{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (0-1)\nWartość wyrażenia (2 -√3)\n2 -(√3 -2)\n2 jest równa\nA. (-2√3)\nB. 0\nC. 6\nD. 8√3","answer":"B","answer_text":"5. Jeżeli zdający poda zbiór rozwiązań w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi\nkońcami przedziałów oraz zapisze: 𝑥∈⟨-4, 1⟩, to otrzymuje 1 punkt za całe\nrozwiązanie.\nKryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\nJeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań nierówności\nw postaci (1, -4), to otrzymuje 2 punkty.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nZapisujemy nierówność w postaci -𝑥2 -3𝑥+ 4 > 0 i obliczamy pierwiastki trójmianu\n-𝑥2 -3𝑥+ 4.\nObliczamy wyróżnik trójmianu: Δ = 25\ni obliczamy jego pierwiastki: 𝑥1 = -4 oraz 𝑥2 = 1\nALBO\npodajemy pierwiastki trójmianu bezpośrednio, zapisując je lub zaznaczając je na wykresie:\n𝑥1 = -4 oraz 𝑥2 = 1.\nPodajemy zbiór rozwiązań nierówności: (-4, 1) lub 𝑥∈(-4, 1), lub zaznaczamy zbiór\nrozwiązań na osi liczbowej:\n-4\n𝑥\n1\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑥= -4.\n1 pkt - zastosowanie własności/definicji ciągu arytmetycznego i zapisanie równania\n3𝑥2+5𝑥+20-𝑥2\n2\n= 𝑥2 lub 𝑥2 -(3𝑥2 + 5𝑥) = (20 -𝑥2) -𝑥2.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający myli ciąg arytmetyczny z geometrycznym, to otrzymuje 0 punktów za całe\nrozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.\n2. Jeżeli zdający zapisze równanie 𝑥2 -3𝑥2 + 5𝑥= (20 -𝑥2) -𝑥2 (tj. nie uwzględnia\nistotnego nawiasu) i rozwiąże je konsekwentnie do końca, to otrzymuje 1 punkt za całe\nrozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nZ własności ciągu arytmetycznego otrzymujemy\n3𝑥2 + 5𝑥+ 20 -𝑥2\n2\n= 𝑥2\n2𝑥2 + 5𝑥+ 20 = 2𝑥2\n𝑥= -4\nSposób II\nZ definicji/własności ciągu arytmetycznego otrzymujemy\n𝑥2 -(3𝑥2 + 5𝑥) = (20 -𝑥2) -𝑥2\nStąd\n-2𝑥2 -5𝑥= 20 -2𝑥2\n𝑥= -4\nZasady oceniania\n2 pkt - przeprowadzenie pełnego rozumowania, tj. przekształcenie nierówności\n𝑥2 + 3𝑥𝑦-10𝑦2 > 0 do postaci (𝑥-2𝑦)(𝑥+ 5𝑦) > 0 oraz powołanie się na\nzałożenie i stwierdzenie, że: czynniki 𝑥+ 5𝑦 oraz 𝑥-2𝑦 są liczbami dodatnimi\noraz iloczyn liczb dodatnich jest liczbą dodatnią (dla sposobu I)\nALBO\n- przeprowadzenie pełnego rozumowania, tj. wykorzystanie założenia 𝑥> 2𝑦> 0\ni wywnioskowanie stąd nierówności 𝑥2 -4𝑦2 > 0 oraz 3𝑥𝑦-6𝑦2 > 0 (lub\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n𝑥2 > 4𝑦2 oraz 3𝑥𝑦> 6𝑦2), a następnie wywnioskowanie nierówności\n𝑥2 + 3𝑥𝑦-10𝑦2 > 0.\n1 pkt - przekształcenie nierówności 𝑥2 + 3𝑥𝑦-10𝑦2 > 0 do postaci\n(𝑥-2𝑦)(𝑥+ 5𝑦) > 0\nALBO\n- wykorzystanie założenia 𝑥> 2𝑦> 0 i wywnioskowanie stąd nierówności\n𝑥2 -4𝑦2 > 0 oraz 3𝑥𝑦-6𝑦2 > 0 (lub: 𝑥2 > 4𝑦2 oraz 3𝑥𝑦> 6𝑦2).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeśli zdający sprawdza prawdziwość nierówności tylko dla wybranych wartości 𝑥 i 𝑦, to\notrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPrzekształcamy nierówność 𝑥2 + 3𝑥𝑦-10𝑦2 > 0 w sposób równoważny:\n𝑥2 + 5𝑥𝑦-2𝑥𝑦-10𝑦2 > 0\n𝑥(𝑥+ 5𝑦) -2𝑦(𝑥+ 5𝑦) > 0\n(𝑥-2𝑦)(𝑥+ 5𝑦) > 0\nZ założenia 𝑥 oraz 𝑦 są dodatnie, więc 𝑥+ 5𝑦> 0. Z założenia 𝑥> 2𝑦, więc\n𝑥-2𝑦> 0. Stąd (𝑥-2𝑦)(𝑥+ 5𝑦) > 0.\nTo należało wykazać.\nSposób II\nPonieważ z założenia liczby 𝑥 oraz 𝑦 są dodatnie i 𝑥> 2𝑦, więc 𝑥2 > 4𝑦2 , czyli\n𝑥2 -4𝑦2 > 0\nMnożąc obie strony nierówności 𝑥> 2𝑦 przez liczbę dodatnią 3𝑦 otrzymujemy\n3𝑥𝑦> 6𝑦2, czyli\n3𝑥𝑦-6𝑦2 > 0\nZatem 𝑥2 -4𝑦2 + 3𝑥𝑦-6𝑦2 jest liczbą dodatnią (jako suma liczb dodatnich 𝑥2 -4𝑦2\noraz 3𝑥𝑦-6𝑦2). Oznacza to, że dla każdego 𝑥 oraz 𝑦 takich, że 𝑥> 2𝑦, spełniona jest\nnierówność 𝑥2 + 3𝑥𝑦-10𝑦2 > 0.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 16√3.\n1 pkt - obliczenie/podanie długości odcinka 𝐴𝐸 (lub 𝐵𝐹): |𝐴𝐸| = 2\nALBO\n- obliczenie wysokości trapezu: 2√3,\nALBO\n- podzielenie trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷 na równoległobok bokach 6 i 4 oraz trójkąt\nrównoboczny i zapisanie pola 𝑃 trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jako sumy pól tego równoległoboku\ni tego trójkąta, np. 𝑃= 𝑃𝐴𝐺𝐶𝐷+ 𝑃𝐺𝐵𝐶 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli zdający, obliczając wysokość trapezu albo długość odcinka 𝐴𝐸 (lub 𝐵𝐹), stosuje\nbłędnie funkcje trygonometryczne lub związki miarowe trójkąta o kątach 30°, 60° i 90°, to\notrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nNiech 𝐷𝐸 oraz 𝐶𝐹 będą wysokościami trapezu opuszczonymi na podstawę 𝐴𝐵.\nStosując definicje funkcji trygonometrycznych dla kąta 𝐵𝐴𝐷 w trójkącie prostokątnym 𝐹𝐴𝐷\n(lub korzystając ze związków miarowych dla trójkąta o kątach 30°, 60° i 90°), otrzymujemy\n|𝐴𝐸|\n|𝐴𝐷| = 𝑐𝑜𝑠60°, więc |𝐴𝐸| = |𝐴𝐷| ⋅𝑐𝑜𝑠60° = 4 ⋅1\n2 = 2\noraz\n|𝐷𝐸|\n|𝐴𝐷| = 𝑠𝑖𝑛60°, więc |𝐷𝐸| = |𝐴𝐷| ⋅𝑠𝑖𝑛60° = 4 ⋅\n√3\n2 = 2√3.\nPonieważ trapez jest równoramienny, więc |𝐴𝐸| = |𝐹𝐵|. Zatem\n|𝐴𝐵| = |𝐶𝐷| + 2 ⋅|𝐴𝐸| = 10.\nObliczamy pole 𝑃 trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷:\n𝑃= |𝐴𝐵| + |𝐶𝐷|\n2\n⋅|𝐷𝐸| = 10 + 6\n2\n⋅2√3 = 16√3\n𝐸\n𝐹\n𝐶\n𝐷\n60°\n6\n4\n𝐵\n𝐴\n60°\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nSposób II\nProwadzimy odcinek 𝐶𝐺 równoległy do ramienia 𝐴𝐷 tak, żeby koniec 𝐺 tego odcinka\nleżał na podstawie 𝐴𝐵 trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷.\nOdcinek 𝐶𝐺 dzieli trapez 𝐴𝐵𝐶𝐷 na równoległobok 𝐴𝐺𝐶𝐷 i trójkąt równoboczny 𝐺𝐵𝐶.\nZatem pole 𝑃 trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równe\n𝑃= 𝑃𝐴𝐺𝐶𝐷+ 𝑃𝐺𝐵𝐶= 4 ⋅6 ⋅𝑠𝑖𝑛60° + 42√3\n4\n= 24 ⋅√3\n2 + 4√3 = 16√3\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody rozwiązania równania wymiernego i poprawny\nwynik: 1\n4 oraz 2.\n1 pkt - poprawne przekształcenie równania\n2𝑥-3\n3𝑥-2 =\n1\n2𝑥 do równania kwadratowego, np.\n(2𝑥-3) ⋅2𝑥= 3𝑥-2.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający nie zapisze zastrzeżeń: 𝑥≠2\n3, 𝑥≠0, to może otrzymać 2 punkty.\n2. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe przy przekształcaniu równania, otrzyma\nrównanie kwadratowe, które ma dwa rozwiązania i konsekwentnie je rozwiąże do końca,\nto może otrzymać 1 punkt za całe rozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający, przekształcając równanie wymierne do równania kwadratowego,\nzastosuje błędną metodę i zapisze np. (2𝑥-3) ⋅2𝑥= 2𝑥⋅(3𝑥-2), to otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie.\n4. Jeżeli zdający odgadnie jedno z rozwiązań równania, to otrzymuje 0 punktów; jeżeli\nodgadnie dwa rozwiązania równania i nie uzasadni, że są to jedyne rozwiązania, to\notrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\n5. Jeżeli zdający poprawnie przekształci równanie do równania kwadratowego, uzyska\npoprawne wartości pierwiastków, lecz traktuje równanie jako nierówność (rysuje parabolę\ni podaje przedziały jako rozwiązanie), to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\nPodobnie, jeżeli zdający poprawnie przekształci równanie do równania kwadratowego,\nuzyska poprawne wartości pierwiastków, lecz poda odpowiedź w postaci przedziału/sumy\nprzedziałów o końcach 1\n4 i 2, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\n𝐺\n𝐶\n𝐷\n60°\n6\n4\n𝐵\n𝐴\n60°\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nRównanie ma sens liczbowy dla 𝑥≠2\n3 i 𝑥≠0.\nPrzekształcamy równanie:\n2𝑥-3\n3𝑥-2 = 1\n2𝑥\n(2𝑥-3) ⋅2𝑥= (3𝑥-2) ⋅1\n4𝑥2 -6𝑥= 3𝑥-2\n4𝑥2 -9𝑥+ 2 = 0\nRozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe.\nObliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego 4𝑥2 -9𝑥+ 2: Δ = (-9)2 -4 ⋅4 ⋅2 = 49 i\nstąd 𝑥1 = 1\n4 oraz 𝑥2 = 16\n8 = 2.\nOtrzymane pierwiastki są różne od liczby 2\n3 oraz od liczby 0, więc są rozwiązaniami danego\nrównania.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody obliczenia prawdopodobieństwa zdarzenia 𝐴\ni uzyskanie poprawnego wyniku: 𝑃(𝐴) = 6\n20 = 3\n10 .\n1 pkt - wypisanie wszystkich zdarzeń elementarnych lub obliczenie/podanie liczby tych\nzdarzeń: |Ω| = 5 ⋅4,\nALBO\n- sporządzenie tabeli 5x5 i wypełnienie/zaznaczenie pól odpowiadających zdarzeniom\nelementarnym (lub wykreślenie pól na głównej przekątnej),\nALBO\n- sporządzenie pełnego drzewa stochastycznego,\nALBO\n- wypisanie (zaznaczenie w tabeli) wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających\nzdarzeniu 𝐴 i niewypisanie żadnego niewłaściwego:\n(1, 3), (1, 5), (3, 1), (3, 5), (5, 1), (5, 3),\nALBO\n- podanie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴:\n|𝐴| = 6, jeśli nie została otrzymana w wyniku zastosowania błędnej metody,\nALBO\n- sporządzenie fragmentu drzewa stochastycznego, które zawiera wszystkie gałęzie\nsprzyjające zdarzeniu 𝐴 oraz zapisanie prawdopodobieństwa na co najmniej jednym\nodcinku każdego z etapów doświadczenia,\nALBO\n- podanie prawdopodobieństwa jednoelementowego zdarzenia (elementarnego): 1\n20 ,\nALBO\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n- zapisanie tylko 𝑃(𝐴) = 6\n20 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający zapisuje tylko liczbę 6 lub 20 i z rozwiązania nie wynika znaczenie tych\nliczb, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający przedstawia dwa sprzeczne ze sobą zapisy i z rozwiązania nie wynika\njednoznacznie, który z nich zdający uznaje za poprawny, to za te zapisy zdający nie\notrzymuje punktów.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nZdarzeniami elementarnymi są wszystkie uporządkowane pary liczb (𝑎, 𝑏), gdzie\n𝑎, 𝑏∈{1, 2, 3, 4, 5} i 𝑎≠𝑏.\nLiczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa |Ω| = 5 ⋅4 = 20.\nZdarzeniu 𝐴 sprzyjają następujące zdarzenia elementarne:\n(1, 3), (1, 5), (3, 1), (3, 5), (5, 1), (5, 3),\nwięc |𝐴| = 6.\nPrawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe: 𝑃(𝐴) = |𝐴|\n|Ω| = 6\n20 = 3\n10 .\nSposób II (drzewo stochastyczne)\nRysujemy fragment drzewa stochastycznego rozważanego doświadczenia z uwzględnieniem\nwszystkich istotnych gałęzi.\n1\n5\n1\n5\n1\n5\n3\n5\n1\n5\n1\n3\n1\n3\n5\n1\n4\n1\n4\n1\n4\n1\n4\n1\n4\n1\n4\nPrawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe\n𝑃(𝐴) = 1\n5 ∙1\n4 + 1\n5 ∙1\n4 + 1\n5 ∙1\n4 + 1\n5 ∙1\n4 + 1\n5 ∙1\n4 + 1\n5 ∙1\n4 = 6\n20 = 3\n10\nSposób IIa (drzewo stochastyczne uproszczone)\nRozpatrujemy dwuetapowe doświadczenie losowe. Niech 𝑛 odpowiada zdarzeniu\nwylosowania liczby nieparzystej, natomiast 𝑝 - zdarzeniu wylosowania liczby parzystej.\nRysujemy drzewo z uwzględnieniem wszystkich istotnych gałęzi.\nPrawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe\n𝑃(𝐴) = 3\n5 ∙2\n4 = 6\n20 = 3\n10\n3\n5\n2\n5\n𝑛\n𝑝\n𝑛\n𝑝\n2\n4\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZasady oceniania\n5 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝐷= (-6, 3).\n4 pkt - wyznaczenie równania prostej 𝐵𝐶 i wyznaczenie równania symetralnej odcinka 𝐴𝐵:\n𝑦= 1\n3 𝑥+ 5 i 𝑦= -1\n7 𝑥+ 15\n7\nALBO\n- zastosowanie twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝐵𝑆𝐷 i zapisanie równania z jedną\nniewiadomą (pierwszą lub drugą współrzędną punktu 𝐷), np.\n(𝑥-26\n5 )\n2\n+ (1\n3 𝑥+ 18\n5 )\n2\n+ (4\n5)\n2\n+ (28\n5 )\n2\n= (𝑥-6)2 + (1\n3 𝑥-2)\n2\n3 pkt - wyznaczenie równania symetralnej odcinka 𝐴𝐵: 𝑦= -1\n7 𝑥+ 15\n7\nALBO\n- obliczenie współczynnika kierunkowego 𝑎2 prostej prostopadłej do 𝐴𝐵: 𝑎2 = -1\n7\ni wyznaczenie równania prostej 𝐵𝐶: 𝑦= 1\n3 𝑥+ 5,\nALBO\n- obliczenie długości odcinka 𝑆𝐵 i zapisanie współrzędnych punktu 𝐷 za pomocą\npierwszej/drugiej współrzędnej punktu 𝐷: |𝑆𝐵| = √32 i 𝐷= (𝑥, 1\n3 𝑥+ 5)\n(lub 𝐷= (3𝑦-5, 𝑦) ).\n2 pkt - spełnienie dwóch spośród trzech warunków wymienionych w kryteriach oceniania za\n1 punkt\nALBO\n- obliczenie współczynnika kierunkowego 𝑎2 prostej prostopadłej do odcinka 𝐴𝐵:\n𝑎2 = -1\n7 .\n1 pkt - wyznaczenie równania prostej 𝐵𝐶: 𝑦= 1\n3 𝑥+ 5\nALBO\n- wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej 𝐴𝐵: 7,\nALBO\n- obliczenie współrzędnych środka 𝑆 odcinka 𝐴𝐵: 𝑆= (26\n5 , 7\n5).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający zamiast symetralnej boku 𝐴𝐵 rozpatruje symetralną boku 𝐵𝐶 (lub 𝐶𝐴)\ni poprawnie realizuje strategię obliczenia współrzędnych punktu przecięcia symetralnej\nboku 𝐵𝐶 (lub 𝐶𝐴) z bokiem 𝐶𝐴 (lub 𝐵𝐶) oraz (konsekwentnie do popełnionego błędu)\nrozwiązuje zadanie do końca, to otrzymuje 3 punkty za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli jedynym błędem zdającego jest:\na) błędne zastosowanie twierdzenia Pitagorasa,\nb) zastosowanie niepoprawnej tożsamości √𝑥2 + 𝑦2 = 𝑥+ 𝑦,\nc) błędne zastosowanie wzoru na współrzędne środka odcinka,\nd) błędne zastosowanie warunku prostopadłości prostych,\ne) błędne zastosowanie wzoru na odległość między dwoma punktami,\ni rozwiązanie zostanie doprowadzone konsekwentnie do końca, to zdający otrzymuje\n3 punkty za całe rozwiązanie (o ile nie nabył prawa do 4 punktów).\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nWyznaczamy równanie kierunkowe prostej 𝐵𝐶: 𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑏, rozwiązując układ równań\n{ 7 = 𝑎⋅6 + 𝑏\n2 = 𝑎⋅(-9) + 𝑏\nOtrzymujemy\n{ 7 -6𝑎= 𝑏\n2 + 9𝑎= 𝑏\n{ 7 -6𝑎= 𝑏\n2 + 9𝑎= 7 -6𝑎\n{ 7 -6𝑎= 𝑏\n15𝑎= 5\n{\n7 -6𝑎= 𝑏\n𝑎= 1\n3\n{\n5 = 𝑏\n𝑎= 1\n3\nZatem prosta 𝐵𝐶 ma równanie 𝑦= 1\n3 𝑥+ 5.\nObliczamy współrzędne 𝑥𝑆 oraz 𝑦𝑆 środka 𝑆 odcinka 𝐴𝐵:\n𝑥𝑆= 𝑥𝐴+ 𝑥𝐵\n2\n22\n5 + 6\n2\n52\n5\n2 = 26\n5\n𝑦𝑆= 𝑦𝐴+ 𝑦𝐵\n2\n-21\n5 + 7\n2\n14\n5\n2 = 7\n5\nZatem 𝑆= (26\n5 , 7\n5).\nObliczamy współczynnik kierunkowy 𝑎𝐴𝐵 prostej 𝐴𝐵:\n𝑎𝐴𝐵= 𝑦𝐵-𝑦𝐴\n𝑥𝐵-𝑥𝐴\n7 -(-21\n5 )\n6 -22\n5\n56\n5\n8\n5\n= 7\nWyznaczamy równanie symetralnej boku 𝐴𝐵: 𝑦= 𝑎2𝑥+ 𝑏2 .\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nObliczamy współczynnik kierunkowy 𝑎2 symetralnej: 𝑎2 ⋅𝑎𝐴𝐵= -1. Stąd 𝑎2 = -1\n7 .\nSymetralna boku 𝐴𝐵 przechodzi przez punkt 𝑆, więc 7\n5 = -1\n7 ⋅26\n5 + 𝑏2 . Stąd 𝑏2 = 15\n7\ni symetralna ma równanie 𝑦= -1\n7 𝑥+ 15\n7 .\nPunkt 𝐷 jest punktem przecięcia prostej 𝐵𝐶 i symetralnej boku 𝐴𝐵.\nObliczamy współrzędne punktu 𝐷, rozwiązując układ równań:\n{\n𝑦= -1\n7 𝑥+ 15\n7\n𝑦= 1\n3 𝑥+ 5\nOtrzymujemy\n{\n𝑦= -1\n7 𝑥+ 15\n7\n1\n3 𝑥+ 5 = -1\n7 𝑥+ 15\n7\n{ 𝑦= -1\n7 𝑥+ 15\n7\n7𝑥+ 105 = -3𝑥+ 45\n{ 𝑦= -1\n7 𝑥+ 15\n7\n10𝑥= -60\n{ 𝑦= -1\n7 𝑥+ 15\n7\n𝑥= -6\n{ 𝑦= 3\n𝑥= -6\nZatem 𝐷= (-6, 3).\nPunkt ten leży na odcinku 𝐵𝐶, gdyż 𝑥𝐵= 6 > 𝑥𝐷= -6 > -9 = 𝑥𝐶.\nUwaga:\nRównanie symetralnej można również wyznaczyć korzystając z tego, że symetralna odcinka\njest zbiorem punktów równo oddalonych od końców odcinka.\nNiech punkt 𝑃= (𝑥, 𝑦) będzie punktem leżącym na symetralnej boku 𝐴𝐵. Wtedy\n|𝐴𝑃| = |𝑃𝐵|.\nZatem\n√(𝑥-22\n5 )\n2\n+ (𝑦+ 21\n5 )\n2\n= √(𝑥-6)2 + (𝑦-7)2\n𝑥2 -44\n5 𝑥+ 484\n25 + 𝑦2 + 42\n5 𝑦+ 441\n25 = 𝑥2 -12𝑥+ 36 + 𝑦2 -14𝑦+ 49\n42\n5 𝑦+ 14𝑦= 44\n5 𝑥-12𝑥+ 36 + 49 -37\n112\n5 𝑦= -16\n5 𝑥+ 48\n𝑦= -1\n7 𝑥+ 15\n7\nSposób II\nWyznaczamy równanie kierunkowe prostej 𝐵𝐶: 𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑏, rozwiązując układ równań\n{ 7 = 𝑎⋅6 + 𝑏\n2 = 𝑎⋅(-9) + 𝑏\nOtrzymujemy\n{ 7 -6𝑎= 𝑏\n2 + 9𝑎= 𝑏\n{ 7 -6𝑎= 𝑏\n2 + 9𝑎= 7 -6𝑎\n{ 7 -6𝑎= 𝑏\n15𝑎= 5\n{\n7 -6𝑎= 𝑏\n𝑎= 1\n3\n{\n5 = 𝑏\n𝑎= 1\n3\nZatem prosta 𝐵𝐶 ma równanie 𝑦= 1\n3 𝑥+ 5.\nObliczamy współrzędne 𝑥𝑆 oraz 𝑦𝑆 środka 𝑆 odcinka 𝐴𝐵:\n𝑥𝑆= 𝑥𝐴+ 𝑥𝐵\n2\n22\n5 + 6\n2\n52\n5\n2 = 26\n5\n𝑦𝑆= 𝑦𝐴+ 𝑦𝐵\n2\n-21\n5 + 7\n2\n14\n5\n2 = 7\n5\nZatem 𝑆= (26\n5 , 7\n5).\nWyznaczamy równanie symetralnej odcinka 𝐴𝐵.\nPonieważ symetralna 𝑆𝐷 jest prostopadła do prostej 𝐴𝐵, więc trójkąt 𝐵𝑆𝐷 jest trójkątem\nprostokątnym, w którym wierzchołkiem kąta prostego jest punkt 𝑆.\nPunkt 𝐷 przecięcia symetralnej boku 𝐴𝐵 i boku 𝐵𝐶, należy do prostej 𝐵𝐶, więc\n𝐷= (𝑥, 1\n3 𝑥+ 5).\nKorzystamy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝐵𝑆𝐷 i obliczamy współrzędne punktu 𝐷:\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n|𝑆𝐷|2 + |𝑆𝐵|2 = |𝐵𝐷|2\n(𝑥-26\n5 )\n2\n+ (1\n3 𝑥+ 5 -7\n5)\n2\n+ (6 -26\n5 )\n2\n+ (7 -7\n5)\n2\n= (𝑥-6)2 + (1\n3 𝑥+ 5 -7)\n2\n(𝑥-26\n5 )\n2\n+ (1\n3 𝑥+ 18\n5 )\n2\n+ (4\n5)\n2\n+ (28\n5 )\n2\n= (𝑥-6)2 + (1\n3𝑥-2)\n2\n𝑥2 -52\n5 𝑥+ 676\n25 + 1\n9 𝑥2 + 36\n15 𝑥+ 324\n25 + 32 = 𝑥2 -12𝑥+ 36 + 1\n9 𝑥2 -4\n3 𝑥+ 4\n-52\n5 𝑥+ 36\n15 𝑥= -12𝑥-32 -4\n3 𝑥\n16\n3 𝑥= -32\n𝑥= -6\nZatem 1\n3 𝑥+ 5 = 1\n3 ⋅(-6) + 5 = 3, czyli 𝐷= (-6, 3).\nPunkt ten leży na odcinku 𝐵𝐶, gdyż 𝑥𝐵= 6 > 𝑥𝐷= -6 > -9 = 𝑥𝐶.\nOcena prac osób ze stwierdzoną dyskalkulią\nObowiązują Zasady oceniania stosowane przy sprawdzaniu prac zdających bez\nstwierdzonej dyskalkulii z dodatkowym uwzględnieniem:\na) ogólnych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną\ndyskalkulią (punkty 1.-12.);\nb) dodatkowych szczegółowych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy\nosób ze stwierdzoną dyskalkulią - egzamin maturalny z matematyki, poziom podstawowy,\ntermin poprawkowy 2023.\nI. Ogólne zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną\ndyskalkulią\n1. Nie należy traktować jako błędy merytoryczne pomyłek, wynikających z:\nbłędnego przepisania\nprzestawienia cyfr\nzapisania innej cyfry, ale o podobnym wyglądzie\nprzestawienia położenia przecinka.\n2. W przypadku błędów, wynikających ze zmiany znaku liczby, należy w każdym zadaniu\noddzielnie przeanalizować, czy zdający opanował inne umiejętności, poza\numiejętnościami rachunkowymi, oceniane w zadaniu. W przypadku opanowania\nbadanych umiejętności zdający powinien otrzymać przynajmniej 1 punkt.\n3. We wszystkich zadaniach otwartych, w których wskazano poprawną metodę rozwiązania,\nczęści lub całości zadania, zdającemu należy przyznać przynajmniej 1 punkt, zgodnie\nz kryteriami do poszczególnych zadań.\n4. Jeśli zdający przedstawia nieprecyzyjne zapisy, na przykład pomija nawiasy lub zapisuje\nnawiasy w niewłaściwych miejscach, ale przeprowadza poprawne rozumowanie lub\nstosuje właściwą strategię, to może otrzymać przynajmniej 1 punkt za rozwiązanie\nzadania.\n5. W przypadku zadania wymagającego wyznaczenia pierwiastków trójmianu\nkwadratowego zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi poprawną metodę\nwyznaczania pierwiastków trójmianu kwadratowego, przy podanych w treści zadania\nwartościach liczbowych.","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 5. (0-1)<br>Wartość wyrażenia (2 -√3)<br>2 -(√3 -2)<br>2 jest równa<br>A. (-2√3)<br>B. 0<br>C. 6<br>D. 8√3</p>","answer_text_html":"<ol><li>Jeżeli zdający poda zbiór rozwiązań w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi</li></ol>\n<p>końcami przedziałów oraz zapisze: 𝑥∈⟨-4, 1⟩, to otrzymuje 1 punkt za całe<br>rozwiązanie.<br>Kryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki<br>Jeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań nierówności<br>w postaci (1, -4), to otrzymuje 2 punkty.<br>Przykładowe pełne rozwiązanie<br>Zapisujemy nierówność w postaci -𝑥2 -3𝑥+ 4 &gt; 0 i obliczamy pierwiastki trójmianu<br>-𝑥2 -3𝑥+ 4.<br>Obliczamy wyróżnik trójmianu: Δ = 25<br>i obliczamy jego pierwiastki: 𝑥1 = -4 oraz 𝑥2 = 1<br>ALBO<br>podajemy pierwiastki trójmianu bezpośrednio, zapisując je lub zaznaczając je na wykresie:<br>𝑥1 = -4 oraz 𝑥2 = 1.<br>Podajemy zbiór rozwiązań nierówności: (-4, 1) lub 𝑥∈(-4, 1), lub zaznaczamy zbiór<br>rozwiązań na osi liczbowej:<br>-4<br>𝑥<br>1<br>Zasady oceniania<br>2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑥= -4.<br>1 pkt - zastosowanie własności/definicji ciągu arytmetycznego i zapisanie równania<br>3𝑥2+5𝑥+20-𝑥2<br>2<br>= 𝑥2 lub 𝑥2 -(3𝑥2 + 5𝑥) = (20 -𝑥2) -𝑥2.<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający myli ciąg arytmetyczny z geometrycznym, to otrzymuje 0 punktów za całe</li></ol>\n<p>rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający zapisze równanie 𝑥2 -3𝑥2 + 5𝑥= (20 -𝑥2) -𝑥2 (tj. nie uwzględnia</li></ol>\n<p>istotnego nawiasu) i rozwiąże je konsekwentnie do końca, to otrzymuje 1 punkt za całe<br>rozwiązanie.<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób I<br>Z własności ciągu arytmetycznego otrzymujemy<br>3𝑥2 + 5𝑥+ 20 -𝑥2<br>2<br>= 𝑥2<br>2𝑥2 + 5𝑥+ 20 = 2𝑥2<br>𝑥= -4<br>Sposób II<br>Z definicji/własności ciągu arytmetycznego otrzymujemy<br>𝑥2 -(3𝑥2 + 5𝑥) = (20 -𝑥2) -𝑥2<br>Stąd<br>-2𝑥2 -5𝑥= 20 -2𝑥2<br>𝑥= -4<br>Zasady oceniania<br>2 pkt - przeprowadzenie pełnego rozumowania, tj. przekształcenie nierówności<br>𝑥2 + 3𝑥𝑦-10𝑦2 &gt; 0 do postaci (𝑥-2𝑦)(𝑥+ 5𝑦) &gt; 0 oraz powołanie się na<br>założenie i stwierdzenie, że: czynniki 𝑥+ 5𝑦 oraz 𝑥-2𝑦 są liczbami dodatnimi<br>oraz iloczyn liczb dodatnich jest liczbą dodatnią (dla sposobu I)<br>ALBO</p>\n<ul><li>przeprowadzenie pełnego rozumowania, tj. wykorzystanie założenia 𝑥&gt; 2𝑦&gt; 0</li></ul>\n<p>i wywnioskowanie stąd nierówności 𝑥2 -4𝑦2 &gt; 0 oraz 3𝑥𝑦-6𝑦2 &gt; 0 (lub<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>𝑥2 &gt; 4𝑦2 oraz 3𝑥𝑦&gt; 6𝑦2), a następnie wywnioskowanie nierówności<br>𝑥2 + 3𝑥𝑦-10𝑦2 &gt; 0.<br>1 pkt - przekształcenie nierówności 𝑥2 + 3𝑥𝑦-10𝑦2 &gt; 0 do postaci<br>(𝑥-2𝑦)(𝑥+ 5𝑦) &gt; 0<br>ALBO</p>\n<ul><li>wykorzystanie założenia 𝑥&gt; 2𝑦&gt; 0 i wywnioskowanie stąd nierówności</li></ul>\n<p>𝑥2 -4𝑦2 &gt; 0 oraz 3𝑥𝑦-6𝑦2 &gt; 0 (lub: 𝑥2 &gt; 4𝑦2 oraz 3𝑥𝑦&gt; 6𝑦2).<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Uwaga:<br>Jeśli zdający sprawdza prawdziwość nierówności tylko dla wybranych wartości 𝑥 i 𝑦, to<br>otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób I<br>Przekształcamy nierówność 𝑥2 + 3𝑥𝑦-10𝑦2 &gt; 0 w sposób równoważny:<br>𝑥2 + 5𝑥𝑦-2𝑥𝑦-10𝑦2 &gt; 0<br>𝑥(𝑥+ 5𝑦) -2𝑦(𝑥+ 5𝑦) &gt; 0<br>(𝑥-2𝑦)(𝑥+ 5𝑦) &gt; 0<br>Z założenia 𝑥 oraz 𝑦 są dodatnie, więc 𝑥+ 5𝑦&gt; 0. Z założenia 𝑥&gt; 2𝑦, więc<br>𝑥-2𝑦&gt; 0. Stąd (𝑥-2𝑦)(𝑥+ 5𝑦) &gt; 0.<br>To należało wykazać.<br>Sposób II<br>Ponieważ z założenia liczby 𝑥 oraz 𝑦 są dodatnie i 𝑥&gt; 2𝑦, więc 𝑥2 &gt; 4𝑦2 , czyli<br>𝑥2 -4𝑦2 &gt; 0<br>Mnożąc obie strony nierówności 𝑥&gt; 2𝑦 przez liczbę dodatnią 3𝑦 otrzymujemy<br>3𝑥𝑦&gt; 6𝑦2, czyli<br>3𝑥𝑦-6𝑦2 &gt; 0<br>Zatem 𝑥2 -4𝑦2 + 3𝑥𝑦-6𝑦2 jest liczbą dodatnią (jako suma liczb dodatnich 𝑥2 -4𝑦2<br>oraz 3𝑥𝑦-6𝑦2). Oznacza to, że dla każdego 𝑥 oraz 𝑦 takich, że 𝑥&gt; 2𝑦, spełniona jest<br>nierówność 𝑥2 + 3𝑥𝑦-10𝑦2 &gt; 0.<br>Zasady oceniania<br>2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 16√3.<br>1 pkt - obliczenie/podanie długości odcinka 𝐴𝐸 (lub 𝐵𝐹): |𝐴𝐸| = 2<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie wysokości trapezu: 2√3,</li></ul>\n<p>ALBO</p>\n<ul><li>podzielenie trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷 na równoległobok bokach 6 i 4 oraz trójkąt</li></ul>\n<p>równoboczny i zapisanie pola 𝑃 trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jako sumy pól tego równoległoboku<br>i tego trójkąta, np. 𝑃= 𝑃𝐴𝐺𝐶𝐷+ 𝑃𝐺𝐵𝐶 .<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Uwaga:<br>Jeżeli zdający, obliczając wysokość trapezu albo długość odcinka 𝐴𝐸 (lub 𝐵𝐹), stosuje<br>błędnie funkcje trygonometryczne lub związki miarowe trójkąta o kątach 30°, 60° i 90°, to<br>otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób I<br>Niech 𝐷𝐸 oraz 𝐶𝐹 będą wysokościami trapezu opuszczonymi na podstawę 𝐴𝐵.<br>Stosując definicje funkcji trygonometrycznych dla kąta 𝐵𝐴𝐷 w trójkącie prostokątnym 𝐹𝐴𝐷<br>(lub korzystając ze związków miarowych dla trójkąta o kątach 30°, 60° i 90°), otrzymujemy<br>|𝐴𝐸|<br>|𝐴𝐷| = 𝑐𝑜𝑠60°, więc |𝐴𝐸| = |𝐴𝐷| ⋅𝑐𝑜𝑠60° = 4 ⋅1<br>2 = 2<br>oraz<br>|𝐷𝐸|<br>|𝐴𝐷| = 𝑠𝑖𝑛60°, więc |𝐷𝐸| = |𝐴𝐷| ⋅𝑠𝑖𝑛60° = 4 ⋅<br>√3<br>2 = 2√3.<br>Ponieważ trapez jest równoramienny, więc |𝐴𝐸| = |𝐹𝐵|. Zatem<br>|𝐴𝐵| = |𝐶𝐷| + 2 ⋅|𝐴𝐸| = 10.<br>Obliczamy pole 𝑃 trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷:<br>𝑃= |𝐴𝐵| + |𝐶𝐷|<br>2<br>⋅|𝐷𝐸| = 10 + 6<br>2<br>⋅2√3 = 16√3<br>𝐸<br>𝐹<br>𝐶<br>𝐷<br>60°<br>6<br>4<br>𝐵<br>𝐴<br>60°<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Sposób II<br>Prowadzimy odcinek 𝐶𝐺 równoległy do ramienia 𝐴𝐷 tak, żeby koniec 𝐺 tego odcinka<br>leżał na podstawie 𝐴𝐵 trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷.<br>Odcinek 𝐶𝐺 dzieli trapez 𝐴𝐵𝐶𝐷 na równoległobok 𝐴𝐺𝐶𝐷 i trójkąt równoboczny 𝐺𝐵𝐶.<br>Zatem pole 𝑃 trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równe<br>𝑃= 𝑃𝐴𝐺𝐶𝐷+ 𝑃𝐺𝐵𝐶= 4 ⋅6 ⋅𝑠𝑖𝑛60° + 42√3<br>4<br>= 24 ⋅√3<br>2 + 4√3 = 16√3<br>Zasady oceniania<br>2 pkt - zastosowanie poprawnej metody rozwiązania równania wymiernego i poprawny<br>wynik: 1<br>4 oraz 2.<br>1 pkt - poprawne przekształcenie równania<br>2𝑥-3<br>3𝑥-2 =<br>1<br>2𝑥 do równania kwadratowego, np.<br>(2𝑥-3) ⋅2𝑥= 3𝑥-2.<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający nie zapisze zastrzeżeń: 𝑥≠2</li></ol>\n<p>3, 𝑥≠0, to może otrzymać 2 punkty.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe przy przekształcaniu równania, otrzyma</li></ol>\n<p>równanie kwadratowe, które ma dwa rozwiązania i konsekwentnie je rozwiąże do końca,<br>to może otrzymać 1 punkt za całe rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający, przekształcając równanie wymierne do równania kwadratowego,</li></ol>\n<p>zastosuje błędną metodę i zapisze np. (2𝑥-3) ⋅2𝑥= 2𝑥⋅(3𝑥-2), to otrzymuje<br>0 punktów za całe rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający odgadnie jedno z rozwiązań równania, to otrzymuje 0 punktów; jeżeli</li></ol>\n<p>odgadnie dwa rozwiązania równania i nie uzasadni, że są to jedyne rozwiązania, to<br>otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający poprawnie przekształci równanie do równania kwadratowego, uzyska</li></ol>\n<p>poprawne wartości pierwiastków, lecz traktuje równanie jako nierówność (rysuje parabolę<br>i podaje przedziały jako rozwiązanie), to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.<br>Podobnie, jeżeli zdający poprawnie przekształci równanie do równania kwadratowego,<br>uzyska poprawne wartości pierwiastków, lecz poda odpowiedź w postaci przedziału/sumy<br>przedziałów o końcach 1<br>4 i 2, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.<br>𝐺<br>𝐶<br>𝐷<br>60°<br>6<br>4<br>𝐵<br>𝐴<br>60°<br>Przykładowe pełne rozwiązanie<br>Równanie ma sens liczbowy dla 𝑥≠2<br>3 i 𝑥≠0.<br>Przekształcamy równanie:<br>2𝑥-3<br>3𝑥-2 = 1<br>2𝑥<br>(2𝑥-3) ⋅2𝑥= (3𝑥-2) ⋅1<br>4𝑥2 -6𝑥= 3𝑥-2<br>4𝑥2 -9𝑥+ 2 = 0<br>Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe.<br>Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego 4𝑥2 -9𝑥+ 2: Δ = (-9)2 -4 ⋅4 ⋅2 = 49 i<br>stąd 𝑥1 = 1<br>4 oraz 𝑥2 = 16<br>8 = 2.<br>Otrzymane pierwiastki są różne od liczby 2<br>3 oraz od liczby 0, więc są rozwiązaniami danego<br>równania.<br>Zasady oceniania<br>2 pkt - zastosowanie poprawnej metody obliczenia prawdopodobieństwa zdarzenia 𝐴<br>i uzyskanie poprawnego wyniku: 𝑃(𝐴) = 6<br>20 = 3<br>10 .<br>1 pkt - wypisanie wszystkich zdarzeń elementarnych lub obliczenie/podanie liczby tych<br>zdarzeń: |Ω| = 5 ⋅4,<br>ALBO</p>\n<ul><li>sporządzenie tabeli 5x5 i wypełnienie/zaznaczenie pól odpowiadających zdarzeniom</li></ul>\n<p>elementarnym (lub wykreślenie pól na głównej przekątnej),<br>ALBO</p>\n<ul><li>sporządzenie pełnego drzewa stochastycznego,</li></ul>\n<p>ALBO</p>\n<ul><li>wypisanie (zaznaczenie w tabeli) wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających</li></ul>\n<p>zdarzeniu 𝐴 i niewypisanie żadnego niewłaściwego:<br>(1, 3), (1, 5), (3, 1), (3, 5), (5, 1), (5, 3),<br>ALBO</p>\n<ul><li>podanie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴:</li></ul>\n<p>|𝐴| = 6, jeśli nie została otrzymana w wyniku zastosowania błędnej metody,<br>ALBO</p>\n<ul><li>sporządzenie fragmentu drzewa stochastycznego, które zawiera wszystkie gałęzie</li></ul>\n<p>sprzyjające zdarzeniu 𝐴 oraz zapisanie prawdopodobieństwa na co najmniej jednym<br>odcinku każdego z etapów doświadczenia,<br>ALBO</p>\n<ul><li>podanie prawdopodobieństwa jednoelementowego zdarzenia (elementarnego): 1</li></ul>\n<p>20 ,<br>ALBO<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>\n<ul><li>zapisanie tylko 𝑃(𝐴) = 6</li></ul>\n<p>20 .<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający zapisuje tylko liczbę 6 lub 20 i z rozwiązania nie wynika znaczenie tych</li></ol>\n<p>liczb, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający przedstawia dwa sprzeczne ze sobą zapisy i z rozwiązania nie wynika</li></ol>\n<p>jednoznacznie, który z nich zdający uznaje za poprawny, to za te zapisy zdający nie<br>otrzymuje punktów.<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób I<br>Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie uporządkowane pary liczb (𝑎, 𝑏), gdzie<br>𝑎, 𝑏∈{1, 2, 3, 4, 5} i 𝑎≠𝑏.<br>Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa |Ω| = 5 ⋅4 = 20.<br>Zdarzeniu 𝐴 sprzyjają następujące zdarzenia elementarne:<br>(1, 3), (1, 5), (3, 1), (3, 5), (5, 1), (5, 3),<br>więc |𝐴| = 6.<br>Prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe: 𝑃(𝐴) = |𝐴|<br>|Ω| = 6<br>20 = 3<br>10 .<br>Sposób II (drzewo stochastyczne)<br>Rysujemy fragment drzewa stochastycznego rozważanego doświadczenia z uwzględnieniem<br>wszystkich istotnych gałęzi.<br>1<br>5<br>1<br>5<br>1<br>5<br>3<br>5<br>1<br>5<br>1<br>3<br>1<br>3<br>5<br>1<br>4<br>1<br>4<br>1<br>4<br>1<br>4<br>1<br>4<br>1<br>4<br>Prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe<br>𝑃(𝐴) = 1<br>5 ∙1<br>4 + 1<br>5 ∙1<br>4 + 1<br>5 ∙1<br>4 + 1<br>5 ∙1<br>4 + 1<br>5 ∙1<br>4 + 1<br>5 ∙1<br>4 = 6<br>20 = 3<br>10<br>Sposób IIa (drzewo stochastyczne uproszczone)<br>Rozpatrujemy dwuetapowe doświadczenie losowe. Niech 𝑛 odpowiada zdarzeniu<br>wylosowania liczby nieparzystej, natomiast 𝑝 - zdarzeniu wylosowania liczby parzystej.<br>Rysujemy drzewo z uwzględnieniem wszystkich istotnych gałęzi.<br>Prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe<br>𝑃(𝐴) = 3<br>5 ∙2<br>4 = 6<br>20 = 3<br>10<br>3<br>5<br>2<br>5<br>𝑛<br>𝑝<br>𝑛<br>𝑝<br>2<br>4<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Zasady oceniania<br>5 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝐷= (-6, 3).<br>4 pkt - wyznaczenie równania prostej 𝐵𝐶 i wyznaczenie równania symetralnej odcinka 𝐴𝐵:<br>𝑦= 1<br>3 𝑥+ 5 i 𝑦= -1<br>7 𝑥+ 15<br>7<br>ALBO</p>\n<ul><li>zastosowanie twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝐵𝑆𝐷 i zapisanie równania z jedną</li></ul>\n<p>niewiadomą (pierwszą lub drugą współrzędną punktu 𝐷), np.<br>(𝑥-26<br>5 )<br>2</p>\n<ul><li>(1</li></ul>\n<p>3 𝑥+ 18<br>5 )<br>2</p>\n<ul><li>(4</li></ul>\n<p>5)<br>2</p>\n<ul><li>(28</li></ul>\n<p>5 )<br>2<br>= (𝑥-6)2 + (1<br>3 𝑥-2)<br>2<br>3 pkt - wyznaczenie równania symetralnej odcinka 𝐴𝐵: 𝑦= -1<br>7 𝑥+ 15<br>7<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie współczynnika kierunkowego 𝑎2 prostej prostopadłej do 𝐴𝐵: 𝑎2 = -1</li></ul>\n<p>7<br>i wyznaczenie równania prostej 𝐵𝐶: 𝑦= 1<br>3 𝑥+ 5,<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie długości odcinka 𝑆𝐵 i zapisanie współrzędnych punktu 𝐷 za pomocą</li></ul>\n<p>pierwszej/drugiej współrzędnej punktu 𝐷: |𝑆𝐵| = √32 i 𝐷= (𝑥, 1<br>3 𝑥+ 5)<br>(lub 𝐷= (3𝑦-5, 𝑦) ).<br>2 pkt - spełnienie dwóch spośród trzech warunków wymienionych w kryteriach oceniania za<br>1 punkt<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie współczynnika kierunkowego 𝑎2 prostej prostopadłej do odcinka 𝐴𝐵:</li></ul>\n<p>𝑎2 = -1<br>7 .<br>1 pkt - wyznaczenie równania prostej 𝐵𝐶: 𝑦= 1<br>3 𝑥+ 5<br>ALBO</p>\n<ul><li>wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej 𝐴𝐵: 7,</li></ul>\n<p>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie współrzędnych środka 𝑆 odcinka 𝐴𝐵: 𝑆= (26</li></ul>\n<p>5 , 7<br>5).<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający zamiast symetralnej boku 𝐴𝐵 rozpatruje symetralną boku 𝐵𝐶 (lub 𝐶𝐴)</li></ol>\n<p>i poprawnie realizuje strategię obliczenia współrzędnych punktu przecięcia symetralnej<br>boku 𝐵𝐶 (lub 𝐶𝐴) z bokiem 𝐶𝐴 (lub 𝐵𝐶) oraz (konsekwentnie do popełnionego błędu)<br>rozwiązuje zadanie do końca, to otrzymuje 3 punkty za całe rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeżeli jedynym błędem zdającego jest:</li></ol>\n<p>a) błędne zastosowanie twierdzenia Pitagorasa,<br>b) zastosowanie niepoprawnej tożsamości √𝑥2 + 𝑦2 = 𝑥+ 𝑦,<br>c) błędne zastosowanie wzoru na współrzędne środka odcinka,<br>d) błędne zastosowanie warunku prostopadłości prostych,<br>e) błędne zastosowanie wzoru na odległość między dwoma punktami,<br>i rozwiązanie zostanie doprowadzone konsekwentnie do końca, to zdający otrzymuje<br>3 punkty za całe rozwiązanie (o ile nie nabył prawa do 4 punktów).<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób I<br>Wyznaczamy równanie kierunkowe prostej 𝐵𝐶: 𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑏, rozwiązując układ równań<br>{ 7 = 𝑎⋅6 + 𝑏<br>2 = 𝑎⋅(-9) + 𝑏<br>Otrzymujemy<br>{ 7 -6𝑎= 𝑏<br>2 + 9𝑎= 𝑏<br>{ 7 -6𝑎= 𝑏<br>2 + 9𝑎= 7 -6𝑎<br>{ 7 -6𝑎= 𝑏<br>15𝑎= 5<br>{<br>7 -6𝑎= 𝑏<br>𝑎= 1<br>3<br>{<br>5 = 𝑏<br>𝑎= 1<br>3<br>Zatem prosta 𝐵𝐶 ma równanie 𝑦= 1<br>3 𝑥+ 5.<br>Obliczamy współrzędne 𝑥𝑆 oraz 𝑦𝑆 środka 𝑆 odcinka 𝐴𝐵:<br>𝑥𝑆= 𝑥𝐴+ 𝑥𝐵<br>2<br>22<br>5 + 6<br>2<br>52<br>5<br>2 = 26<br>5<br>𝑦𝑆= 𝑦𝐴+ 𝑦𝐵<br>2<br>-21<br>5 + 7<br>2<br>14<br>5<br>2 = 7<br>5<br>Zatem 𝑆= (26<br>5 , 7<br>5).<br>Obliczamy współczynnik kierunkowy 𝑎𝐴𝐵 prostej 𝐴𝐵:<br>𝑎𝐴𝐵= 𝑦𝐵-𝑦𝐴<br>𝑥𝐵-𝑥𝐴<br>7 -(-21<br>5 )<br>6 -22<br>5<br>56<br>5<br>8<br>5<br>= 7<br>Wyznaczamy równanie symetralnej boku 𝐴𝐵: 𝑦= 𝑎2𝑥+ 𝑏2 .<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Obliczamy współczynnik kierunkowy 𝑎2 symetralnej: 𝑎2 ⋅𝑎𝐴𝐵= -1. Stąd 𝑎2 = -1<br>7 .<br>Symetralna boku 𝐴𝐵 przechodzi przez punkt 𝑆, więc 7<br>5 = -1<br>7 ⋅26<br>5 + 𝑏2 . Stąd 𝑏2 = 15<br>7<br>i symetralna ma równanie 𝑦= -1<br>7 𝑥+ 15<br>7 .<br>Punkt 𝐷 jest punktem przecięcia prostej 𝐵𝐶 i symetralnej boku 𝐴𝐵.<br>Obliczamy współrzędne punktu 𝐷, rozwiązując układ równań:<br>{<br>𝑦= -1<br>7 𝑥+ 15<br>7<br>𝑦= 1<br>3 𝑥+ 5<br>Otrzymujemy<br>{<br>𝑦= -1<br>7 𝑥+ 15<br>7<br>1<br>3 𝑥+ 5 = -1<br>7 𝑥+ 15<br>7<br>{ 𝑦= -1<br>7 𝑥+ 15<br>7<br>7𝑥+ 105 = -3𝑥+ 45<br>{ 𝑦= -1<br>7 𝑥+ 15<br>7<br>10𝑥= -60<br>{ 𝑦= -1<br>7 𝑥+ 15<br>7<br>𝑥= -6<br>{ 𝑦= 3<br>𝑥= -6<br>Zatem 𝐷= (-6, 3).<br>Punkt ten leży na odcinku 𝐵𝐶, gdyż 𝑥𝐵= 6 &gt; 𝑥𝐷= -6 &gt; -9 = 𝑥𝐶.<br>Uwaga:<br>Równanie symetralnej można również wyznaczyć korzystając z tego, że symetralna odcinka<br>jest zbiorem punktów równo oddalonych od końców odcinka.<br>Niech punkt 𝑃= (𝑥, 𝑦) będzie punktem leżącym na symetralnej boku 𝐴𝐵. Wtedy<br>|𝐴𝑃| = |𝑃𝐵|.<br>Zatem<br>√(𝑥-22<br>5 )<br>2</p>\n<ul><li>(𝑦+ 21</li></ul>\n<p>5 )<br>2<br>= √(𝑥-6)2 + (𝑦-7)2<br>𝑥2 -44<br>5 𝑥+ 484<br>25 + 𝑦2 + 42<br>5 𝑦+ 441<br>25 = 𝑥2 -12𝑥+ 36 + 𝑦2 -14𝑦+ 49<br>42<br>5 𝑦+ 14𝑦= 44<br>5 𝑥-12𝑥+ 36 + 49 -37<br>112<br>5 𝑦= -16<br>5 𝑥+ 48<br>𝑦= -1<br>7 𝑥+ 15<br>7<br>Sposób II<br>Wyznaczamy równanie kierunkowe prostej 𝐵𝐶: 𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑏, rozwiązując układ równań<br>{ 7 = 𝑎⋅6 + 𝑏<br>2 = 𝑎⋅(-9) + 𝑏<br>Otrzymujemy<br>{ 7 -6𝑎= 𝑏<br>2 + 9𝑎= 𝑏<br>{ 7 -6𝑎= 𝑏<br>2 + 9𝑎= 7 -6𝑎<br>{ 7 -6𝑎= 𝑏<br>15𝑎= 5<br>{<br>7 -6𝑎= 𝑏<br>𝑎= 1<br>3<br>{<br>5 = 𝑏<br>𝑎= 1<br>3<br>Zatem prosta 𝐵𝐶 ma równanie 𝑦= 1<br>3 𝑥+ 5.<br>Obliczamy współrzędne 𝑥𝑆 oraz 𝑦𝑆 środka 𝑆 odcinka 𝐴𝐵:<br>𝑥𝑆= 𝑥𝐴+ 𝑥𝐵<br>2<br>22<br>5 + 6<br>2<br>52<br>5<br>2 = 26<br>5<br>𝑦𝑆= 𝑦𝐴+ 𝑦𝐵<br>2<br>-21<br>5 + 7<br>2<br>14<br>5<br>2 = 7<br>5<br>Zatem 𝑆= (26<br>5 , 7<br>5).<br>Wyznaczamy równanie symetralnej odcinka 𝐴𝐵.<br>Ponieważ symetralna 𝑆𝐷 jest prostopadła do prostej 𝐴𝐵, więc trójkąt 𝐵𝑆𝐷 jest trójkątem<br>prostokątnym, w którym wierzchołkiem kąta prostego jest punkt 𝑆.<br>Punkt 𝐷 przecięcia symetralnej boku 𝐴𝐵 i boku 𝐵𝐶, należy do prostej 𝐵𝐶, więc<br>𝐷= (𝑥, 1<br>3 𝑥+ 5).<br>Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝐵𝑆𝐷 i obliczamy współrzędne punktu 𝐷:<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>|𝑆𝐷|2 + |𝑆𝐵|2 = |𝐵𝐷|2<br>(𝑥-26<br>5 )<br>2</p>\n<ul><li>(1</li></ul>\n<p>3 𝑥+ 5 -7<br>5)<br>2</p>\n<ul><li>(6 -26</li></ul>\n<p>5 )<br>2</p>\n<ul><li>(7 -7</li></ul>\n<p>5)<br>2<br>= (𝑥-6)2 + (1<br>3 𝑥+ 5 -7)<br>2<br>(𝑥-26<br>5 )<br>2</p>\n<ul><li>(1</li></ul>\n<p>3 𝑥+ 18<br>5 )<br>2</p>\n<ul><li>(4</li></ul>\n<p>5)<br>2</p>\n<ul><li>(28</li></ul>\n<p>5 )<br>2<br>= (𝑥-6)2 + (1<br>3𝑥-2)<br>2<br>𝑥2 -52<br>5 𝑥+ 676<br>25 + 1<br>9 𝑥2 + 36<br>15 𝑥+ 324<br>25 + 32 = 𝑥2 -12𝑥+ 36 + 1<br>9 𝑥2 -4<br>3 𝑥+ 4<br>-52<br>5 𝑥+ 36<br>15 𝑥= -12𝑥-32 -4<br>3 𝑥<br>16<br>3 𝑥= -32<br>𝑥= -6<br>Zatem 1<br>3 𝑥+ 5 = 1<br>3 ⋅(-6) + 5 = 3, czyli 𝐷= (-6, 3).<br>Punkt ten leży na odcinku 𝐵𝐶, gdyż 𝑥𝐵= 6 &gt; 𝑥𝐷= -6 &gt; -9 = 𝑥𝐶.<br>Ocena prac osób ze stwierdzoną dyskalkulią<br>Obowiązują Zasady oceniania stosowane przy sprawdzaniu prac zdających bez<br>stwierdzonej dyskalkulii z dodatkowym uwzględnieniem:<br>a) ogólnych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną<br>dyskalkulią (punkty 1.-12.);<br>b) dodatkowych szczegółowych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy<br>osób ze stwierdzoną dyskalkulią - egzamin maturalny z matematyki, poziom podstawowy,<br>termin poprawkowy 2023.<br>I. Ogólne zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną<br>dyskalkulią</p>\n<ol><li>Nie należy traktować jako błędy merytoryczne pomyłek, wynikających z:</li></ol>\n<p>błędnego przepisania<br>przestawienia cyfr<br>zapisania innej cyfry, ale o podobnym wyglądzie<br>przestawienia położenia przecinka.</p>\n<ol><li>W przypadku błędów, wynikających ze zmiany znaku liczby, należy w każdym zadaniu</li></ol>\n<p>oddzielnie przeanalizować, czy zdający opanował inne umiejętności, poza<br>umiejętnościami rachunkowymi, oceniane w zadaniu. W przypadku opanowania<br>badanych umiejętności zdający powinien otrzymać przynajmniej 1 punkt.</p>\n<ol><li>We wszystkich zadaniach otwartych, w których wskazano poprawną metodę rozwiązania,</li></ol>\n<p>części lub całości zadania, zdającemu należy przyznać przynajmniej 1 punkt, zgodnie<br>z kryteriami do poszczególnych zadań.</p>\n<ol><li>Jeśli zdający przedstawia nieprecyzyjne zapisy, na przykład pomija nawiasy lub zapisuje</li></ol>\n<p>nawiasy w niewłaściwych miejscach, ale przeprowadza poprawne rozumowanie lub<br>stosuje właściwą strategię, to może otrzymać przynajmniej 1 punkt za rozwiązanie<br>zadania.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania wymagającego wyznaczenia pierwiastków trójmianu</li></ol>\n<p>kwadratowego zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi poprawną metodę<br>wyznaczania pierwiastków trójmianu kwadratowego, przy podanych w treści zadania<br>wartościach liczbowych.</p>","solutions":[]}