{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa","number":"10","points":3,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (0-3)\nRozwiąż równanie\n𝟒𝒙𝟑-𝟏𝟐𝒙𝟐-𝒙+ 𝟑= 𝟎\nZapisz obliczenia.\n\nMMAP-P0_100\nRozwiąż równanie 4x³-12x²-x+3 = 0 Zapisz obliczenia.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 10. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nIII.5) rozwiązuje równania wielomianowe\npostaci 𝑊(𝑥) = 0 dla wielomianów […]\ntakich, które dają się doprowadzić do\npostaci iloczynowej […] metodą\ngrupowania.\nZasady oceniania\n3 pkt - poprawna metoda rozwiązania równania i obliczenie wszystkich rozwiązań równania:\n(-1\n2), 1\n2, 3\nALBO\n- wyznaczenie wszystkich rozwiązań równania: (-1\n2), 1\n2, 3, oraz stwierdzenie, że\nsą to jedyne rozwiązania równania.\n2 pkt - przekształcenie lewej strony równania do postaci iloczynu wielomianów stopnia co\nnajwyżej drugiego oraz rozwiązanie jednego z równań wynikającego z tego\nrozkładu, np.:\n(𝑥-3)(4𝑥2 -1) = 0 i 𝑥= 3,\n(𝑥-3)(4𝑥2 -1) = 0 i 𝑥= -1\n2 oraz 𝑥= 1\n2\nALBO\n- przekształcenie równania 4𝑥3 -12𝑥2 -𝑥+ 3 = 0 do postaci alternatywy dwóch\nrównań: kwadratowego i liniowego oraz rozwiązanie jednego z nich, np.:\n(𝑥-3 = 0, 4𝑥2 -1 = 0) oraz 𝑥= 3,\n(𝑥-3 = 0, 4𝑥2 -1 = 0) oraz (𝑥= -1\n2, 𝑥= 1\n2),\nALBO\n- rozłożenie wielomianu 𝑊(𝑥) = 4𝑥3 -12𝑥2 -𝑥+ 3 na czynniki liniowe, np.\n𝑊(𝑥) = (𝑥-3)(2𝑥-1)(2𝑥+ 1) ,\nALBO\n- przekształcenie równania 4𝑥3 -12𝑥2 -𝑥+ 3 = 0 do postaci alternatywy trzech\nrównań liniowych: (𝑥-3 = 0, 2𝑥-1 = 0, 2𝑥+ 1 = 0),\nALBO\n- obliczenie jednego z pierwiastków wielomianu 𝑊(𝑥) = 4𝑥3 -12𝑥2 -𝑥+ 3 oraz\npoprawne podzielenie wielomianu 𝑊 przez odpowiedni dwumian, np.\n𝑥= 3 i (4𝑥3 -12𝑥2 -𝑥+ 3) ∶(𝑥-3) = 4𝑥2 -1 ,\n1 pkt - zapisanie wielomianu 𝑊(𝑥) = 4𝑥3 -12𝑥2 -𝑥+ 3 w postaci iloczynu wielomianów\nstopnia co najwyżej drugiego, np. 𝑊(𝑥) = (𝑥-3)(4𝑥2 -1)\nALBO\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n- przekształcenie równania 4𝑥3 -12𝑥2 -𝑥+ 3 = 0 do postaci alternatywy dwóch\nrównań: (𝑥-3 = 0, 4𝑥2 -1 = 0),\nALBO\n- przekształcenie równania 4𝑥3 -12𝑥2 -𝑥+ 3 = 0 do postaci\n4𝑥2(𝑥-3) -(𝑥-3) = 0 lub do postaci 4𝑥2(𝑥-3) = 𝑥-3 oraz zapisanie\nrozwiązania 𝑥= 3,\nALBO\n- zapisanie jednego z rozwiązań równania 4𝑥3 -12𝑥2 -𝑥+ 3 = 0 oraz zapisanie\nsprawdzenia, że ta liczba spełnia to równanie.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający zapisze tylko trzy poprawne rozwiązania równania, to otrzymuje 1 punkt za\ncałe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający uzyska trzy poprawne pierwiastki wielomianu, lecz traktuje równanie jako\nnierówność (podaje zbiór rozwiązań w postaci przedziału / sumy przedziałów), to\notrzymuje 2 punkty za całe rozwiązanie.\n3. Jeżeli przy przekształcaniu lewej strony równania do postaci iloczynu zdający zapisuje\nczynnik (𝑥-3) z wykładnikiem 2, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe\nrozwiązanie (1 punkt za rozwiązanie równania (𝑥-3)2 = 0 i 1 punkt za rozwiązanie\nrównania 4𝑥2 -1 = 0).\n4. Jeżeli zdający zamiast równania (𝑥-3)(4𝑥2 -1) = 0 zapisze (𝑥-3) ± (4𝑥2 -1) = 0,\nale z dalszego rozwiązania wynika, że traktuje lewą stronę równania jak iloczyn i rozwiąże\nzadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt\nza rozwiązanie równania 𝑥-3 = 0 i 1 punkt za rozwiązanie równania 4𝑥2 -1 = 0).\n5. Jeżeli zdający przy przekształcaniu równania do postaci (𝑥-3)(4𝑥2 -1) = 0 popełni\nbłąd i zapisze:\n4𝑥2(𝑥+ 3) -(𝑥-3) = 0\nlub\n4𝑥2(𝑥-3) + (𝑥-3) = 0\nlub\n4𝑥2(𝑥-3) -(𝑥+ 3) = 0\nlub\n𝑥(4𝑥2 + 1) -3(4𝑥2 -1) = 0\nlub\n𝑥(4𝑥2 -1) + 3(4𝑥2 -1) = 0\nlub\n𝑥(4𝑥2 -1) -3(4𝑥2 + 1) = 0\na następnie\n5.1. zapisze równanie (𝑥-3)(4𝑥2 -1) = 0 lub poprawną alternatywę\n(𝑥-3 = 0 lub 4𝑥2 -1 = 0) i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to\notrzymuje co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za rozwiązanie\nrównania 𝑥-3 = 0 i 1 punkt za rozwiązanie równania 4𝑥2 -1 = 0).\n5.2. zapisze równanie (𝑥-3)(4𝑥2 + 1) = 0 lub błędną alternatywę\n(𝑥-3 = 0 lub 4𝑥2 + 1 = 0) i zapisze rozwiązanie 𝑥= 3,\nto otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\n5.3. zapisze równanie (𝑥+ 3)(4𝑥2 -1) = 0 lub błędną alternatywę\n(𝑥+ 3 = 0 lub 4𝑥2 -1 = 0) i zapisze oba rozwiązania równania 4𝑥2 -1 = 0:\n𝑥= -1\n2 oraz 𝑥= 1\n2 to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\n5.4. zapisze błędne równanie (w którym jedna ze stron jest równa 0, a druga jest\niloczynem wielomianów stopni dodatnich), inne niż w uwagach 5.2 oraz 5.3, np.\n(𝑥-3)(𝑥+ 3)(4𝑥2 ± 1) = 0 lub błędną alternatywę inną niż w uwagach 5.2\noraz 5.3, np. (𝑥-3 = 0 lub 𝑥+ 3 = 0 lub 4𝑥2 ± 1 = 0), to otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie.\n6. Jeżeli zdający, przekształcając równanie 4𝑥3 -12𝑥2 -𝑥+ 3 = 0, popełni jeden błąd\n(który nie jest błędem znaku) albo dwa błędy znaku i otrzyma równanie trzeciego stopnia,\nktóre ma trzy rozwiązania rzeczywiste, oraz konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to\notrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\n7. Jeżeli zdający dzieli obustronnie równanie 4𝑥2(𝑥-3) = 𝑥-3 przez dwumian\n(𝑥-3) z podaniem odpowiedniego założenia i uzyska tylko dwa poprawne rozwiązania\n𝑥= -1\n2 oraz 𝑥= 1\n2, to otrzymuje 2 punkty za całe rozwiązanie, a jeżeli uzyska tylko\njedno z tych rozwiązań, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\n8. Jeżeli zdający dzieli obustronnie równanie 4𝑥2(𝑥-3) = 𝑥-3 przez dwumian\n(𝑥-3) bez podania odpowiedniego założenia i uzyska tylko dwa poprawne rozwiązania\n𝑥= -1\n2 oraz 𝑥= 1\n2, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie, a jeżeli uzyska tylko\njedno z tych rozwiązań, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPrzekształcamy równanie równoważnie i stosujemy metodę grupowania wyrazów:\n4𝑥3 -12𝑥2 -𝑥+ 3 = 0\n4𝑥2(𝑥-3) -(𝑥-3) = 0\n(𝑥-3)(4𝑥2 -1) = 0\n(𝑥-3)(2𝑥-1)(2𝑥+ 1) = 0\n𝑥-3 = 0 lub 2𝑥-1 = 0 lub 2𝑥+ 1 = 0\n𝑥= 3 lub 𝑥= 1\n2 lub 𝑥= -1\n2\nRozwiązaniami równania są liczby: (-1\n2), 1\n2, 3.\nSposób II\nPrzekształcamy równanie równoważnie i stosujemy metodę grupowania wyrazów:\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n4𝑥3 -12𝑥2 -𝑥+ 3 = 0\n𝑥(4𝑥2 -1) -3(4𝑥2 -1) = 0\n(4𝑥2 -1)(𝑥-3) = 0\n(2𝑥-1)(2𝑥+ 1)(𝑥-3) = 0\n2𝑥-1 = 0 lub 2𝑥+ 1 = 0 lub 𝑥-3 = 0\n𝑥= 1\n2 lub 𝑥= -1\n2 lub 𝑥= 3\nRozwiązaniami równania są liczby: (-1\n2), 1\n2, 3.\nSposób III\nObliczamy 𝑊(3) = 0 i stwierdzamy, że liczba 3 jest pierwiastkiem wielomianu\n𝑊(𝑥) = 4𝑥3 -12𝑥2 -𝑥+ 3.\nZatem wielomian 𝑊 jest podzielny przez dwumian (𝑥-3). Dzielimy wielomian 𝑊 przez\ndwumian (𝑥-3) i otrzymujemy\n(4𝑥3 -12𝑥2 -𝑥+ 3) ∶(𝑥-3) = 4𝑥2 -1\nZatem 𝑊(𝑥) = (𝑥-3)(4𝑥2 -1) = (𝑥-3)(2𝑥-1)(2𝑥+ 1).\nObliczamy pierwiastki wielomianu 𝑊(𝑥):\n(𝑥-3)(2𝑥-1)(2𝑥+ 1) = 0\n𝑥-3 = 0 lub 2𝑥-1 = 0 lub 2𝑥+ 1 = 0\n𝑥= 3 lub 𝑥= 1\n2 lub 𝑥= -1\n2\nRozwiązaniami równania są liczby: (-1\n2), 1\n2, 3.\nSposób IV\nObliczamy 𝑊(3) = 0 i stwierdzamy, że liczba 3 jest pierwiastkiem wielomianu\n𝑊(𝑥) = 4𝑥3 -12𝑥2 -𝑥+ 3.\nObliczamy 𝑊(1\n2) = 0 i stwierdzamy, że liczba 1\n2 jest pierwiastkiem wielomianu\n𝑊(𝑥) = 4𝑥3 -12𝑥2 -𝑥+ 3.\nObliczamy 𝑊(-1\n2) = 0 i stwierdzamy, że liczba (-1\n2) jest pierwiastkiem wielomianu\n𝑊(𝑥) = 4𝑥3 -12𝑥2 -𝑥+ 3.\nPonieważ 𝑊 jest wielomianem stopnia trzeciego, więc ma co najwyżej trzy pierwiastki\nrzeczywiste. Oznacza to, że jedynymi rozwiązaniami równania 4𝑥3 -12𝑥2 -𝑥+ 3 = 0 są\nliczby: (-1\n2), 1\n2, 3.","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(m = 5\\)\n\n## Sposób 1 - podstawienie miejsca zerowego\n\nJeśli \\(2\\) jest **miejscem zerowym** funkcji \\(f\\), to \\(f(2) = 0\\).\n\nPodstawiamy \\(x = 2\\) do wzoru funkcji:\n\n\\[f(2) = (3 - m) \\cdot 2 + 4 = 0\\]\n\n\\[6 - 2m + 4 = 0\\]\n\n\\[10 - 2m = 0\\]\n\n\\[2m = 10\\]\n\n\\[\\boxed{m = 5}\\]\n\n**Odpowiedź: D**\n\n## Sposób 2 - wzór na miejsce zerowe funkcji liniowej\n\nFunkcja liniowa \\(f(x) = ax + b\\) ma miejsce zerowe w \\(x_0 = -\\frac{b}{a}\\) (o ile \\(a \\neq 0\\)).\n\nTu: \\(a = 3 - m\\), \\(b = 4\\), więc:\n\n\\[x_0 = -\\frac{4}{3 - m}\\]\n\nWiemy, że \\(x_0 = 2\\), zatem:\n\n\\[-\\frac{4}{3 - m} = 2\\]\n\n\\[-4 = 2(3 - m)\\]\n\n\\[-4 = 6 - 2m\\]\n\n\\[2m = 10\\]\n\n\\[\\boxed{m = 5}\\]\n\n**Weryfikacja:** Dla \\(m = 5\\): \\(f(x) = (3-5)x + 4 = -2x + 4\\). Rzeczywiście \\(f(2) = -2 \\cdot 2 + 4 = 0\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja miejsca zerowego (wartość \\(x\\), dla której \\(f(x) = 0\\)) i proste rozwiązanie równania liniowego.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A - \\(m = 0\\) | Podstawienie \\(x = 0\\) zamiast \\(x = 2\\) - uczeń szuka miejsca zerowego funkcji, ale wstawia zero jako argument, zamiast jako wartość funkcji |\n| B - \\(m = 3\\) | Odczytanie współczynnika \\(3\\) ze wzoru bez żadnych obliczeń (skojarzenie z liczbą \\(3\\) w \\((3-m)\\)) |\n| C - \\(m = 4\\) | Skojarzenie z wyrazem wolnym \\(4\\) - np. błędne równanie \\((3-m) \\cdot 2 = 4\\) zamiast \\((3-m) \\cdot 2 + 4 = 0\\), co daje \\(m = 1\\), lub po prostu odczytanie \\(b = 4\\) jako odpowiedzi |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Miejsce zerowe to takie \\(x\\), dla którego **wartość funkcji** wynosi \\(0\\) - czyli \\(f(x) = 0\\), a nie \\(x = 0\\)! To najczęstszy błąd.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że po podstawieniu otrzymujesz równanie z \\(m\\) - nie zapominaj o wyrazie wolnym \\(+4\\) przy przenoszeniu składników.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź, czy otrzymana wartość \\(m\\) nie sprawia, że \\(3 - m = 0\\) (funkcja przestałaby być liniowa). Dla \\(m = 5\\): \\(3 - 5 = -2 \\neq 0\\) - wszystko w porządku.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Podstawienie\n\\(f(2) = 0\\) (miejsce zerowe):\n\\[(3-m)\\cdot 2 + 4 = 0\\]\n\\[6 - 2m + 4 = 0 \\Rightarrow 10 = 2m \\Rightarrow m = 5.\\]\n\n### Sposób 2 - Wzór miejsca zerowego\nDla \\(f(x) = ax + b\\) miejsce zerowe to \\(x_0 = -\\tfrac{b}{a}\\): \\(2 = -\\tfrac{4}{3-m}\\), zatem \\(3 - m = -2 \\Rightarrow m = 5\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(0\\)** - daje \\(f(2) = 6+4=10\\ne 0\\).\n- **B. \\(3\\)** - daje \\(f\\) stałą (= 4), bez zer.\n- **C. \\(4\\)** - daje \\(f(2) = -2+4 = 2\\ne 0\\).\n\n**Trik:** miejsce zerowe → podstaw \\(x_0\\) i przyrównaj do 0.","image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/sol-10.svg","topics":"Wielomiany","page_from":9,"source":"ocr","answer_source":"maturazai","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 10. (0-3)<br>Rozwiąż równanie<br>𝟒𝒙𝟑-𝟏𝟐𝒙𝟐-𝒙+ 𝟑= 𝟎<br>Zapisz obliczenia.</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>Rozwiąż równanie 4x³-12x²-x+3 = 0 Zapisz obliczenia.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 10. (0-3)<br>Wymagania egzaminacyjne 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>IV. Rozumowanie i argumentacja.</p>\n<ol><li>Stosowanie i tworzenie strategii przy</li></ol>\n<p>rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach<br>nietypowych.<br>Zdający:<br>III.5) rozwiązuje równania wielomianowe<br>postaci 𝑊(𝑥) = 0 dla wielomianów […]<br>takich, które dają się doprowadzić do<br>postaci iloczynowej […] metodą<br>grupowania.<br>Zasady oceniania<br>3 pkt - poprawna metoda rozwiązania równania i obliczenie wszystkich rozwiązań równania:<br>(-1<br>2), 1<br>2, 3<br>ALBO</p>\n<ul><li>wyznaczenie wszystkich rozwiązań równania: (-1</li></ul>\n<p>2), 1<br>2, 3, oraz stwierdzenie, że<br>są to jedyne rozwiązania równania.<br>2 pkt - przekształcenie lewej strony równania do postaci iloczynu wielomianów stopnia co<br>najwyżej drugiego oraz rozwiązanie jednego z równań wynikającego z tego<br>rozkładu, np.:<br>(𝑥-3)(4𝑥2 -1) = 0 i 𝑥= 3,<br>(𝑥-3)(4𝑥2 -1) = 0 i 𝑥= -1<br>2 oraz 𝑥= 1<br>2<br>ALBO</p>\n<ul><li>przekształcenie równania 4𝑥3 -12𝑥2 -𝑥+ 3 = 0 do postaci alternatywy dwóch</li></ul>\n<p>równań: kwadratowego i liniowego oraz rozwiązanie jednego z nich, np.:<br>(𝑥-3 = 0, 4𝑥2 -1 = 0) oraz 𝑥= 3,<br>(𝑥-3 = 0, 4𝑥2 -1 = 0) oraz (𝑥= -1<br>2, 𝑥= 1<br>2),<br>ALBO</p>\n<ul><li>rozłożenie wielomianu 𝑊(𝑥) = 4𝑥3 -12𝑥2 -𝑥+ 3 na czynniki liniowe, np.</li></ul>\n<p>𝑊(𝑥) = (𝑥-3)(2𝑥-1)(2𝑥+ 1) ,<br>ALBO</p>\n<ul><li>przekształcenie równania 4𝑥3 -12𝑥2 -𝑥+ 3 = 0 do postaci alternatywy trzech</li></ul>\n<p>równań liniowych: (𝑥-3 = 0, 2𝑥-1 = 0, 2𝑥+ 1 = 0),<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie jednego z pierwiastków wielomianu 𝑊(𝑥) = 4𝑥3 -12𝑥2 -𝑥+ 3 oraz</li></ul>\n<p>poprawne podzielenie wielomianu 𝑊 przez odpowiedni dwumian, np.<br>𝑥= 3 i (4𝑥3 -12𝑥2 -𝑥+ 3) ∶(𝑥-3) = 4𝑥2 -1 ,<br>1 pkt - zapisanie wielomianu 𝑊(𝑥) = 4𝑥3 -12𝑥2 -𝑥+ 3 w postaci iloczynu wielomianów<br>stopnia co najwyżej drugiego, np. 𝑊(𝑥) = (𝑥-3)(4𝑥2 -1)<br>ALBO<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>\n<ul><li>przekształcenie równania 4𝑥3 -12𝑥2 -𝑥+ 3 = 0 do postaci alternatywy dwóch</li></ul>\n<p>równań: (𝑥-3 = 0, 4𝑥2 -1 = 0),<br>ALBO</p>\n<ul><li>przekształcenie równania 4𝑥3 -12𝑥2 -𝑥+ 3 = 0 do postaci</li></ul>\n<p>4𝑥2(𝑥-3) -(𝑥-3) = 0 lub do postaci 4𝑥2(𝑥-3) = 𝑥-3 oraz zapisanie<br>rozwiązania 𝑥= 3,<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie jednego z rozwiązań równania 4𝑥3 -12𝑥2 -𝑥+ 3 = 0 oraz zapisanie</li></ul>\n<p>sprawdzenia, że ta liczba spełnia to równanie.<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający zapisze tylko trzy poprawne rozwiązania równania, to otrzymuje 1 punkt za</li></ol>\n<p>całe rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający uzyska trzy poprawne pierwiastki wielomianu, lecz traktuje równanie jako</li></ol>\n<p>nierówność (podaje zbiór rozwiązań w postaci przedziału / sumy przedziałów), to<br>otrzymuje 2 punkty za całe rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeżeli przy przekształcaniu lewej strony równania do postaci iloczynu zdający zapisuje</li></ol>\n<p>czynnik (𝑥-3) z wykładnikiem 2, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe<br>rozwiązanie (1 punkt za rozwiązanie równania (𝑥-3)2 = 0 i 1 punkt za rozwiązanie<br>równania 4𝑥2 -1 = 0).</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający zamiast równania (𝑥-3)(4𝑥2 -1) = 0 zapisze (𝑥-3) ± (4𝑥2 -1) = 0,</li></ol>\n<p>ale z dalszego rozwiązania wynika, że traktuje lewą stronę równania jak iloczyn i rozwiąże<br>zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt<br>za rozwiązanie równania 𝑥-3 = 0 i 1 punkt za rozwiązanie równania 4𝑥2 -1 = 0).</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający przy przekształcaniu równania do postaci (𝑥-3)(4𝑥2 -1) = 0 popełni</li></ol>\n<p>błąd i zapisze:<br>4𝑥2(𝑥+ 3) -(𝑥-3) = 0<br>lub<br>4𝑥2(𝑥-3) + (𝑥-3) = 0<br>lub<br>4𝑥2(𝑥-3) -(𝑥+ 3) = 0<br>lub<br>𝑥(4𝑥2 + 1) -3(4𝑥2 -1) = 0<br>lub<br>𝑥(4𝑥2 -1) + 3(4𝑥2 -1) = 0<br>lub<br>𝑥(4𝑥2 -1) -3(4𝑥2 + 1) = 0<br>a następnie<br>5.1. zapisze równanie (𝑥-3)(4𝑥2 -1) = 0 lub poprawną alternatywę<br>(𝑥-3 = 0 lub 4𝑥2 -1 = 0) i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to<br>otrzymuje co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za rozwiązanie<br>równania 𝑥-3 = 0 i 1 punkt za rozwiązanie równania 4𝑥2 -1 = 0).<br>5.2. zapisze równanie (𝑥-3)(4𝑥2 + 1) = 0 lub błędną alternatywę<br>(𝑥-3 = 0 lub 4𝑥2 + 1 = 0) i zapisze rozwiązanie 𝑥= 3,<br>to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.<br>5.3. zapisze równanie (𝑥+ 3)(4𝑥2 -1) = 0 lub błędną alternatywę<br>(𝑥+ 3 = 0 lub 4𝑥2 -1 = 0) i zapisze oba rozwiązania równania 4𝑥2 -1 = 0:<br>𝑥= -1<br>2 oraz 𝑥= 1<br>2 to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.<br>5.4. zapisze błędne równanie (w którym jedna ze stron jest równa 0, a druga jest<br>iloczynem wielomianów stopni dodatnich), inne niż w uwagach 5.2 oraz 5.3, np.<br>(𝑥-3)(𝑥+ 3)(4𝑥2 ± 1) = 0 lub błędną alternatywę inną niż w uwagach 5.2<br>oraz 5.3, np. (𝑥-3 = 0 lub 𝑥+ 3 = 0 lub 4𝑥2 ± 1 = 0), to otrzymuje<br>0 punktów za całe rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający, przekształcając równanie 4𝑥3 -12𝑥2 -𝑥+ 3 = 0, popełni jeden błąd</li></ol>\n<p>(który nie jest błędem znaku) albo dwa błędy znaku i otrzyma równanie trzeciego stopnia,<br>które ma trzy rozwiązania rzeczywiste, oraz konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to<br>otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający dzieli obustronnie równanie 4𝑥2(𝑥-3) = 𝑥-3 przez dwumian</li></ol>\n<p>(𝑥-3) z podaniem odpowiedniego założenia i uzyska tylko dwa poprawne rozwiązania<br>𝑥= -1<br>2 oraz 𝑥= 1<br>2, to otrzymuje 2 punkty za całe rozwiązanie, a jeżeli uzyska tylko<br>jedno z tych rozwiązań, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający dzieli obustronnie równanie 4𝑥2(𝑥-3) = 𝑥-3 przez dwumian</li></ol>\n<p>(𝑥-3) bez podania odpowiedniego założenia i uzyska tylko dwa poprawne rozwiązania<br>𝑥= -1<br>2 oraz 𝑥= 1<br>2, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie, a jeżeli uzyska tylko<br>jedno z tych rozwiązań, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób I<br>Przekształcamy równanie równoważnie i stosujemy metodę grupowania wyrazów:<br>4𝑥3 -12𝑥2 -𝑥+ 3 = 0<br>4𝑥2(𝑥-3) -(𝑥-3) = 0<br>(𝑥-3)(4𝑥2 -1) = 0<br>(𝑥-3)(2𝑥-1)(2𝑥+ 1) = 0<br>𝑥-3 = 0 lub 2𝑥-1 = 0 lub 2𝑥+ 1 = 0<br>𝑥= 3 lub 𝑥= 1<br>2 lub 𝑥= -1<br>2<br>Rozwiązaniami równania są liczby: (-1<br>2), 1<br>2, 3.<br>Sposób II<br>Przekształcamy równanie równoważnie i stosujemy metodę grupowania wyrazów:<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>4𝑥3 -12𝑥2 -𝑥+ 3 = 0<br>𝑥(4𝑥2 -1) -3(4𝑥2 -1) = 0<br>(4𝑥2 -1)(𝑥-3) = 0<br>(2𝑥-1)(2𝑥+ 1)(𝑥-3) = 0<br>2𝑥-1 = 0 lub 2𝑥+ 1 = 0 lub 𝑥-3 = 0<br>𝑥= 1<br>2 lub 𝑥= -1<br>2 lub 𝑥= 3<br>Rozwiązaniami równania są liczby: (-1<br>2), 1<br>2, 3.<br>Sposób III<br>Obliczamy 𝑊(3) = 0 i stwierdzamy, że liczba 3 jest pierwiastkiem wielomianu<br>𝑊(𝑥) = 4𝑥3 -12𝑥2 -𝑥+ 3.<br>Zatem wielomian 𝑊 jest podzielny przez dwumian (𝑥-3). Dzielimy wielomian 𝑊 przez<br>dwumian (𝑥-3) i otrzymujemy<br>(4𝑥3 -12𝑥2 -𝑥+ 3) ∶(𝑥-3) = 4𝑥2 -1<br>Zatem 𝑊(𝑥) = (𝑥-3)(4𝑥2 -1) = (𝑥-3)(2𝑥-1)(2𝑥+ 1).<br>Obliczamy pierwiastki wielomianu 𝑊(𝑥):<br>(𝑥-3)(2𝑥-1)(2𝑥+ 1) = 0<br>𝑥-3 = 0 lub 2𝑥-1 = 0 lub 2𝑥+ 1 = 0<br>𝑥= 3 lub 𝑥= 1<br>2 lub 𝑥= -1<br>2<br>Rozwiązaniami równania są liczby: (-1<br>2), 1<br>2, 3.<br>Sposób IV<br>Obliczamy 𝑊(3) = 0 i stwierdzamy, że liczba 3 jest pierwiastkiem wielomianu<br>𝑊(𝑥) = 4𝑥3 -12𝑥2 -𝑥+ 3.<br>Obliczamy 𝑊(1</p>\n<ol><li>= 0 i stwierdzamy, że liczba 1</li></ol>\n<p>2 jest pierwiastkiem wielomianu<br>𝑊(𝑥) = 4𝑥3 -12𝑥2 -𝑥+ 3.<br>Obliczamy 𝑊(-1</p>\n<ol><li>= 0 i stwierdzamy, że liczba (-1</li><li>jest pierwiastkiem wielomianu</li></ol>\n<p>𝑊(𝑥) = 4𝑥3 -12𝑥2 -𝑥+ 3.<br>Ponieważ 𝑊 jest wielomianem stopnia trzeciego, więc ma co najwyżej trzy pierwiastki<br>rzeczywiste. Oznacza to, że jedynymi rozwiązaniami równania 4𝑥3 -12𝑥2 -𝑥+ 3 = 0 są<br>liczby: (-1<br>2), 1<br>2, 3.</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/sol-10.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D - \\(m = 5\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - podstawienie miejsca zerowego</h4>\n<p>Jeśli \\(2\\) jest <strong>miejscem zerowym</strong> funkcji \\(f\\), to \\(f(2) = 0\\).</p>\n<p>Podstawiamy \\(x = 2\\) do wzoru funkcji:</p>\n<p>\\[f(2) = (3 - m) \\cdot 2 + 4 = 0\\]</p>\n<p>\\[6 - 2m + 4 = 0\\]</p>\n<p>\\[10 - 2m = 0\\]</p>\n<p>\\[2m = 10\\]</p>\n<p>\\[\\boxed{m = 5}\\]</p>\n<p><strong>Odpowiedź: D</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - wzór na miejsce zerowe funkcji liniowej</h4>\n<p>Funkcja liniowa \\(f(x) = ax + b\\) ma miejsce zerowe w \\(x_0 = -\\frac{b}{a}\\) (o ile \\(a \\neq 0\\)).</p>\n<p>Tu: \\(a = 3 - m\\), \\(b = 4\\), więc:</p>\n<p>\\[x_0 = -\\frac{4}{3 - m}\\]</p>\n<p>Wiemy, że \\(x_0 = 2\\), zatem:</p>\n<p>\\[-\\frac{4}{3 - m} = 2\\]</p>\n<p>\\[-4 = 2(3 - m)\\]</p>\n<p>\\[-4 = 6 - 2m\\]</p>\n<p>\\[2m = 10\\]</p>\n<p>\\[\\boxed{m = 5}\\]</p>\n<p><strong>Weryfikacja:</strong> Dla \\(m = 5\\): \\(f(x) = (3-5)x + 4 = -2x + 4\\). Rzeczywiście \\(f(2) = -2 \\cdot 2 + 4 = 0\\). ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja miejsca zerowego (wartość \\(x\\), dla której \\(f(x) = 0\\)) i proste rozwiązanie równania liniowego.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| A - \\(m = 0\\) | Podstawienie \\(x = 0\\) zamiast \\(x = 2\\) - uczeń szuka miejsca zerowego funkcji, ale wstawia zero jako argument, zamiast jako wartość funkcji |<br>| B - \\(m = 3\\) | Odczytanie współczynnika \\(3\\) ze wzoru bez żadnych obliczeń (skojarzenie z liczbą \\(3\\) w \\((3-m)\\)) |<br>| C - \\(m = 4\\) | Skojarzenie z wyrazem wolnym \\(4\\) - np. błędne równanie \\((3-m) \\cdot 2 = 4\\) zamiast \\((3-m) \\cdot 2 + 4 = 0\\), co daje \\(m = 1\\), lub po prostu odczytanie \\(b = 4\\) jako odpowiedzi |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Miejsce zerowe to takie \\(x\\), dla którego <strong>wartość funkcji</strong> wynosi \\(0\\) - czyli \\(f(x) = 0\\), a nie \\(x = 0\\)! To najczęstszy błąd.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Pamiętaj, że po podstawieniu otrzymujesz równanie z \\(m\\) - nie zapominaj o wyrazie wolnym \\(+4\\) przy przenoszeniu składników.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Sprawdź, czy otrzymana wartość \\(m\\) nie sprawia, że \\(3 - m = 0\\) (funkcja przestałaby być liniowa). Dla \\(m = 5\\): \\(3 - 5 = -2 \\neq 0\\) - wszystko w porządku.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Podstawienie</h5>\n<p>\\(f(2) = 0\\) (miejsce zerowe):<br>\\[(3-m)\\cdot 2 + 4 = 0\\]<br>\\[6 - 2m + 4 = 0 \\Rightarrow 10 = 2m \\Rightarrow m = 5.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Wzór miejsca zerowego</h5>\n<p>Dla \\(f(x) = ax + b\\) miejsce zerowe to \\(x_0 = -\\tfrac{b}{a}\\): \\(2 = -\\tfrac{4}{3-m}\\), zatem \\(3 - m = -2 \\Rightarrow m = 5\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(0\\)</strong> - daje \\(f(2) = 6+4=10\\ne 0\\).</li><li><strong>B. \\(3\\)</strong> - daje \\(f\\) stałą (= 4), bez zer.</li><li><strong>C. \\(4\\)</strong> - daje \\(f(2) = -2+4 = 2\\ne 0\\).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> miejsce zerowe → podstaw \\(x_0\\) i przyrównaj do 0.</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>4x^3-12x^2-x+3=4x^2(x-3)-(x-3)=(x-3)(4x^2-1).</p>\n<p>(x-3)(2x-1)(2x+1)=0.<br>Stąd x=3 , x=(1)/(2) lub x=-(1)/(2) .</p>"}]}