{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"9","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (0-3)\nRozwiąż równanie\n𝟑𝒙𝟑-𝟐𝒙𝟐-𝟑𝒙+ 𝟐= 𝟎\nZapisz obliczenia.\n\nMMAP-P0_100\nRozwiąż równanie: 3x^3 - 2x^2 - 3x + 2 = 0","answer":null,"answer_text":"Zadanie 9. (0-3)\nZasady oceniania\n3 pkt - poprawna metoda rozwiązania równania i obliczenie wszystkich rozwiązań równania:\n(-1), 2\n3 , 1\nALBO\n- wyznaczenie wszystkich rozwiązań równania: (-1), 2\n3 , 1, oraz stwierdzenie, że są\nto jedyne rozwiązania równania.\n2 pkt - przekształcenie lewej strony równania do postaci iloczynu wielomianów stopnia co\nnajwyżej drugiego oraz rozwiązanie jednego z równań wynikającego z tego rozkładu,\nnp. (3𝑥-2)(𝑥2 -1) = 0 i 𝑥= 2\n3 ,\n(3𝑥-2)(𝑥2 -1) = 0 i 𝑥= -1 oraz 𝑥= 1\nALBO\n- obliczenie jednego z pierwiastków wielomianu 𝑊 oraz poprawne podzielenie\nwielomianu 𝑊 przez odpowiedni dwumian, np.\n𝑥= 1 i (3𝑥3 -2𝑥2 -3𝑥+ 2) ∶(𝑥-1) = 3𝑥2 + 𝑥-2,\nALBO\n- rozłożenie wielomianu 𝑊(𝑥) = 3𝑥3 -2𝑥2 -3𝑥+ 2 na czynniki liniowe, np.\n𝑊(𝑥) = (3𝑥-2)(𝑥-1)(𝑥+ 1),\nALBO\n- przekształcenie równania 3𝑥3 -2𝑥2 -3𝑥+ 2 = 0 do postaci alternatywy równań\ni rozwiązanie jednego z nich, np.\n(3𝑥-2 = 0 lub 𝑥2 -1 = 0) i 𝑥= 1 oraz 𝑥= -1.\n1 pkt - przekształcenie lewej strony równania do postaci iloczynu wielomianów stopnia co\nnajwyżej drugiego, np. (3𝑥-2)(𝑥2 -1) = 0\nALBO\n- zapisanie jednego z rozwiązań równania 3𝑥3 -2𝑥2 -3𝑥+ 2 = 0 (jeśli to\nrozwiązanie nie zostało otrzymane w wyniku zastosowania błędnej metody),\nALBO\n- przekształcenie równania 3𝑥3 -2𝑥2 -3𝑥+ 2 = 0 do postaci alternatywy równań,\nnp. 3𝑥-2 = 0 lub 𝑥2 -1 = 0.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający uzyska trzy poprawne pierwiastki wielomianu, lecz traktuje równanie jako\nnierówność (podaje zbiór rozwiązań w postaci przedziału/ sumy przedziałów), to otrzymuje\n2 punkty za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający przy przekształcaniu lewej strony równania do postaci iloczynu zapisuje\nczynnik (3𝑥-2) z wykładnikiem 2, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe\nrozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPrzekształcamy równanie równoważnie i stosujemy metodę grupowania wyrazów:\n3𝑥3 -2𝑥2 -3𝑥+ 2 = 0\n𝑥2(3𝑥-2) -(3𝑥-2) = 0\n(3𝑥-2)(𝑥2 -1) = 0\n(3𝑥-2)(𝑥-1)(𝑥+ 1) = 0\n3𝑥-2 = 0 lub 𝑥-1 = 0 lub 𝑥+ 1 = 0\n𝑥= 2\n3 lub 𝑥= 1 lub 𝑥= -1\nRozwiązaniami równania są liczby: (-1), 2\n3 , 1.\nSposób II\nPrzekształcamy równanie równoważnie i stosujemy metodę grupowania wyrazów:\n3𝑥3 -2𝑥2 -3𝑥+ 2 = 0\n3𝑥(𝑥2 -1) -2(𝑥2 -1) = 0\n(3𝑥-2)(𝑥2 -1) = 0\n(3𝑥-2)(𝑥-1)(𝑥+ 1) = 0\n3𝑥-2 = 0 lub 𝑥-1 = 0 lub 𝑥+ 1 = 0\n𝑥= 2\n3 lub 𝑥= 1 lub 𝑥= -1\nRozwiązaniami równania są liczby: (-1), 2\n3 , 1.\nSposób III\nObliczamy 𝑊(1) = 0 i stwierdzamy, że liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu\n𝑊(𝑥) = 3𝑥3 -2𝑥2 -3𝑥+ 2.\nZatem wielomian 𝑊 jest podzielny przez dwumian 𝑥-1. Dzielimy wielomian 𝑊 przez\ndwumian 𝑥-1 i otrzymujemy\n(3𝑥3 -2𝑥2 -3𝑥+ 2): (𝑥-1) = 3𝑥2 + 𝑥-2\nZatem 𝑊(𝑥) = (𝑥-1)(3𝑥2 + 𝑥-2).\nObliczamy pierwiastki trójmianu 3𝑥2 + 𝑥-2:\nΔ = 12 -4 ⋅3 ⋅(-2) = 25\n𝑥= -1 -5\n2 ⋅3\n= -1 oraz 𝑥= -1 + 5\n2 ⋅3\n= 2\n3\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nRozwiązaniami równania są liczby: (-1), 2\n3 , 1.\nSposób IV\nObliczamy 𝑊(1) = 0 i stwierdzamy, że liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu\n𝑊(𝑥) = 3𝑥3 -2𝑥2 -3𝑥+ 2.\nObliczamy 𝑊(-1) = 0 i stwierdzamy, że liczba (-1) jest pierwiastkiem wielomianu\n𝑊(𝑥) = 3𝑥3 -2𝑥2 -3𝑥+ 2.\nObliczamy 𝑊(2\n3) = 0 i stwierdzamy, że liczba 2\n3 jest pierwiastkiem wielomianu\n𝑊(𝑥) = 3𝑥3 -2𝑥2 -3𝑥+ 2.\nPonieważ 𝑊 jest wielomianem stopnia trzeciego, więc ma co najwyżej trzy pierwiastki\nrzeczywiste. Oznacza to, że jedynymi rozwiązaniami równania 3𝑥3 -2𝑥2 -3𝑥+ 2 = 0 są\nliczby: (-1), 2\n3 , 1.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(k = -3\\)\n\n## Sposób 1 - Podstawienie warunku do wzoru\n\nWzór funkcji to:\n\\[f(x) = \\frac{x - k}{x^2 + 1}\\]\n\nWarunek mówi, że \\(f(1) = 2\\). Podstawiamy \\(x = 1\\):\n\n\\[f(1) = \\frac{1 - k}{1^2 + 1} = \\frac{1 - k}{2}\\]\n\nSkoro \\(f(1) = 2\\), to:\n\n\\[\\frac{1 - k}{2} = 2\\]\n\nMnożymy obie strony przez \\(2\\):\n\n\\[1 - k = 4\\]\n\nStąd:\n\n\\[-k = 3\\]\n\n\\[\\boxed{k = -3}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nZnaleźliśmy \\(k = -3\\). Sprawdźmy, czy rzeczywiście \\(f(1) = 2\\).\n\nWzór funkcji po podstawieniu \\(k = -3\\):\n\\[f(x) = \\frac{x - (-3)}{x^2 + 1} = \\frac{x + 3}{x^2 + 1}\\]\n\nObliczamy \\(f(1)\\):\n\\[f(1) = \\frac{1 + 3}{1^2 + 1} = \\frac{4}{2} = 2 \\checkmark\\]\n\nWynik zgadza się z warunkiem - **\\(k = -3\\) jest poprawne**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy podstawienie wartości do wzoru funkcji i rozwiązanie prostego równania liniowego.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mianownik to \\(x^2 + 1\\), czyli dla \\(x = 1\\) wynosi \\(1 + 1 = 2\\), **nie** \\(1\\). Błąd polega na zapomnieniu o podniesieniu do kwadratu lub obliczeniu \\(1^2\\) jako \\(2\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po przekształceniu \\(\\frac{1-k}{2} = 2\\) mamy \\(1 - k = 4\\), czyli \\(k = 1 - 4 = -3\\). Łatwo tu popełnić błąd znaku i napisać \\(k = 3\\) zamiast \\(k = -3\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Czytaj wzór uważnie - \\(f(x) = \\frac{x-k}{x^2+1}\\) to ułamek, nie iloczyn. Błędne wyciągnięcie nawiasów prowadzi do zupełnie innego równania.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\\\(k = -3\\\\)**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nFunkcja \\\\(f(x) = \\\\frac{x - k}{x^2 + 1}\\\\) spełnia warunek \\\\(f(1) = 2\\\\).\n\nPodstawiamy \\\\(x = 1\\\\):\n\\\\[f(1) = \\\\frac{1 - k}{1^2 + 1} = \\\\frac{1 - k}{2} = 2\\\\]\n\nMnożymy obie strony przez 2:\n\\\\[1 - k = 4\\\\]\n\\\\[k = 1 - 4 = -3\\\\]\n\n**Sprawdzenie:** \\\\(f(1) = \\\\frac{1-(-3)}{1+1} = \\\\frac{4}{2} = 2\\\\) ✓\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Obliczanie wartości funkcji przez podstawienie argumentu do wzoru.","image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-9.svg","topics":"Wielomiany","page_from":9,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 9. (0-3)<br>Rozwiąż równanie<br>𝟑𝒙𝟑-𝟐𝒙𝟐-𝟑𝒙+ 𝟐= 𝟎<br>Zapisz obliczenia.</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>Rozwiąż równanie: 3x^3 - 2x^2 - 3x + 2 = 0</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 9. (0-3)<br>Zasady oceniania<br>3 pkt - poprawna metoda rozwiązania równania i obliczenie wszystkich rozwiązań równania:<br>(-1), 2<br>3 , 1<br>ALBO</p>\n<ul><li>wyznaczenie wszystkich rozwiązań równania: (-1), 2</li></ul>\n<p>3 , 1, oraz stwierdzenie, że są<br>to jedyne rozwiązania równania.<br>2 pkt - przekształcenie lewej strony równania do postaci iloczynu wielomianów stopnia co<br>najwyżej drugiego oraz rozwiązanie jednego z równań wynikającego z tego rozkładu,<br>np. (3𝑥-2)(𝑥2 -1) = 0 i 𝑥= 2<br>3 ,<br>(3𝑥-2)(𝑥2 -1) = 0 i 𝑥= -1 oraz 𝑥= 1<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie jednego z pierwiastków wielomianu 𝑊 oraz poprawne podzielenie</li></ul>\n<p>wielomianu 𝑊 przez odpowiedni dwumian, np.<br>𝑥= 1 i (3𝑥3 -2𝑥2 -3𝑥+ 2) ∶(𝑥-1) = 3𝑥2 + 𝑥-2,<br>ALBO</p>\n<ul><li>rozłożenie wielomianu 𝑊(𝑥) = 3𝑥3 -2𝑥2 -3𝑥+ 2 na czynniki liniowe, np.</li></ul>\n<p>𝑊(𝑥) = (3𝑥-2)(𝑥-1)(𝑥+ 1),<br>ALBO</p>\n<ul><li>przekształcenie równania 3𝑥3 -2𝑥2 -3𝑥+ 2 = 0 do postaci alternatywy równań</li></ul>\n<p>i rozwiązanie jednego z nich, np.<br>(3𝑥-2 = 0 lub 𝑥2 -1 = 0) i 𝑥= 1 oraz 𝑥= -1.<br>1 pkt - przekształcenie lewej strony równania do postaci iloczynu wielomianów stopnia co<br>najwyżej drugiego, np. (3𝑥-2)(𝑥2 -1) = 0<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie jednego z rozwiązań równania 3𝑥3 -2𝑥2 -3𝑥+ 2 = 0 (jeśli to</li></ul>\n<p>rozwiązanie nie zostało otrzymane w wyniku zastosowania błędnej metody),<br>ALBO</p>\n<ul><li>przekształcenie równania 3𝑥3 -2𝑥2 -3𝑥+ 2 = 0 do postaci alternatywy równań,</li></ul>\n<p>np. 3𝑥-2 = 0 lub 𝑥2 -1 = 0.<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający uzyska trzy poprawne pierwiastki wielomianu, lecz traktuje równanie jako</li></ol>\n<p>nierówność (podaje zbiór rozwiązań w postaci przedziału/ sumy przedziałów), to otrzymuje<br>2 punkty za całe rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający przy przekształcaniu lewej strony równania do postaci iloczynu zapisuje</li></ol>\n<p>czynnik (3𝑥-2) z wykładnikiem 2, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe<br>rozwiązanie.<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób I<br>Przekształcamy równanie równoważnie i stosujemy metodę grupowania wyrazów:<br>3𝑥3 -2𝑥2 -3𝑥+ 2 = 0<br>𝑥2(3𝑥-2) -(3𝑥-2) = 0<br>(3𝑥-2)(𝑥2 -1) = 0<br>(3𝑥-2)(𝑥-1)(𝑥+ 1) = 0<br>3𝑥-2 = 0 lub 𝑥-1 = 0 lub 𝑥+ 1 = 0<br>𝑥= 2<br>3 lub 𝑥= 1 lub 𝑥= -1<br>Rozwiązaniami równania są liczby: (-1), 2<br>3 , 1.<br>Sposób II<br>Przekształcamy równanie równoważnie i stosujemy metodę grupowania wyrazów:<br>3𝑥3 -2𝑥2 -3𝑥+ 2 = 0<br>3𝑥(𝑥2 -1) -2(𝑥2 -1) = 0<br>(3𝑥-2)(𝑥2 -1) = 0<br>(3𝑥-2)(𝑥-1)(𝑥+ 1) = 0<br>3𝑥-2 = 0 lub 𝑥-1 = 0 lub 𝑥+ 1 = 0<br>𝑥= 2<br>3 lub 𝑥= 1 lub 𝑥= -1<br>Rozwiązaniami równania są liczby: (-1), 2<br>3 , 1.<br>Sposób III<br>Obliczamy 𝑊(1) = 0 i stwierdzamy, że liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu<br>𝑊(𝑥) = 3𝑥3 -2𝑥2 -3𝑥+ 2.<br>Zatem wielomian 𝑊 jest podzielny przez dwumian 𝑥-1. Dzielimy wielomian 𝑊 przez<br>dwumian 𝑥-1 i otrzymujemy<br>(3𝑥3 -2𝑥2 -3𝑥+ 2): (𝑥-1) = 3𝑥2 + 𝑥-2<br>Zatem 𝑊(𝑥) = (𝑥-1)(3𝑥2 + 𝑥-2).<br>Obliczamy pierwiastki trójmianu 3𝑥2 + 𝑥-2:<br>Δ = 12 -4 ⋅3 ⋅(-2) = 25<br>𝑥= -1 -5<br>2 ⋅3<br>= -1 oraz 𝑥= -1 + 5<br>2 ⋅3<br>= 2<br>3<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Rozwiązaniami równania są liczby: (-1), 2<br>3 , 1.<br>Sposób IV<br>Obliczamy 𝑊(1) = 0 i stwierdzamy, że liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu<br>𝑊(𝑥) = 3𝑥3 -2𝑥2 -3𝑥+ 2.<br>Obliczamy 𝑊(-1) = 0 i stwierdzamy, że liczba (-1) jest pierwiastkiem wielomianu<br>𝑊(𝑥) = 3𝑥3 -2𝑥2 -3𝑥+ 2.<br>Obliczamy 𝑊(2</p>\n<ol><li>= 0 i stwierdzamy, że liczba 2</li></ol>\n<p>3 jest pierwiastkiem wielomianu<br>𝑊(𝑥) = 3𝑥3 -2𝑥2 -3𝑥+ 2.<br>Ponieważ 𝑊 jest wielomianem stopnia trzeciego, więc ma co najwyżej trzy pierwiastki<br>rzeczywiste. Oznacza to, że jedynymi rozwiązaniami równania 3𝑥3 -2𝑥2 -3𝑥+ 2 = 0 są<br>liczby: (-1), 2<br>3 , 1.</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-9.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: \\(k = -3\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Podstawienie warunku do wzoru</h4>\n<p>Wzór funkcji to:<br>\\[f(x) = \\frac{x - k}{x^2 + 1}\\]</p>\n<p>Warunek mówi, że \\(f(1) = 2\\). Podstawiamy \\(x = 1\\):</p>\n<p>\\[f(1) = \\frac{1 - k}{1^2 + 1} = \\frac{1 - k}{2}\\]</p>\n<p>Skoro \\(f(1) = 2\\), to:</p>\n<p>\\[\\frac{1 - k}{2} = 2\\]</p>\n<p>Mnożymy obie strony przez \\(2\\):</p>\n<p>\\[1 - k = 4\\]</p>\n<p>Stąd:</p>\n<p>\\[-k = 3\\]</p>\n<p>\\[\\boxed{k = -3}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie</h4>\n<p>Znaleźliśmy \\(k = -3\\). Sprawdźmy, czy rzeczywiście \\(f(1) = 2\\).</p>\n<p>Wzór funkcji po podstawieniu \\(k = -3\\):<br>\\[f(x) = \\frac{x - (-3)}{x^2 + 1} = \\frac{x + 3}{x^2 + 1}\\]</p>\n<p>Obliczamy \\(f(1)\\):<br>\\[f(1) = \\frac{1 + 3}{1^2 + 1} = \\frac{4}{2} = 2 \\checkmark\\]</p>\n<p>Wynik zgadza się z warunkiem - <strong>\\(k = -3\\) jest poprawne</strong>.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy podstawienie wartości do wzoru funkcji i rozwiązanie prostego równania liniowego.</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Mianownik to \\(x^2 + 1\\), czyli dla \\(x = 1\\) wynosi \\(1 + 1 = 2\\), <strong>nie</strong> \\(1\\). Błąd polega na zapomnieniu o podniesieniu do kwadratu lub obliczeniu \\(1^2\\) jako \\(2\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Po przekształceniu \\(\\frac{1-k}{2} = 2\\) mamy \\(1 - k = 4\\), czyli \\(k = 1 - 4 = -3\\). Łatwo tu popełnić błąd znaku i napisać \\(k = 3\\) zamiast \\(k = -3\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Czytaj wzór uważnie - \\(f(x) = \\frac{x-k}{x^2+1}\\) to ułamek, nie iloczyn. Błędne wyciągnięcie nawiasów prowadzi do zupełnie innego równania.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: \\\\(k = -3\\\\)</strong></p>\n<p><strong>Rozwiązanie:</strong></p>\n<p>Funkcja \\\\(f(x) = \\\\frac{x - k}{x^2 + 1}\\\\) spełnia warunek \\\\(f(1) = 2\\\\).</p>\n<p>Podstawiamy \\\\(x = 1\\\\):<br>\\\\[f(1) = \\\\frac{1 - k}{1^2 + 1} = \\\\frac{1 - k}{2} = 2\\\\]</p>\n<p>Mnożymy obie strony przez 2:<br>\\\\[1 - k = 4\\\\]<br>\\\\[k = 1 - 4 = -3\\\\]</p>\n<p><strong>Sprawdzenie:</strong> \\\\(f(1) = \\\\frac{1-(-3)}{1+1} = \\\\frac{4}{2} = 2\\\\) ✓</p>\n<p><strong>Użyte wzory z karty CKE:</strong> Obliczanie wartości funkcji przez podstawienie argumentu do wzoru.</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>3x^3-2x^2-3x+2=0.</p>\n<p>Grupujemy wyrazy:</p>\n<p>x^2(3x-2)-1(3x-2)=0,</p>\n<p>(3x-2)(x^2-1)=0,</p>\n<p>(3x-2)(x-1)(x+1)=0.</p>\n<p>Stąd x=(2)/(3) , x=1 lub x=-1 .</p>"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>$(-1), \\dfrac{2}{3}, 1$</p>"}]}