{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba 2-1 ⋅32\n3\n5\njest równa\nA. (-16)\nB. (-4)\nC. 2\nD. 4\nLiczba 2^(-1)⋅32^(3/5) jest równa A. (-16) B. (-4) C. 2 D. 4","answer":"D","answer_text":"Zadanie 1. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 20241\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Sprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach\nrzeczywistych, także przy użyciu\nkalkulatora, stosowanie praw działań\nmatematycznych przy przekształcaniu\nwyrażeń algebraicznych oraz\nwykorzystywanie tych umiejętności przy\nrozwiązywaniu problemów w kontekstach\nrzeczywistych i teoretycznych.\nZdający:\nI.1) wykonuje działania ([…] potęgowanie) w\nzbiorze liczb rzeczywistych;\nI.4) stosuje […] prawa działań na potęgach\n[…].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD\n1 Rozporządzenie Ministra Edukacji i Nauki z dnia 10 czerwca 2022 r. w sprawie wymagań egzaminacyjnych dla\negzaminu maturalnego przeprowadzanego w roku szkolnym 2022/2023 i 2023/2024 (Dz.U. 2022, poz.1246).\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(4\\)\n\n## Sposób 1 - zamiana na potęgi dwójki\n\nKażdą liczbę wyrażamy jako potęgę liczby \\(2\\).\n\n**Krok 1:** Zapisujemy \\(32\\) jako potęgę dwójki:\n\\[32 = 2^5\\]\n\n**Krok 2:** Obliczamy \\(32^{\\frac{3}{5}}\\):\n\\[32^{\\frac{3}{5}} = \\left(2^5\\right)^{\\frac{3}{5}} = 2^{5 \\cdot \\frac{3}{5}} = 2^3 = 8\\]\n\n**Krok 3:** Obliczamy \\(2^{-1}\\):\n\\[2^{-1} = \\frac{1}{2}\\]\n\n**Krok 4:** Mnożymy:\n\\[2^{-1} \\cdot 32^{\\frac{3}{5}} = \\frac{1}{2} \\cdot 8 = \\mathbf{4}\\]\n\n## Sposób 2 - rozpisanie przez pierwiastki\n\nZamiast korzystać z potęg, interpretujemy \\(a^{\\frac{m}{n}} = \\sqrt[n]{a^m}\\).\n\n**Krok 1:** Obliczamy \\(32^{\\frac{3}{5}}\\) przez pierwiastek piątego stopnia:\n\\[32^{\\frac{3}{5}} = \\sqrt[5]{32^3}\\]\n\nPonieważ \\(\\sqrt[5]{32} = \\sqrt[5]{2^5} = 2\\), więc:\n\\[\\sqrt[5]{32^3} = \\left(\\sqrt[5]{32}\\right)^3 = 2^3 = 8\\]\n\n**Krok 2:** Mnożymy przez \\(2^{-1} = \\frac{1}{2}\\):\n\\[\\frac{1}{2} \\cdot 8 = \\mathbf{4}\\]\n\nWynik zgodny - odpowiedź **D**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)**\n\nPotęga o wykładniku wymiernym:\n\\[a^{\\frac{m}{n}} = \\sqrt[n]{a^m}\\]\nUżyliśmy tego do obliczenia \\(32^{\\frac{3}{5}}\\).\n\nDziałanie na potęgach - potęgowanie potęgi:\n\\[(a^r)^s = a^{r \\cdot s}\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1, gdy liczyliśmy \\(\\left(2^5\\right)^{\\frac{3}{5}} = 2^3\\).\n\nWykładnik ujemny:\n\\[a^{-n} = \\frac{1}{a^n}\\]\nUżyliśmy tego do zamiany \\(2^{-1} = \\frac{1}{2}\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A \\((-16)\\) | Uczeń liczy \\(2^{-1} = -1\\) zamiast \\(\\frac{1}{2}\\), a potem myląc znaki dostaje liczbę ujemną. Wykładnik ujemny to **odwrotność**, a nie zmiana znaku! |\n| B \\((-4)\\) | Podobny błąd: traktowanie \\(2^{-1}\\) jako \\(-2\\) zamiast \\(\\frac{1}{2}\\), co daje \\((-2) \\cdot 8 = -16\\), albo inne błędne przekształcenia prowadzące do wyniku ujemnego. |\n| C \\(2\\) | Uczeń poprawnie oblicza \\(32^{\\frac{3}{5}} = 8\\), ale zamiast mnożyć przez \\(\\frac{1}{2}\\), **dzieli wykładniki**: \\(2^{-1+\\frac{3}{5}}\\) i gubi gdzieś czynnik, albo liczy \\(32^{\\frac{3}{5}}\\) błędnie jako \\(4\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(2^{-1} \\neq -2\\) i \\(2^{-1} \\neq -1\\). Wykładnik ujemny oznacza **odwrotność**: \\(2^{-1} = \\frac{1}{2}\\). To jeden z najczęstszych błędów na maturze!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\(32^{\\frac{3}{5}}\\) kolejność działań jest dowolna: możesz najpierw wziąć pierwiastek (\\(\\sqrt[5]{32} = 2\\)), a potem podnieść do potęgi (\\(2^3 = 8\\)). To łatwiejsze niż liczenie \\(32^3 = 32768\\), a potem \\(\\sqrt[5]{32768}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wynik jest **dodatni** - nie powinno tu pojawić się nic ujemnego, bo \\(32 > 0\\) i \\(2^{-1} > 0\\). Jeśli Twój wynik jest ujemny, na pewno popełniłeś błąd.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Karta wzorów (potęgi)\n\\(32 = 2^5\\), więc \\(32^{3/5} = (2^5)^{3/5} = 2^{3}\\).\n\\[2^{-1}\\cdot 2^{3} = 2^{-1+3} = 2^{2} = 4.\\]\n\n### Sposób 2 - Bezpośrednio\n\\(32^{3/5} = \\sqrt[5]{32^3} = \\sqrt[5]{32768}\\). Ponieważ \\(32 = 2^5\\), \\(\\sqrt[5]{32} = 2\\), więc \\(\\sqrt[5]{32^3} = 2^3 = 8\\). Dalej \\(\\tfrac{1}{2}\\cdot 8 = 4\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(-16\\)** - błędny znak i wynik.\n- **B. \\(-4\\)** - brak minusa w \\(2^{-1}\\).\n- **C. \\(2\\)** - obliczono \\(2^{1}\\).\n\n**Trik:** \\(a^{m/n} = \\sqrt[n]{a^m}\\); najpierw podstaw \\(32 = 2^5\\).","image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/sol-1.svg","topics":"Liczby rzeczywiste, algebra","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 1. (0-1)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba 2-1 ⋅32
3
5
jest równa
A. (-16)
B. (-4)
C. 2
D. 4
Liczba 2^(-1)⋅32^(3/5) jest równa A. (-16) B. (-4) C. 2 D. 4

","answer_text_html":"

Zadanie 1. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 20241
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
I. Sprawność rachunkowa.
Wykonywanie obliczeń na liczbach
rzeczywistych, także przy użyciu
kalkulatora, stosowanie praw działań
matematycznych przy przekształcaniu
wyrażeń algebraicznych oraz
wykorzystywanie tych umiejętności przy
rozwiązywaniu problemów w kontekstach
rzeczywistych i teoretycznych.
Zdający:
I.1) wykonuje działania ([…] potęgowanie) w
zbiorze liczb rzeczywistych;
I.4) stosuje […] prawa działań na potęgach
[…].
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
D
1 Rozporządzenie Ministra Edukacji i Nauki z dnia 10 czerwca 2022 r. w sprawie wymagań egzaminacyjnych dla
egzaminu maturalnego przeprowadzanego w roku szkolnym 2022/2023 i 2023/2024 (Dz.U. 2022, poz.1246).
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/sol-1.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: D - \\(4\\)

\n

Sposób 1 - zamiana na potęgi dwójki

\n

Każdą liczbę wyrażamy jako potęgę liczby \\(2\\).

\n

Krok 1: Zapisujemy \\(32\\) jako potęgę dwójki:
\\[32 = 2^5\\]

\n

Krok 2: Obliczamy \\(32^{\\frac{3}{5}}\\):
\\[32^{\\frac{3}{5}} = \\left(2^5\\right)^{\\frac{3}{5}} = 2^{5 \\cdot \\frac{3}{5}} = 2^3 = 8\\]

\n

Krok 3: Obliczamy \\(2^{-1}\\):
\\[2^{-1} = \\frac{1}{2}\\]

\n

Krok 4: Mnożymy:
\\[2^{-1} \\cdot 32^{\\frac{3}{5}} = \\frac{1}{2} \\cdot 8 = \\mathbf{4}\\]

\n

Sposób 2 - rozpisanie przez pierwiastki

\n

Zamiast korzystać z potęg, interpretujemy \\(a^{\\frac{m}{n}} = \\sqrt[n]{a^m}\\).

\n

Krok 1: Obliczamy \\(32^{\\frac{3}{5}}\\) przez pierwiastek piątego stopnia:
\\[32^{\\frac{3}{5}} = \\sqrt[5]{32^3}\\]

\n

Ponieważ \\(\\sqrt[5]{32} = \\sqrt[5]{2^5} = 2\\), więc:
\\[\\sqrt[5]{32^3} = \\left(\\sqrt[5]{32}\\right)^3 = 2^3 = 8\\]

\n

Krok 2: Mnożymy przez \\(2^{-1} = \\frac{1}{2}\\):
\\[\\frac{1}{2} \\cdot 8 = \\mathbf{4}\\]

\n

Wynik zgodny - odpowiedź D.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)

\n

Potęga o wykładniku wymiernym:
\\[a^{\\frac{m}{n}} = \\sqrt[n]{a^m}\\]
Użyliśmy tego do obliczenia \\(32^{\\frac{3}{5}}\\).

\n

Działanie na potęgach - potęgowanie potęgi:
\\[(a^r)^s = a^{r \\cdot s}\\]
Użyliśmy tego w Sposobie 1, gdy liczyliśmy \\(\\left(2^5\\right)^{\\frac{3}{5}} = 2^3\\).

\n

Wykładnik ujemny:
\\[a^{-n} = \\frac{1}{a^n}\\]
Użyliśmy tego do zamiany \\(2^{-1} = \\frac{1}{2}\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| A \\((-16)\\) | Uczeń liczy \\(2^{-1} = -1\\) zamiast \\(\\frac{1}{2}\\), a potem myląc znaki dostaje liczbę ujemną. Wykładnik ujemny to odwrotność, a nie zmiana znaku! |
| B \\((-4)\\) | Podobny błąd: traktowanie \\(2^{-1}\\) jako \\(-2\\) zamiast \\(\\frac{1}{2}\\), co daje \\((-2) \\cdot 8 = -16\\), albo inne błędne przekształcenia prowadzące do wyniku ujemnego. |
| C \\(2\\) | Uczeń poprawnie oblicza \\(32^{\\frac{3}{5}} = 8\\), ale zamiast mnożyć przez \\(\\frac{1}{2}\\), dzieli wykładniki: \\(2^{-1+\\frac{3}{5}}\\) i gubi gdzieś czynnik, albo liczy \\(32^{\\frac{3}{5}}\\) błędnie jako \\(4\\). |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: \\(2^{-1} \\neq -2\\) i \\(2^{-1} \\neq -1\\). Wykładnik ujemny oznacza odwrotność: \\(2^{-1} = \\frac{1}{2}\\). To jeden z najczęstszych błędów na maturze!
\n
⚠️ Uwaga: Przy obliczaniu \\(32^{\\frac{3}{5}}\\) kolejność działań jest dowolna: możesz najpierw wziąć pierwiastek (\\(\\sqrt[5]{32} = 2\\)), a potem podnieść do potęgi (\\(2^3 = 8\\)). To łatwiejsze niż liczenie \\(32^3 = 32768\\), a potem \\(\\sqrt[5]{32768}\\).
\n
⚠️ Uwaga: Wynik jest dodatni - nie powinno tu pojawić się nic ujemnego, bo \\(32 > 0\\) i \\(2^{-1} > 0\\). Jeśli Twój wynik jest ujemny, na pewno popełniłeś błąd.
\n

Poprawna odpowiedź: D

\n
Sposób 1 - Karta wzorów (potęgi)
\n

\\(32 = 2^5\\), więc \\(32^{3/5} = (2^5)^{3/5} = 2^{3}\\).
\\[2^{-1}\\cdot 2^{3} = 2^{-1+3} = 2^{2} = 4.\\]

\n
Sposób 2 - Bezpośrednio
\n

\\(32^{3/5} = \\sqrt[5]{32^3} = \\sqrt[5]{32768}\\). Ponieważ \\(32 = 2^5\\), \\(\\sqrt[5]{32} = 2\\), więc \\(\\sqrt[5]{32^3} = 2^3 = 8\\). Dalej \\(\\tfrac{1}{2}\\cdot 8 = 4\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: \\(a^{m/n} = \\sqrt[n]{a^m}\\); najpierw podstaw \\(32 = 2^5\\).

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"

Poprawnie, ponieważ obliczamy $\\displaystyle \\small 2^{-1} = \\frac{1}{2}$ oraz $\\displaystyle 32^{\\frac{3}{5}} = (2^5)^{\\frac{3}{5}}=2^{5\\cdot\\frac35}=2^3=8$, co daje $\\displaystyle \\small \\frac{1}{2} \\cdot 8 = 4$.

"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

2^-1· 32^(3)/(5)=(1)/(2)·(2^5)^(3)/(5)=(1)/(2)·2^3=4.

"}]}