{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nRównanie (𝑥2-3𝑥)(𝑥2+1)\n𝑥2-25\n= 0 w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie\nA. jedno rozwiązanie.\nB. dwa rozwiązania.\nC. trzy rozwiązania.\nD. cztery rozwiązania.\n\nMMAP-P0_100\nRównanie (x^2-3x)(x^2+1)/ x^2-25 = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie A. jedno rozwiązanie. B. dwa rozwiązania. C. trzy rozwiązania. D. cztery rozwiązania.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 8. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - dwa rozwiązania.\n\n## Sposób 1 - rozkład na czynniki i analiza każdego nawiasu\n\nMamy równanie:\n\\[(x^2 - 3x)(x^2 + 1) = 0\\]\n\nIloczyn dwóch czynników jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy **co najmniej jeden z nich jest równy zero**. Rozważamy dwa przypadki:\n\n**Przypadek 1:** \\(x^2 + 1 = 0\\)\n\n\\[x^2 = -1\\]\n\nKwadrat liczby rzeczywistej jest zawsze nieujemny, więc \\(x^2 \\geq 0\\) dla każdego \\(x \\in \\mathbb{R}\\). Równanie \\(x^2 = -1\\) **nie ma rozwiązań rzeczywistych**.\n\n**Przypadek 2:** \\(x^2 - 3x = 0\\)\n\nWyłączamy \\(x\\) przed nawias:\n\\[x(x - 3) = 0\\]\n\nIloczyn jest zerem, gdy jeden z czynników jest zerem:\n\\[x = 0 \\quad \\text{lub} \\quad x - 3 = 0\\]\n\\[x = 0 \\quad \\text{lub} \\quad x = 3\\]\n\n**Oba rozwiązania są liczbami rzeczywistymi.**\n\nOdpowiedź: równanie ma dokładnie **dwa rozwiązania** rzeczywiste: \\(x_1 = 0\\) i \\(x_2 = 3\\).\n\n## Sposób 2 - sprawdzenie przez podstawienie (weryfikacja)\n\nSprawdzamy, czy \\(x_1 = 0\\) i \\(x_2 = 3\\) spełniają oryginalne równanie:\n\nDla \\(x = 0\\):\n\\[(0^2 - 3 \\cdot 0)(0^2 + 1) = (0 - 0)(0 + 1) = 0 \\cdot 1 = 0 \\checkmark\\]\n\nDla \\(x = 3\\):\n\\[(3^2 - 3 \\cdot 3)(3^2 + 1) = (9 - 9)(9 + 1) = 0 \\cdot 10 = 0 \\checkmark\\]\n\nDla żadnej innej wartości \\(x\\) czynnik \\(x^2 + 1\\) nie da zera (bo \\(x^2 + 1 \\geq 1 > 0\\) dla wszystkich \\(x \\in \\mathbb{R}\\)), a \\(x^2 - 3x = 0\\) ma dokładnie dwa rozwiązania (co widać po rozkładzie \\(x(x-3) = 0\\)).\n\nWynik potwierdzony: **dwa rozwiązania**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - miejsca zerowe trójmianu kwadratowego:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\quad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\n\nDla \\(x^2 - 3x = 0\\) mamy \\(a = 1, b = -3, c = 0\\), więc:\n\\[\\Delta = (-3)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot 0 = 9 > 0\\]\n\nco potwierdza dwa miejsca zerowe. (W Sposobie 1 użyliśmy szybszego wyłączania \\(x\\) przed nawias, ale wzór z karty też działa.)\n\nDla \\(x^2 + 1 = 0\\) mamy \\(a = 1, b = 0, c = 1\\):\n\\[\\Delta = 0 - 4 \\cdot 1 \\cdot 1 = -4 < 0\\]\n\n\\(\\Delta < 0\\) - **brak rozwiązań rzeczywistych**. Karta wzorów wprost to potwierdza.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Uczeń rozwiązuje tylko \\(x^2 - 3x = 0\\) i liczy wynik \\(x = 3\\) (zapomina o \\(x = 0\\) - bo wyłączanie przed nawias nie jest oczywiste) |\n| C | Uczeń błędnie rozwiązuje \\(x^2 + 1 = 0\\) i dostaje \\(x = \\pm 1\\), dodając do dwóch prawdziwych rozwiązań jedno \"fałszywe\" |\n| D | Uczeń błędnie przyjmuje, że \\(x^2 + 1 = 0\\) daje \\(x = \\pm 1\\) (pomija warunek \\(\\Delta < 0\\), działa \"mechanicznie\" \\(x^2 = -1 \\Rightarrow x = \\pm 1\\)) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(x^2 + 1 = 0\\) to pułapka! Intuicyjnie można pomyśleć \"przenosimy 1 na drugą stronę i pierwiastkujemy\", ale \\(\\sqrt{-1}\\) nie istnieje w zbiorze liczb rzeczywistych. Zawsze sprawdź znak delty!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy \\(x^2 - 3x = 0\\) łatwo od razu dzielić obie strony przez \\(x\\). To błąd! Dzielenie przez \\(x\\) jest dozwolone tylko gdy \\(x \\neq 0\\), a właśnie \\(x = 0\\) jest tu rozwiązaniem - straciłbyś je.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie dotyczy zbioru liczb **rzeczywistych** - w zbiorze liczb zespolonych równanie miałoby cztery rozwiązania. Zawsze czytaj treść dokładnie!\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nRównanie: \\((x^2 - 3x)(x^2 + 1) = 0\\)\n\nIloczyn dwóch czynników równa się zero, gdy co najmniej jeden z nich jest równy zero.\n\n**Czynnik 1:** \\(x^2 - 3x = 0\\)\n\\(x(x - 3) = 0\\)\n\\(x = 0\\) lub \\(x = 3\\)\n\n**Czynnik 2:** \\(x^2 + 1 = 0\\)\n\\(x^2 = -1\\)\n\nTo równanie nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych, bo kwadrat liczby rzeczywistej jest zawsze nieujemny.\n\nZatem równanie ma dokładnie **dwa rozwiązania rzeczywiste**: \\(x = 0\\) i \\(x = 3\\).\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Wzory skróconego mnożenia - wyłączanie wspólnego czynnika; własności funkcji kwadratowej (wyróżnik \\(\\Delta = 0^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot 1 = -4 < 0\\) → brak pierwiastków rzeczywistych).\n\n**Dlaczego pozostałe odpowiedzi są błędne:**\n- **A (jedno rozwiązanie)** - błędna, bo sam czynnik \\(x^2 - 3x = 0\\) daje dwa różne rozwiązania.\n- **C (trzy rozwiązania)** - błędna, bo czynnik \\(x^2 + 1 = 0\\) nie ma rozwiązań rzeczywistych, więc nie dodaje żadnego rozwiązania.\n- **D (cztery rozwiązania)** - błędna, z tego samego powodu co C - równanie \\(x^2 + 1 = 0\\) nie ma pierwiastków rzeczywistych.","image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-8.svg","topics":"Funkcja wymierna, rownania_i_nierownosci","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 8. (0-1)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Równanie (𝑥2-3𝑥)(𝑥2+1)
𝑥2-25
= 0 w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie
A. jedno rozwiązanie.
B. dwa rozwiązania.
C. trzy rozwiązania.
D. cztery rozwiązania.

\n

MMAP-P0_100
Równanie (x^2-3x)(x^2+1)/ x^2-25 = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie A. jedno rozwiązanie. B. dwa rozwiązania. C. trzy rozwiązania. D. cztery rozwiązania.

","answer_text_html":"

Zadanie 8. (0-1)
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
B
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-8.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: B - dwa rozwiązania.

\n

Sposób 1 - rozkład na czynniki i analiza każdego nawiasu

\n

Mamy równanie:
\\[(x^2 - 3x)(x^2 + 1) = 0\\]

\n

Iloczyn dwóch czynników jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z nich jest równy zero. Rozważamy dwa przypadki:

\n

Przypadek 1: \\(x^2 + 1 = 0\\)

\n

\\[x^2 = -1\\]

\n

Kwadrat liczby rzeczywistej jest zawsze nieujemny, więc \\(x^2 \\geq 0\\) dla każdego \\(x \\in \\mathbb{R}\\). Równanie \\(x^2 = -1\\) nie ma rozwiązań rzeczywistych.

\n

Przypadek 2: \\(x^2 - 3x = 0\\)

\n

Wyłączamy \\(x\\) przed nawias:
\\[x(x - 3) = 0\\]

\n

Iloczyn jest zerem, gdy jeden z czynników jest zerem:
\\[x = 0 \\quad \\text{lub} \\quad x - 3 = 0\\]
\\[x = 0 \\quad \\text{lub} \\quad x = 3\\]

\n

Oba rozwiązania są liczbami rzeczywistymi.

\n

Odpowiedź: równanie ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste: \\(x_1 = 0\\) i \\(x_2 = 3\\).

\n

Sposób 2 - sprawdzenie przez podstawienie (weryfikacja)

\n

Sprawdzamy, czy \\(x_1 = 0\\) i \\(x_2 = 3\\) spełniają oryginalne równanie:

\n

Dla \\(x = 0\\):
\\[(0^2 - 3 \\cdot 0)(0^2 + 1) = (0 - 0)(0 + 1) = 0 \\cdot 1 = 0 \\checkmark\\]

\n

Dla \\(x = 3\\):
\\[(3^2 - 3 \\cdot 3)(3^2 + 1) = (9 - 9)(9 + 1) = 0 \\cdot 10 = 0 \\checkmark\\]

\n

Dla żadnej innej wartości \\(x\\) czynnik \\(x^2 + 1\\) nie da zera (bo \\(x^2 + 1 \\geq 1 > 0\\) dla wszystkich \\(x \\in \\mathbb{R}\\)), a \\(x^2 - 3x = 0\\) ma dokładnie dwa rozwiązania (co widać po rozkładzie \\(x(x-3) = 0\\)).

\n

Wynik potwierdzony: dwa rozwiązania.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - miejsca zerowe trójmianu kwadratowego:
\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\quad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]

\n

Dla \\(x^2 - 3x = 0\\) mamy \\(a = 1, b = -3, c = 0\\), więc:
\\[\\Delta = (-3)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot 0 = 9 > 0\\]

\n

co potwierdza dwa miejsca zerowe. (W Sposobie 1 użyliśmy szybszego wyłączania \\(x\\) przed nawias, ale wzór z karty też działa.)

\n

Dla \\(x^2 + 1 = 0\\) mamy \\(a = 1, b = 0, c = 1\\):
\\[\\Delta = 0 - 4 \\cdot 1 \\cdot 1 = -4 < 0\\]

\n

\\(\\Delta < 0\\) - brak rozwiązań rzeczywistych. Karta wzorów wprost to potwierdza.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| A | Uczeń rozwiązuje tylko \\(x^2 - 3x = 0\\) i liczy wynik \\(x = 3\\) (zapomina o \\(x = 0\\) - bo wyłączanie przed nawias nie jest oczywiste) |
| C | Uczeń błędnie rozwiązuje \\(x^2 + 1 = 0\\) i dostaje \\(x = \\pm 1\\), dodając do dwóch prawdziwych rozwiązań jedno "fałszywe" |
| D | Uczeń błędnie przyjmuje, że \\(x^2 + 1 = 0\\) daje \\(x = \\pm 1\\) (pomija warunek \\(\\Delta < 0\\), działa "mechanicznie" \\(x^2 = -1 \\Rightarrow x = \\pm 1\\)) |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: \\(x^2 + 1 = 0\\) to pułapka! Intuicyjnie można pomyśleć "przenosimy 1 na drugą stronę i pierwiastkujemy", ale \\(\\sqrt{-1}\\) nie istnieje w zbiorze liczb rzeczywistych. Zawsze sprawdź znak delty!
\n
⚠️ Uwaga: Przy \\(x^2 - 3x = 0\\) łatwo od razu dzielić obie strony przez \\(x\\). To błąd! Dzielenie przez \\(x\\) jest dozwolone tylko gdy \\(x \\neq 0\\), a właśnie \\(x = 0\\) jest tu rozwiązaniem - straciłbyś je.
\n
⚠️ Uwaga: Zadanie dotyczy zbioru liczb rzeczywistych - w zbiorze liczb zespolonych równanie miałoby cztery rozwiązania. Zawsze czytaj treść dokładnie!
\n

Poprawna odpowiedź: B

\n

Rozwiązanie:

\n

Równanie: \\((x^2 - 3x)(x^2 + 1) = 0\\)

\n

Iloczyn dwóch czynników równa się zero, gdy co najmniej jeden z nich jest równy zero.

\n

Czynnik 1: \\(x^2 - 3x = 0\\)
\\(x(x - 3) = 0\\)
\\(x = 0\\) lub \\(x = 3\\)

\n

Czynnik 2: \\(x^2 + 1 = 0\\)
\\(x^2 = -1\\)

\n

To równanie nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych, bo kwadrat liczby rzeczywistej jest zawsze nieujemny.

\n

Zatem równanie ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste: \\(x = 0\\) i \\(x = 3\\).

\n

Użyte wzory z karty CKE: Wzory skróconego mnożenia - wyłączanie wspólnego czynnika; własności funkcji kwadratowej (wyróżnik \\(\\Delta = 0^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot 1 = -4 < 0\\) → brak pierwiastków rzeczywistych).

\n

Dlaczego pozostałe odpowiedzi są błędne:

\n"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"

Poprawnie, licznik można przedstawić jako iloczyn $x(x-3)(x^2+1)$ i zeruje się dla $x=0$ oraz $x=3$.

"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

Dziedzina wyklucza x=±5 . Licznik jest równy zeru, gdy

\n

(x^2-3x)(x^2+1)=0.

\n

Ponieważ x^2+1>0 , mamy x(x-3)=0 , czyli x=0 lub x=3 . Obie liczby należą do dziedziny, więc równanie ma dokładnie dwa rozwiązania.

"}]}