{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa","number":"11","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11.\nNa rysunku 1., w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦), przedstawiono wykres funkcji 𝑓.\nKażdy z punktów przecięcia wykresu funkcji 𝑓 z prostą o równaniu 𝑦= 2 ma obie\nwspółrzędne całkowite.\nRysunek 1.\nNa rysunku 1., w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y), przedstawiono wykres funkcji f. Każdy z punktów przecięcia wykresu funkcji f z prostą o równaniu y=2 ma obie współrzędne całkowite. Rysunek 1. [rysunek]Uzupełnij poniższe zdanie. Wpisz odpowiedni przedział w wykropkowanym miejscu tak, aby zdanie było prawdziwe. Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności f(x) ≤ 2 jest przedział ..................... .","answer":"B","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(4\\)\n\n## Sposób 1 - Odczyt największej wartości z wykresu\n\nNajwiększa wartość funkcji to **najwyższy punkt wykresu** - szukamy maksymalnego \\(y\\), jakie przyjmuje funkcja \\(f\\).\n\nPatrzymy na wykres i szukamy punktu (lub punktów), w którym wykres jest najwyżej położony na osi \\(y\\).\n\n**Z rysunku odczytujemy**, że najwyższy punkt wykresu funkcji \\(f\\) leży na wysokości:\n\\[y = 4\\]\n\nZatem największa wartość funkcji \\(f\\) wynosi \\(\\mathbf{4}\\).\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez eliminację\n\nSprawdzamy każdą odpowiedź:\n\n- **\\(y = 7\\)** - odp. D: Czy wykres kiedykolwiek osiąga \\(y = 7\\)? Nie - żaden punkt wykresu nie leży tak wysoko.\n- **\\(y = 6\\)** - odp. C: Czy wykres osiąga \\(y = 6\\)? Nie - to wartość powyżej maksimum wykresu.\n- **\\(y = 4\\)** - odp. B: Tak - najwyżej położony punkt wykresu ma współrzędną \\(y = 4\\). ✓\n- **\\(y = 2\\)** - odp. A: Wykres osiąga \\(y = 2\\), ale to **nie jest** maksimum - widać punkty wyżej.\n\n**Wniosek:** Największa wartość funkcji to \\(4\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja największej wartości funkcji i bezpośredni odczyt z wykresu.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A - \\(2\\) | Uczeń odczytał wartość w środkowym lub często powtarzającym się miejscu wykresu, nie szukając punktu najwyższego |\n| C - \\(6\\) | Pomylono wartość na osi \\(x\\) z wartością na osi \\(y\\), albo odczytano sąsiednią podziałkę |\n| D - \\(7\\) | Wzięto maksymalną wartość widoczną na osi \\(y\\) (podziałka siatki), zamiast faktycznej wysokości wykresu |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Największa wartość funkcji to **wartość na osi \\(y\\)** (czyli \\(f(x)\\)), nie wartość argumentu \\(x\\), przy którym maksimum jest osiągane. Nie mylić \\(x_{\\max}\\) z \\(f(x_{\\max})\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Jeśli wykres ma kilka \"górek\" (lokalnych maksimów), sprawdź **wszystkie** i wybierz najwyższą - to jest największa wartość (maksimum globalne).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Uważaj na podziałki osi - jedna kratka może oznaczać \\(1\\), \\(2\\) lub inną wartość zależnie od skali. Zawsze sprawdź, co oznacza jedna działka na osi \\(y\\)!\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Odczyt z wykresu\nWykres osiąga maksimum \\(y=4\\) w dwóch punktach: \\((-1, 4)\\) (koniec lewy) oraz \\((7, 4)\\) (koniec prawy). Największa wartość funkcji = \\(4\\).\n\n### Sposób 2 - Weryfikacja zakresu\nDziedzina: \\(x\\in\\langle -1, 7\\rangle\\). Dla \\(x=-1\\): \\(y=4\\). Dla \\(x=1\\): \\(y=0\\) (minimum). Dla \\(x=7\\): \\(y=4\\). Zatem max = 4.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(2\\)** - to wartość w punkcie \\(x=0\\), nie maksimum.\n- **C. \\(6\\), D. \\(7\\)** - nie występują na wykresie jako wartości \\(y\\).\n\n**Trik:** największa wartość = najwyższy punkt wykresu (oś \\(y\\)).","image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/sol-11.svg","topics":null,"page_from":10,"source":"maturazai","answer_source":"maturazai","answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 11.<br>Na rysunku 1., w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦), przedstawiono wykres funkcji 𝑓.<br>Każdy z punktów przecięcia wykresu funkcji 𝑓 z prostą o równaniu 𝑦= 2 ma obie<br>współrzędne całkowite.<br>Rysunek 1.<br>Na rysunku 1., w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y), przedstawiono wykres funkcji f. Każdy z punktów przecięcia wykresu funkcji f z prostą o równaniu y=2 ma obie współrzędne całkowite. Rysunek 1. [rysunek]Uzupełnij poniższe zdanie. Wpisz odpowiedni przedział w wykropkowanym miejscu tak, aby zdanie było prawdziwe. Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności f(x) ≤ 2 jest przedział ..................... .</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/sol-11.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B - \\(4\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Odczyt największej wartości z wykresu</h4>\n<p>Największa wartość funkcji to <strong>najwyższy punkt wykresu</strong> - szukamy maksymalnego \\(y\\), jakie przyjmuje funkcja \\(f\\).</p>\n<p>Patrzymy na wykres i szukamy punktu (lub punktów), w którym wykres jest najwyżej położony na osi \\(y\\).</p>\n<p><strong>Z rysunku odczytujemy</strong>, że najwyższy punkt wykresu funkcji \\(f\\) leży na wysokości:<br>\\[y = 4\\]</p>\n<p>Zatem największa wartość funkcji \\(f\\) wynosi \\(\\mathbf{4}\\).</p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez eliminację</h4>\n<p>Sprawdzamy każdą odpowiedź:</p>\n<ul><li><strong>\\(y = 7\\)</strong> - odp. D: Czy wykres kiedykolwiek osiąga \\(y = 7\\)? Nie - żaden punkt wykresu nie leży tak wysoko.</li><li><strong>\\(y = 6\\)</strong> - odp. C: Czy wykres osiąga \\(y = 6\\)? Nie - to wartość powyżej maksimum wykresu.</li><li><strong>\\(y = 4\\)</strong> - odp. B: Tak - najwyżej położony punkt wykresu ma współrzędną \\(y = 4\\). ✓</li><li><strong>\\(y = 2\\)</strong> - odp. A: Wykres osiąga \\(y = 2\\), ale to <strong>nie jest</strong> maksimum - widać punkty wyżej.</li></ul>\n<p><strong>Wniosek:</strong> Największa wartość funkcji to \\(4\\).</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja największej wartości funkcji i bezpośredni odczyt z wykresu.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A - \\(2\\) | Uczeń odczytał wartość w środkowym lub często powtarzającym się miejscu wykresu, nie szukając punktu najwyższego |<br>| C - \\(6\\) | Pomylono wartość na osi \\(x\\) z wartością na osi \\(y\\), albo odczytano sąsiednią podziałkę |<br>| D - \\(7\\) | Wzięto maksymalną wartość widoczną na osi \\(y\\) (podziałka siatki), zamiast faktycznej wysokości wykresu |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Największa wartość funkcji to <strong>wartość na osi \\(y\\)</strong> (czyli \\(f(x)\\)), nie wartość argumentu \\(x\\), przy którym maksimum jest osiągane. Nie mylić \\(x_{\\max}\\) z \\(f(x_{\\max})\\)!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Jeśli wykres ma kilka &quot;górek&quot; (lokalnych maksimów), sprawdź <strong>wszystkie</strong> i wybierz najwyższą - to jest największa wartość (maksimum globalne).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Uważaj na podziałki osi - jedna kratka może oznaczać \\(1\\), \\(2\\) lub inną wartość zależnie od skali. Zawsze sprawdź, co oznacza jedna działka na osi \\(y\\)!</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Odczyt z wykresu</h5>\n<p>Wykres osiąga maksimum \\(y=4\\) w dwóch punktach: \\((-1, 4)\\) (koniec lewy) oraz \\((7, 4)\\) (koniec prawy). Największa wartość funkcji = \\(4\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Weryfikacja zakresu</h5>\n<p>Dziedzina: \\(x\\in\\langle -1, 7\\rangle\\). Dla \\(x=-1\\): \\(y=4\\). Dla \\(x=1\\): \\(y=0\\) (minimum). Dla \\(x=7\\): \\(y=4\\). Zatem max = 4.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(2\\)</strong> - to wartość w punkcie \\(x=0\\), nie maksimum.</li><li><strong>C. \\(6\\), D. \\(7\\)</strong> - nie występują na wykresie jako wartości \\(y\\).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> największa wartość = najwyższy punkt wykresu (oś \\(y\\)).</p>"}]}