{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa","number":"12","points":1,"ptype":"true_false","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (0-1)\nFunkcja 𝑦= 𝑓(𝑥) jest określona za pomocą tabeli\n𝒙\n-2 -1\n0\n1\n2\n𝒚\n-1\n0\n1\n0\n3\nOceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest\nprawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.\nFunkcja 𝑓 ma dokładnie jedno miejsce zerowe.\nP\nF\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) wykres funkcji 𝑓 jest\nsymetryczny względem osi 𝑂𝑦.\nP\nF\nFunkcja y=f(x) jest określona za pomocą tabeli x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | y | -1 | 0 | 1 | 0 | 3 Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe. Funkcja f ma dokładnie jedno miejsce zerowe. P F W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) wykres funkcji f jest symetryczny względem osi Oy. P F","answer":"FF","answer_text":"Zadanie 12. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nV.3) odczytuje i interpretuje wartości funkcji\nokreślonych za pomocą tabel […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nFF","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(\\langle -1, 1\\rangle\\)\n\n## Sposób 1 - Odczyt z wykresu: gdzie funkcja \"idzie w dół\"\n\n**Krok 1: Przypomnij sobie definicję funkcji malejącej.**\n\nFunkcja \\(f\\) jest **malejąca** na przedziale \\(\\langle a, b \\rangle\\), jeśli dla każdych \\(x_1, x_2\\) z tego przedziału:\n\\[x_1 < x_2 \\implies f(x_1) > f(x_2)\\]\n\nMówiąc obrazowo: **im dalej w prawo na osi \\(x\\), tym niżej jest wykres**.\n\n**Krok 2: Prześlij wzrokiem wykres od lewej do prawej.**\n\nPatrzysz na wykres i pytasz: w którym miejscu wykres \"opada\" - czyli idzie w dół gdy przesuwasz się w prawo?\n\nZ wykresu (rysunek 1.) odczytujesz, że funkcja opada (malejąca) na przedziale od \\(x = -1\\) do \\(x = 1\\).\n\n**Krok 3: Sprawdź krańce przedziału.**\n\nKońce \\(x = -1\\) i \\(x = 1\\) to punkty, w których funkcja zmienia zachowanie (np. lokalny maksimum przy \\(x = -1\\) i lokalny minimum przy \\(x = 1\\) lub odwrotnie). Przedział jest **domknięty** \\(\\langle -1, 1 \\rangle\\), bo w tych punktach funkcja nadal \"należy\" do malejącej gałęzi wykresu.\n\n**Wniosek:** Funkcja \\(f\\) jest malejąca w zbiorze \\(\\langle -1, 1 \\rangle\\).\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez eliminację pozostałych przedziałów\n\nSprawdzamy każdą odpowiedź, czy wykres rzeczywiście opada na tym przedziale:\n\n- **\\(\\langle 0, 4 \\rangle\\)**: Na tym przedziale wykres najpierw opada (do \\(x=1\\)), a potem **rośnie** (od \\(x=1\\) do \\(x=4\\)). Przedział nie jest w całości malejący - **odpada**.\n\n- **\\(\\langle 1, 7 \\rangle\\)**: Od \\(x=1\\) do \\(x=4\\) wykres rośnie. **Odpada.**\n\n- **\\(\\langle 4, 7 \\rangle\\)**: Od \\(x=4\\) do \\(x=7\\) wykres rośnie (lub jest innego charakteru niż malejący). **Odpada.**\n\n- **\\(\\langle -1, 1 \\rangle\\)**: Na całym tym przedziale wykres konsekwentnie opada - **to jedyna poprawna odpowiedź.**\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja funkcji malejącej i odczyt z wykresu. Definicji tej nie ma wprost na karcie wzorów, pochodzi ona z podstawy programowej.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odpowiedź | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| B: \\(\\langle 0, 4 \\rangle\\) | Uczeń zauważa, że funkcja **gdzieś maleje** w tym przedziale, ale zapomina, że **cały** przedział musi być malejący. Od \\(x=1\\) do \\(x=4\\) funkcja rośnie - przedział jest za szeroki. |\n| C: \\(\\langle 1, 7 \\rangle\\) | Pomylenie punktu minimum (\\(x=1\\)) z punktem, od którego funkcja maleje - jest odwrotnie, tu funkcja zaczyna rosnąć. |\n| D: \\(\\langle 4, 7 \\rangle\\) | Uczeń wskazuje fragment rosnący wykresu zamiast malejącego. Typowa pomyłka: zamiana \"rośnie\" z \"maleje\". |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Funkcja malejąca to taka, której wykres **opada** przy przesuwaniu się w prawo. Wiele osób myli \"maleje\" z \"przyjmuje ujemne wartości\" - to dwa różne pojęcia! Funkcja może mieć ujemne wartości i rosnąć, albo dodatnie wartości i maleć.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź **cały** zaproponowany przedział, nie tylko jego fragment. Odpowiedź B (\\(\\langle 0, 4 \\rangle\\)) jest pułapką - funkcja maleje tam tylko na początku, a potem rośnie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przedziały podano jako **domknięte** \\(\\langle a, b \\rangle\\) - to poprawne, bo w punktach krańcowych (\\(x=-1\\) i \\(x=1\\)) funkcja nadal należy do malejącej gałęzi (nawet jeśli to lokalne ekstrema, definicja malejącej obejmuje krańce).\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Odczyt przedziałów monotoniczności\nZ wykresu: na odcinku od \\((-1, 4)\\) do \\((1, 0)\\) funkcja maleje, a od \\((1, 0)\\) do \\((7, 4)\\) rośnie. Zbiór malejący: \\(\\langle -1, 1\\rangle\\).\n\n### Sposób 2 - Test punktowy\nDla \\(x=-1\\): \\(y=4\\); \\(x=0\\): \\(y=2\\); \\(x=1\\): \\(y=0\\). Wartości maleją → A.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(\\langle 0, 4\\rangle\\)** - obejmuje fragment rosnący.\n- **C. \\(\\langle 1, 7\\rangle\\)** - funkcja tu rośnie.\n- **D. \\(\\langle 4, 7\\rangle\\)** - funkcja rośnie.\n\n**Trik:** przedział malejącości - osie na wykresie schodzą w dół (oś \\(y\\) ↓, \\(x\\) ↑).","image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/sol-12.svg","topics":"Funkcje","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 12. (0-1)<br>Funkcja 𝑦= 𝑓(𝑥) jest określona za pomocą tabeli<br>𝒙<br>-2 -1<br>0<br>1<br>2<br>𝒚<br>-1<br>0<br>1<br>0<br>3<br>Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest<br>prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.<br>Funkcja 𝑓 ma dokładnie jedno miejsce zerowe.<br>P<br>F<br>W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) wykres funkcji 𝑓 jest<br>symetryczny względem osi 𝑂𝑦.<br>P<br>F<br>Funkcja y=f(x) jest określona za pomocą tabeli x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | y | -1 | 0 | 1 | 0 | 3 Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe. Funkcja f ma dokładnie jedno miejsce zerowe. P F W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) wykres funkcji f jest symetryczny względem osi Oy. P F</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 12. (0-1)<br>Wymagania egzaminacyjne 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>II. Wykorzystanie i tworzenie informacji.</p>\n<ol><li>Interpretowanie i operowanie</li></ol>\n<p>informacjami przedstawionymi w tekście,<br>zarówno matematycznym, jak<br>i popularnonaukowym, a także w formie<br>wykresów, diagramów, tabel.<br>Zdający:<br>V.3) odczytuje i interpretuje wartości funkcji<br>określonych za pomocą tabel […].<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>FF</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/sol-12.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A - \\(\\langle -1, 1\\rangle\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Odczyt z wykresu: gdzie funkcja &quot;idzie w dół&quot;</h4>\n<p><strong>Krok 1: Przypomnij sobie definicję funkcji malejącej.</strong></p>\n<p>Funkcja \\(f\\) jest <strong>malejąca</strong> na przedziale \\(\\langle a, b \\rangle\\), jeśli dla każdych \\(x_1, x_2\\) z tego przedziału:<br>\\[x_1 &lt; x_2 \\implies f(x_1) &gt; f(x_2)\\]</p>\n<p>Mówiąc obrazowo: <strong>im dalej w prawo na osi \\(x\\), tym niżej jest wykres</strong>.</p>\n<p><strong>Krok 2: Prześlij wzrokiem wykres od lewej do prawej.</strong></p>\n<p>Patrzysz na wykres i pytasz: w którym miejscu wykres &quot;opada&quot; - czyli idzie w dół gdy przesuwasz się w prawo?</p>\n<p>Z wykresu (rysunek 1.) odczytujesz, że funkcja opada (malejąca) na przedziale od \\(x = -1\\) do \\(x = 1\\).</p>\n<p><strong>Krok 3: Sprawdź krańce przedziału.</strong></p>\n<p>Końce \\(x = -1\\) i \\(x = 1\\) to punkty, w których funkcja zmienia zachowanie (np. lokalny maksimum przy \\(x = -1\\) i lokalny minimum przy \\(x = 1\\) lub odwrotnie). Przedział jest <strong>domknięty</strong> \\(\\langle -1, 1 \\rangle\\), bo w tych punktach funkcja nadal &quot;należy&quot; do malejącej gałęzi wykresu.</p>\n<p><strong>Wniosek:</strong> Funkcja \\(f\\) jest malejąca w zbiorze \\(\\langle -1, 1 \\rangle\\).</p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez eliminację pozostałych przedziałów</h4>\n<p>Sprawdzamy każdą odpowiedź, czy wykres rzeczywiście opada na tym przedziale:</p>\n<ul><li><strong>\\(\\langle 0, 4 \\rangle\\)</strong>: Na tym przedziale wykres najpierw opada (do \\(x=1\\)), a potem <strong>rośnie</strong> (od \\(x=1\\) do \\(x=4\\)). Przedział nie jest w całości malejący - <strong>odpada</strong>.</li></ul>\n<ul><li><strong>\\(\\langle 1, 7 \\rangle\\)</strong>: Od \\(x=1\\) do \\(x=4\\) wykres rośnie. <strong>Odpada.</strong></li></ul>\n<ul><li><strong>\\(\\langle 4, 7 \\rangle\\)</strong>: Od \\(x=4\\) do \\(x=7\\) wykres rośnie (lub jest innego charakteru niż malejący). <strong>Odpada.</strong></li></ul>\n<ul><li><strong>\\(\\langle -1, 1 \\rangle\\)</strong>: Na całym tym przedziale wykres konsekwentnie opada - <strong>to jedyna poprawna odpowiedź.</strong></li></ul>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja funkcji malejącej i odczyt z wykresu. Definicji tej nie ma wprost na karcie wzorów, pochodzi ona z podstawy programowej.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odpowiedź | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |<br>| B: \\(\\langle 0, 4 \\rangle\\) | Uczeń zauważa, że funkcja <strong>gdzieś maleje</strong> w tym przedziale, ale zapomina, że <strong>cały</strong> przedział musi być malejący. Od \\(x=1\\) do \\(x=4\\) funkcja rośnie - przedział jest za szeroki. |<br>| C: \\(\\langle 1, 7 \\rangle\\) | Pomylenie punktu minimum (\\(x=1\\)) z punktem, od którego funkcja maleje - jest odwrotnie, tu funkcja zaczyna rosnąć. |<br>| D: \\(\\langle 4, 7 \\rangle\\) | Uczeń wskazuje fragment rosnący wykresu zamiast malejącego. Typowa pomyłka: zamiana &quot;rośnie&quot; z &quot;maleje&quot;. |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Funkcja malejąca to taka, której wykres <strong>opada</strong> przy przesuwaniu się w prawo. Wiele osób myli &quot;maleje&quot; z &quot;przyjmuje ujemne wartości&quot; - to dwa różne pojęcia! Funkcja może mieć ujemne wartości i rosnąć, albo dodatnie wartości i maleć.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Sprawdź <strong>cały</strong> zaproponowany przedział, nie tylko jego fragment. Odpowiedź B (\\(\\langle 0, 4 \\rangle\\)) jest pułapką - funkcja maleje tam tylko na początku, a potem rośnie.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przedziały podano jako <strong>domknięte</strong> \\(\\langle a, b \\rangle\\) - to poprawne, bo w punktach krańcowych (\\(x=-1\\) i \\(x=1\\)) funkcja nadal należy do malejącej gałęzi (nawet jeśli to lokalne ekstrema, definicja malejącej obejmuje krańce).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Odczyt przedziałów monotoniczności</h5>\n<p>Z wykresu: na odcinku od \\((-1, 4)\\) do \\((1, 0)\\) funkcja maleje, a od \\((1, 0)\\) do \\((7, 4)\\) rośnie. Zbiór malejący: \\(\\langle -1, 1\\rangle\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Test punktowy</h5>\n<p>Dla \\(x=-1\\): \\(y=4\\); \\(x=0\\): \\(y=2\\); \\(x=1\\): \\(y=0\\). Wartości maleją → A.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>B. \\(\\langle 0, 4\\rangle\\)</strong> - obejmuje fragment rosnący.</li><li><strong>C. \\(\\langle 1, 7\\rangle\\)</strong> - funkcja tu rośnie.</li><li><strong>D. \\(\\langle 4, 7\\rangle\\)</strong> - funkcja rośnie.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> przedział malejącości - osie na wykresie schodzą w dół (oś \\(y\\) ↓, \\(x\\) ↑).</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Funkcja ma dwa miejsca zerowe: -1 oraz 1 , więc pierwsze zdanie jest fałszywe. Ponieważ f(-2)=-1 , natomiast f(2)=3 , wykres nie jest symetryczny względem osi Oy .</p>"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>FF</p>"}]}