{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (0-1)\nLiczba 2 jest miejscem zerowym funkcji liniowej 𝑓(𝑥) = (3 -𝑚)𝑥+ 4.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba 𝑚 jest równa\nA. 0\nB. 3\nC. 4\nD. 5\n\nMMAP-P0_100\nLiczba 2 jest miejscem zerowym funkcji liniowej f(x)=(3-m)x+4. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba m jest równa A. 0 B. 3 C. 4 D. 5","answer":"D","answer_text":"Zadanie 13. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nV.6) wyznacza wzór funkcji liniowej na\npodstawie informacji […] o jej własnościach.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\n\\(g(x) = f(x+4)\\)\n\n## Sposób 1 - Reguła przesunięcia wykresu wzdłuż osi \\(Ox\\)\n\n**Zapamiętaj ogólną zasadę:**\n\nJeśli wykres funkcji \\(g\\) powstaje z wykresu \\(f\\) przez przesunięcie **o \\(k\\) jednostek w lewo** wzdłuż osi \\(Ox\\), to:\n\\[g(x) = f(x + k)\\]\n\nJeśli przesunięcie jest **w prawo o \\(k\\) jednostek**, to:\n\\[g(x) = f(x - k)\\]\n\nW naszym zadaniu: przesunięcie **o 4 jednostki w lewo**, więc \\(k = 4\\).\n\n**Zatem:**\n\\[\\boxed{g(x) = f(x + 4)}\\]\n\n## Sposób 2 - Rozumowanie przez konkretny punkt\n\nSprawdźmy logikę na przykładzie.\n\nZałóżmy, że punkt \\(P = (3,\\ y_0)\\) leży na wykresie funkcji \\(f\\), czyli \\(f(3) = y_0\\).\n\nPo przesunięciu wykresu o 4 jednostki **w lewo**, ten punkt trafia w miejsce:\n\\[P' = (3 - 4,\\ y_0) = (-1,\\ y_0)\\]\n\nCzyli \\(g(-1) = y_0\\).\n\nSprawdzamy, która odpowiedź to daje:\n\\[g(x) = f(x+4) \\implies g(-1) = f(-1+4) = f(3) = y_0 \\checkmark\\]\n\n**Zgadza się** - nowa funkcja \\(g\\) w punkcie \\(x = -1\\) przyjmuje tę samą wartość co \\(f\\) w punkcie \\(x = 3\\), bo wykres \"przesunął się w lewo\".\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość definicji przekształceń wykresów funkcji (przesunięcie wzdłuż osi \\(Ox\\) i \\(Oy\\)).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| **B** | \\(g(x) = f(x-4)\\) - to byłoby przesunięcie o 4 jednostki **w prawo**, nie w lewo. Najczęstszy błąd! |\n| **C** | \\(g(x) = f(x)+4\\) - to przesunięcie o 4 jednostki **w górę** (wzdłuż osi \\(Oy\\)), nie wzdłuż \\(Ox\\) |\n| **D** | \\(g(x) = f(x)-4\\) - to przesunięcie o 4 jednostki **w dół** (wzdłuż osi \\(Oy\\)), nie wzdłuż \\(Ox\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przesunięcie **w lewo o \\(k\\)** daje \\(f(x\\mathbf{+}k)\\), a przesunięcie **w prawo o \\(k\\)** daje \\(f(x\\mathbf{-}k)\\). Znaki są **odwrotne** niż intuicja podpowiada - to najczęstszy błąd w tym typie zadań!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić przesunięcia wzdłuż \\(Ox\\) (zmiana argumentu: \\(f(x \\pm k)\\)) z przesunięciem wzdłuż \\(Oy\\) (zmiana wartości: \\(f(x) \\pm k\\)). Odpowiedzi C i D dotyczą właśnie \\(Oy\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Jeśli masz dostęp do wykresu na rysunku, zawsze sprawdź jeden konkretny punkt - jak w Sposobie 2. To pewna weryfikacja i ochrona przed błędem ze znakiem.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Karta wzorów (przesunięcia)\nPrzesunięcie o \\(a\\) w lewo wzdłuż \\(Ox\\): \\(g(x) = f(x+a)\\). Tu \\(a=4\\), więc \\(g(x) = f(x+4)\\).\n\n### Sposób 2 - Weryfikacja punktu\nPunkt minimum \\(f\\): \\((1,0)\\). Po przesunięciu o 4 w lewo: \\((-3,0)\\) (co widać na rys. 2). Sprawdzamy: \\(g(-3) = f(-3+4) = f(1) = 0\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(f(x-4)\\)** - przesunięcie w prawo.\n- **C. \\(f(x)+4\\)** - przesunięcie w górę.\n- **D. \\(f(x)-4\\)** - przesunięcie w dół.\n\n**Trik:** w lewo - do argumentu dodaj \\(a\\) (znak **przeciwny** do kierunku w układzie).","image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/sol-13.svg","topics":"Funkcja liniowa, funkcje","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 13. (0-1)
Liczba 2 jest miejscem zerowym funkcji liniowej 𝑓(𝑥) = (3 -𝑚)𝑥+ 4.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba 𝑚 jest równa
A. 0
B. 3
C. 4
D. 5

\n

MMAP-P0_100
Liczba 2 jest miejscem zerowym funkcji liniowej f(x)=(3-m)x+4. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba m jest równa A. 0 B. 3 C. 4 D. 5

","answer_text_html":"

Zadanie 13. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 2024
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Stosowanie obiektów matematycznych
\n

i operowanie nimi, interpretowanie pojęć
matematycznych.
Zdający:
V.6) wyznacza wzór funkcji liniowej na
podstawie informacji […] o jej własnościach.
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
D

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/sol-13.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: A

\n

\\(g(x) = f(x+4)\\)

\n

Sposób 1 - Reguła przesunięcia wykresu wzdłuż osi \\(Ox\\)

\n

Zapamiętaj ogólną zasadę:

\n

Jeśli wykres funkcji \\(g\\) powstaje z wykresu \\(f\\) przez przesunięcie o \\(k\\) jednostek w lewo wzdłuż osi \\(Ox\\), to:
\\[g(x) = f(x + k)\\]

\n

Jeśli przesunięcie jest w prawo o \\(k\\) jednostek, to:
\\[g(x) = f(x - k)\\]

\n

W naszym zadaniu: przesunięcie o 4 jednostki w lewo, więc \\(k = 4\\).

\n

Zatem:
\\[\\boxed{g(x) = f(x + 4)}\\]

\n

Sposób 2 - Rozumowanie przez konkretny punkt

\n

Sprawdźmy logikę na przykładzie.

\n

Załóżmy, że punkt \\(P = (3,\\ y_0)\\) leży na wykresie funkcji \\(f\\), czyli \\(f(3) = y_0\\).

\n

Po przesunięciu wykresu o 4 jednostki w lewo, ten punkt trafia w miejsce:
\\[P' = (3 - 4,\\ y_0) = (-1,\\ y_0)\\]

\n

Czyli \\(g(-1) = y_0\\).

\n

Sprawdzamy, która odpowiedź to daje:
\\[g(x) = f(x+4) \\implies g(-1) = f(-1+4) = f(3) = y_0 \\checkmark\\]

\n

Zgadza się - nowa funkcja \\(g\\) w punkcie \\(x = -1\\) przyjmuje tę samą wartość co \\(f\\) w punkcie \\(x = 3\\), bo wykres "przesunął się w lewo".

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość definicji przekształceń wykresów funkcji (przesunięcie wzdłuż osi \\(Ox\\) i \\(Oy\\)).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| B | \\(g(x) = f(x-4)\\) - to byłoby przesunięcie o 4 jednostki w prawo, nie w lewo. Najczęstszy błąd! |
| C | \\(g(x) = f(x)+4\\) - to przesunięcie o 4 jednostki w górę (wzdłuż osi \\(Oy\\)), nie wzdłuż \\(Ox\\) |
| D | \\(g(x) = f(x)-4\\) - to przesunięcie o 4 jednostki w dół (wzdłuż osi \\(Oy\\)), nie wzdłuż \\(Ox\\) |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Przesunięcie w lewo o \\(k\\) daje \\(f(x\\mathbf{+}k)\\), a przesunięcie w prawo o \\(k\\) daje \\(f(x\\mathbf{-}k)\\). Znaki są odwrotne niż intuicja podpowiada - to najczęstszy błąd w tym typie zadań!
\n
⚠️ Uwaga: Nie mylić przesunięcia wzdłuż \\(Ox\\) (zmiana argumentu: \\(f(x \\pm k)\\)) z przesunięciem wzdłuż \\(Oy\\) (zmiana wartości: \\(f(x) \\pm k\\)). Odpowiedzi C i D dotyczą właśnie \\(Oy\\).
\n
⚠️ Uwaga: Jeśli masz dostęp do wykresu na rysunku, zawsze sprawdź jeden konkretny punkt - jak w Sposobie 2. To pewna weryfikacja i ochrona przed błędem ze znakiem.
\n

Poprawna odpowiedź: A

\n
Sposób 1 - Karta wzorów (przesunięcia)
\n

Przesunięcie o \\(a\\) w lewo wzdłuż \\(Ox\\): \\(g(x) = f(x+a)\\). Tu \\(a=4\\), więc \\(g(x) = f(x+4)\\).

\n
Sposób 2 - Weryfikacja punktu
\n

Punkt minimum \\(f\\): \\((1,0)\\). Po przesunięciu o 4 w lewo: \\((-3,0)\\) (co widać na rys. 2). Sprawdzamy: \\(g(-3) = f(-3+4) = f(1) = 0\\) ✓.

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: w lewo - do argumentu dodaj \\(a\\) (znak przeciwny do kierunku w układzie).

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"

Rozwiązanie

\n
  1. Zauważamy, że liczba $2$ jest miejscem zerowym funkcji liniowej $f(x) = (3 - m)x + 4$. Oznacza to, że podstawiając $x = 2$ do tej funkcji, otrzymamy wartość $f(2) = 0$.
\n
  1. Zapisujemy równanie: $$\\begin{aligned} f(2) &= (3 - m) \\times 2 + 4 \\ &= 0 \\\\ \\text{Teraz musimy rozwiązać to równanie.} \\\\ \\text{Przekształcamy równanie.} \\\\ 2(3 - m) + 4 &= 0 \\\\ 6 - 2m + 4 &= 0 \\\\ 10 - 2m &= 0 \\\\ \\text{Teraz przechodzimy do kolejnego kroku.} \\\\ 10 &= 2m \\\\ \\text{Dzielimy obie strony równania przez 2.} \\ m &= 5 \\\\ \\text{Ostatecznie liczba } m \\text{ jest równa } 5. \\\\ \\text{Odpowiedź to: D.} \\\\ \\text{Podsumowując, } m = 5 \\text{ jest zgodne z warunkami zadania.}
\n

\\end{aligned}$$

\n

Odpowiedź: D

"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

Podstawiamy x=2 , ponieważ liczba 2 jest miejscem zerowym funkcji:

\n

f(2)=0.

\n

(3-m)·2+4=0.

\n

6-2m+4=0.

\n

10-2m=0.

\n

-2m=-10.

\n

m=5.

\n

Odpowiedź: D. m=5 .

"}]}