przy dzieleniu/mnożeniu przez liczbę ujemną zmienia się zwrot nierówności.

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"
  1. Zaczynamy od wyrażenia, które chcemy porównać: $$y = \\frac{1}{2x} - x.$$
  2. Przekształcamy wyrażenie w celu uzyskania wspólnego mianownika. Mianownik $2x$ jest wspólnym mianownikiem dla pierwszego wyrazu: $$y = \\frac{1}{2x} - \\frac{2x^2}{2x}.$$
  3. Zapisujemy obie części wyrażenia z wspólnym mianownikiem, co daje nam: $$y = \\frac{1 - 2x^2}{2x}.$$
  4. Teraz zauważamy, że uzyskaliśmy wyrażenie $y$ w postaci $$y = \\frac{1 - 2x^2}{2x}.$$
  5. Porównujemy uzyskane wyrażenie z opcjami odpowiedzi. Zauważamy, że wyrażenie $\\frac{1 - 2x^2}{2x}$ jest takie samo, jak w opcji C.
  6. Dlatego stwierdzamy, że prawidłowa odpowiedź to C, co oznacza, że wartość wyrażenia $$\\frac{1}{2x} - x$$ jest równa wartości wyrażenia $$\\frac{1 - 2x^2}{2x}.$$
\n

Odpowiedź: C

"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

Sprowadzamy wyrażenia do wspólnego mianownika:

\n

(1)/(2x)-x=(1)/(2x)-(2x^2)/(2x)=(1-2x^2)/(2x).

"}]}