{"id":"matematyka-2024-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad/19","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy","number":"19","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2024,"month":"czerwiec","level":null,"text":"Zadanie 19. (0-3)\nDany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny, w którym zielone ściany są kwadratami.\nSuma długości jego krawędzi zaznaczonych pogrubioną linią na rysunku 1. jest równa 27 cm.\nSuma długości jego krawędzi zaznaczonych pogrubioną linią na rysunku 2. jest równa 30 cm.\nOblicz objętość tego graniastosłupa. Zapisz obliczenia.\nRysunek 1.\nRysunek 2.\nOMAP-100-2406\nBrudnopis (nie podlega ocenie)\nMATEMATYKA\nEgzamin ósmoklasisty\nMATEMATYKA\nEgzamin ósmoklasisty\nMATEMATYKA\nEgzamin ósmoklasisty","answer":"63 cm^3","answer_text":"Zadanie 19. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n3. Stosowanie strategii wynikającej z treści\nzadania, tworzenie strategii rozwiązania\nproblemu, również w rozwiązaniach\nwieloetapowych oraz w takich, które\nwymagają umiejętności łączenia wiedzy\nz różnych działów matematyki.\nXIX. Geometria przestrzenna. Uczeń:\n5) oblicza objętości […] graniastosłupów\nprostych i prawidłowych.\nZasady oceniania\n3 punkty - pełne rozwiązanie\npoprawny sposób obliczenia objętości graniastosłupa, prawidłowe obliczenia oraz\nprawidłowy wynik liczbowy zgodny z zastosowaną jednostką objętości (63 cm3).\n2 punkty\n• poprawny sposób obliczenia długości krawędzi podstawy oraz długości krawędzi bocznej\ngraniastosłupa oraz poprawny sposób obliczenia objętości graniastosłupa (zgodnie\nz przyjętymi oznaczeniami lub otrzymanymi wartościami liczbowymi), np. zapisanie:\n𝑎= 30 -27 oraz 𝑏 = (27 -2 · (30 -27)) ∶3 oraz 𝑉= 𝑎2 · 𝑏\nlub zapisy równoważne\nLUB\n• ustalenie (np. zapisanie na rysunku) prawidłowych długości krawędzi podstawy oraz\ndługości krawędzi bocznej graniastosłupa (3 cm i 7 cm) oraz poprawny sposób\nobliczenia objętości graniastosłupa, tzn. zastosowanie wzoru na objętość i podstawienie\nwartości liczbowych do wzoru, np. zapisanie:\n𝑉= 32 · 7\nalbo\n𝑉= 𝑎2 ∙𝑏 , gdzie 𝑎= 3 oraz 𝑏= 7.\n1 punkt\n• zapisanie poprawnych zależności między długościami krawędzi graniastosłupa, np.\n2𝑎+ 3𝑏= 27 oraz 3𝑎+ 3𝑏= 30\nLUB\n• zapisanie różnicy między długościami krawędzi zaznaczonych na obu rysunkach oraz\npoprawny sposób obliczenia sumy długości krawędzi bocznych graniastosłupa\nzaznaczonych pogrubioną linią, np. zapisanie\n30 -27 oraz 27 - (30 -27) ⋅2 lub zapisy równoważne,\nLUB\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n• poprawny sposób obliczenia długości krawędzi podstawy oraz poprawny sposób\nobliczenia pola podstawy graniastosłupa, np. zapisanie\n30 -27 = 𝑎 oraz 𝑃𝑝= 𝑎2 lub zapisy równoważne,\nLUB\n• ustalenie (np. zapisanie na rysunku) poprawnych długości krawędzi podstawy i krawędzi\nbocznej graniastosłupa (3 cm i 7 cm).\n0 punktów\nrozwiązanie błędne albo brak rozwiązania.\nUwagi\n1. Jeżeli uczeń ustali nieprawidłowe długości dwóch krawędzi (np. zapisze na rysunku)\nbez zapisania sposobu obliczenia każdej z nich, to za całe rozwiązanie otrzymuje\n0 punktów.\n2. Jeżeli uczeń ustali nieprawidłową długość jednej krawędzi bez zapisania sposobu jej\nobliczenia, konsekwentnie obliczy długość drugiej krawędzi, korzystając z zależności\nwynikającej z warunków zadania i doprowadzi rozwiązanie zadania do końca\na) bez błędów rachunkowych, to otrzymuje 2 punkty.\nb) z błędami rachunkowymi, to otrzymuje 1 punkt.\n3. Poprawność stosowania jednostek ocenia się tylko w wyniku końcowym.\n4. Zapisanie niewłaściwej jednostki objętości lub brak jednostki objętości w wyniku\nkońcowym traktuje się jako błąd rachunkowy.\nPrzykładowe rozwiązania ocenione na 3 punkty\nI sposób\nMożemy zauważyć, że w porównaniu\nz rysunkiem 1. na rysunku 2. zaznaczono\npogrubioną linią o jedną więcej krótszą\nkrawędź graniastosłupa, a więc krótsza\nkrawędź ma długość równą 3 cm, gdyż:\n30 cm -27 cm = 3 cm\nObliczymy sumę długości trzech krawędzi bocznych graniastosłupa zaznaczonych na\nrysunku 1. pogrubioną linią:\n27 -(3 + 3 ) = 21 (cm)\nZatem długość jednej krawędzi bocznej graniastosłupa jest równa:\n21 ∶3 = 7 (cm)\nObliczymy objętość graniastosłupa:\n𝑉= 32 · 7 = 63 (cm3)\nOdpowiedź: Objętość tego graniastosłupa jest równa 63 cm3.\nRysunek 1.\nRysunek 2.\nEgzamin ósmoklasisty z matematyki - termin dodatkowy 2024 r.\nII sposób\nObliczymy wymiary graniastosłupa. Oznaczymy:\n𝑎 - długość krawędzi podstawy graniastosłupa,\n𝑏 - długość krawędzi bocznej graniastosłupa\nObliczymy długość krawędzi podstawy graniastosłupa:\n2𝑎+ 3𝑏= 27 oraz 3𝑎+ 3𝑏= 30\n3𝑎+ 3𝑏-2𝑎-3𝑏= 30 -27\n𝑎= 3\nObliczymy długość krawędzi bocznej graniastosłupa:\n2𝑎+ 3𝑏 = 27\n𝑎 = 3\n2 · 3 + 3𝑏 = 27\n3𝑏 = 27 -6\n3𝑏 = 21\n𝑏= 7\nObliczymy pole podstawy graniastosłupa o krawędzi 𝑎= 3 cm:\n𝑃𝑝= 32 = 9 (cm2)\nObliczymy objętość graniastosłupa:\n𝑉= 9 · 7 = 63 (cm3)\nOdpowiedź: Objętość tego graniastosłupa jest równa 63 cm3.\nRysunek 1.\nRysunek 2.\n𝑎\n𝑎\n𝑎\n𝑎\n𝑎\n𝑏\n𝑏\n𝑏\n𝑏\n𝑏\n𝑏","solution":"Oznaczmy długość krawędzi podstawy przez a , a wysokość graniastosłupa przez h .\n\nZ rysunku 1 suma pogrubionych krawędzi daje:\n\n2a+3h=27\n\nZ rysunku 2:\n\n3a+3h=30\n\nOdejmujemy pierwsze równanie od drugiego:\n\na=3 cm\n\nPodstawiamy do pierwszego równania:\n\n3h+3·3=27\n\n3h=21, h=7 cm\n\nPonieważ zielone ściany są kwadratami, z rysunku wynika, że podstawa ma wymiary 3 cm×3 cm . Objętość:\n\nV=3^2·7=63 cm^3\n\nOdpowiedź: 63 cm^3 .","image":"img/matematyka-2024-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad-19.webp","solution_image":null,"topics":"Stereometria","page_from":17,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · czerwiec 2024","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty","text_html":"<p>Zadanie 19. (0-3)<br>Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny, w którym zielone ściany są kwadratami.<br>Suma długości jego krawędzi zaznaczonych pogrubioną linią na rysunku 1. jest równa 27 cm.<br>Suma długości jego krawędzi zaznaczonych pogrubioną linią na rysunku 2. jest równa 30 cm.<br>Oblicz objętość tego graniastosłupa. Zapisz obliczenia.<br>Rysunek 1.<br>Rysunek 2.<br>OMAP-100-2406<br>Brudnopis (nie podlega ocenie)<br>MATEMATYKA<br>Egzamin ósmoklasisty<br>MATEMATYKA<br>Egzamin ósmoklasisty<br>MATEMATYKA<br>Egzamin ósmoklasisty</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 19. (0-3)<br>Wymagania egzaminacyjne 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>IV. Rozumowanie i argumentacja.</p>\n<ol><li>Stosowanie strategii wynikającej z treści</li></ol>\n<p>zadania, tworzenie strategii rozwiązania<br>problemu, również w rozwiązaniach<br>wieloetapowych oraz w takich, które<br>wymagają umiejętności łączenia wiedzy<br>z różnych działów matematyki.<br>XIX. Geometria przestrzenna. Uczeń:</p>\n<ol><li>oblicza objętości […] graniastosłupów</li></ol>\n<p>prostych i prawidłowych.<br>Zasady oceniania<br>3 punkty - pełne rozwiązanie<br>poprawny sposób obliczenia objętości graniastosłupa, prawidłowe obliczenia oraz<br>prawidłowy wynik liczbowy zgodny z zastosowaną jednostką objętości (63 cm3).<br>2 punkty<br>• poprawny sposób obliczenia długości krawędzi podstawy oraz długości krawędzi bocznej<br>graniastosłupa oraz poprawny sposób obliczenia objętości graniastosłupa (zgodnie<br>z przyjętymi oznaczeniami lub otrzymanymi wartościami liczbowymi), np. zapisanie:<br>𝑎= 30 -27 oraz 𝑏 = (27 -2 · (30 -27)) ∶3 oraz 𝑉= 𝑎2 · 𝑏<br>lub zapisy równoważne<br>LUB<br>• ustalenie (np. zapisanie na rysunku) prawidłowych długości krawędzi podstawy oraz<br>długości krawędzi bocznej graniastosłupa (3 cm i 7 cm) oraz poprawny sposób<br>obliczenia objętości graniastosłupa, tzn. zastosowanie wzoru na objętość i podstawienie<br>wartości liczbowych do wzoru, np. zapisanie:<br>𝑉= 32 · 7<br>albo<br>𝑉= 𝑎2 ∙𝑏 , gdzie 𝑎= 3 oraz 𝑏= 7.<br>1 punkt<br>• zapisanie poprawnych zależności między długościami krawędzi graniastosłupa, np.<br>2𝑎+ 3𝑏= 27 oraz 3𝑎+ 3𝑏= 30<br>LUB<br>• zapisanie różnicy między długościami krawędzi zaznaczonych na obu rysunkach oraz<br>poprawny sposób obliczenia sumy długości krawędzi bocznych graniastosłupa<br>zaznaczonych pogrubioną linią, np. zapisanie<br>30 -27 oraz 27 - (30 -27) ⋅2 lub zapisy równoważne,<br>LUB<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>• poprawny sposób obliczenia długości krawędzi podstawy oraz poprawny sposób<br>obliczenia pola podstawy graniastosłupa, np. zapisanie<br>30 -27 = 𝑎 oraz 𝑃𝑝= 𝑎2 lub zapisy równoważne,<br>LUB<br>• ustalenie (np. zapisanie na rysunku) poprawnych długości krawędzi podstawy i krawędzi<br>bocznej graniastosłupa (3 cm i 7 cm).<br>0 punktów<br>rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania.<br>Uwagi</p>\n<ol><li>Jeżeli uczeń ustali nieprawidłowe długości dwóch krawędzi (np. zapisze na rysunku)</li></ol>\n<p>bez zapisania sposobu obliczenia każdej z nich, to za całe rozwiązanie otrzymuje<br>0 punktów.</p>\n<ol><li>Jeżeli uczeń ustali nieprawidłową długość jednej krawędzi bez zapisania sposobu jej</li></ol>\n<p>obliczenia, konsekwentnie obliczy długość drugiej krawędzi, korzystając z zależności<br>wynikającej z warunków zadania i doprowadzi rozwiązanie zadania do końca<br>a) bez błędów rachunkowych, to otrzymuje 2 punkty.<br>b) z błędami rachunkowymi, to otrzymuje 1 punkt.</p>\n<ol><li>Poprawność stosowania jednostek ocenia się tylko w wyniku końcowym.</li><li>Zapisanie niewłaściwej jednostki objętości lub brak jednostki objętości w wyniku</li></ol>\n<p>końcowym traktuje się jako błąd rachunkowy.<br>Przykładowe rozwiązania ocenione na 3 punkty<br>I sposób<br>Możemy zauważyć, że w porównaniu<br>z rysunkiem 1. na rysunku 2. zaznaczono<br>pogrubioną linią o jedną więcej krótszą<br>krawędź graniastosłupa, a więc krótsza<br>krawędź ma długość równą 3 cm, gdyż:<br>30 cm -27 cm = 3 cm<br>Obliczymy sumę długości trzech krawędzi bocznych graniastosłupa zaznaczonych na<br>rysunku 1. pogrubioną linią:<br>27 -(3 + 3 ) = 21 (cm)<br>Zatem długość jednej krawędzi bocznej graniastosłupa jest równa:<br>21 ∶3 = 7 (cm)<br>Obliczymy objętość graniastosłupa:<br>𝑉= 32 · 7 = 63 (cm3)<br>Odpowiedź: Objętość tego graniastosłupa jest równa 63 cm3.<br>Rysunek 1.<br>Rysunek 2.<br>Egzamin ósmoklasisty z matematyki - termin dodatkowy 2024 r.<br>II sposób<br>Obliczymy wymiary graniastosłupa. Oznaczymy:<br>𝑎 - długość krawędzi podstawy graniastosłupa,<br>𝑏 - długość krawędzi bocznej graniastosłupa<br>Obliczymy długość krawędzi podstawy graniastosłupa:<br>2𝑎+ 3𝑏= 27 oraz 3𝑎+ 3𝑏= 30<br>3𝑎+ 3𝑏-2𝑎-3𝑏= 30 -27<br>𝑎= 3<br>Obliczymy długość krawędzi bocznej graniastosłupa:<br>2𝑎+ 3𝑏 = 27<br>𝑎 = 3<br>2 · 3 + 3𝑏 = 27<br>3𝑏 = 27 -6<br>3𝑏 = 21<br>𝑏= 7<br>Obliczymy pole podstawy graniastosłupa o krawędzi 𝑎= 3 cm:<br>𝑃𝑝= 32 = 9 (cm2)<br>Obliczymy objętość graniastosłupa:<br>𝑉= 9 · 7 = 63 (cm3)<br>Odpowiedź: Objętość tego graniastosłupa jest równa 63 cm3.<br>Rysunek 1.<br>Rysunek 2.<br>𝑎<br>𝑎<br>𝑎<br>𝑎<br>𝑎<br>𝑏<br>𝑏<br>𝑏<br>𝑏<br>𝑏<br>𝑏</p>","solutions":[{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Oznaczmy długość krawędzi podstawy przez a , a wysokość graniastosłupa przez h .</p>\n<p>Z rysunku 1 suma pogrubionych krawędzi daje:</p>\n<p>2a+3h=27</p>\n<p>Z rysunku 2:</p>\n<p>3a+3h=30</p>\n<p>Odejmujemy pierwsze równanie od drugiego:</p>\n<p>a=3 cm</p>\n<p>Podstawiamy do pierwszego równania:</p>\n<p>3h+3·3=27</p>\n<p>3h=21, h=7 cm</p>\n<p>Ponieważ zielone ściany są kwadratami, z rysunku wynika, że podstawa ma wymiary 3 cm×3 cm . Objętość:</p>\n<p>V=3^2·7=63 cm^3</p>\n<p>Odpowiedź: 63 cm^3 .</p>"}]}