{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa","number":"14","points":2,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (0-2)\nParabola, która jest wykresem funkcji kwadratowej 𝑓, ma z osiami kartezjańskiego układu\nwspółrzędnych (𝑥, 𝑦) dokładnie dwa punkty wspólne: 𝑀= (0, 18) oraz 𝑁= (3, 0).\nWyznacz wzór funkcji kwadratowej 𝒇. Zapisz obliczenia.\n\nMMAP-P0_100\nParabola, która jest wykresem funkcji kwadratowej f, ma z osiami kartezjańskiego układu współrzędnych (x,y) dokładnie dwa punkty wspólne: M=(0,18) oraz N=(3,0). Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f.","answer":"f(x)=2(x-3)^2","answer_text":"Zadanie 14. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n3. Dobieranie argumentów do uzasadnienia\npoprawności rozwiązywania problemów,\ntworzenie ciągu argumentów,\ngwarantujących poprawność rozwiązania\ni skuteczność w poszukiwaniu rozwiązań\nzagadnienia.\nZdający:\nV.9) wyznacza wzór funkcji kwadratowej na\npodstawie informacji o tej funkcji lub o jej\nwykresie.\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawna metoda i zapisanie wzoru funkcji 𝑓 z poprawnymi wartościami\nwspółczynników, np.: 𝑓(𝑥) = 2(𝑥-3)2, 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 -12𝑥+ 18 .\n1 pkt - zapisanie wzoru funkcji 𝑓 w postaci kanonicznej z uwzględnieniem, że punkt 𝑁 jest\nwierzchołkiem paraboli będącej wykresem funkcji 𝑓: 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-3)2\nALBO\n- zapisanie wartości wyrazu wolnego funkcji 𝑓, np.: 𝑐= 18, 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 18 ,\nALBO\n- zapisanie równania 𝑏2 -4𝑎𝑐= 0 ,\nALBO\n- zapisanie równania -𝑏\n2𝑎= 3 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPonieważ punkt 𝑁= (3, 0) jest jedynym punktem wspólnym wykresu funkcji 𝑓 i osi 𝑂𝑥,\nwięc jest to wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji 𝑓.\nZapisujemy wzór funkcji 𝑓 w postaci kanonicznej:\n𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-3)2, gdzie 𝑎≠0\nPunkt 𝑀= (0, 18) leży na wykresie funkcji 𝑓, zatem\n𝑓(0) = 18\n𝑎(0 -3)2 = 18\n9𝑎= 18\n𝑎= 2\nZatem 𝑓(𝑥) = 2(𝑥-3)2 .\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nSposób II\nZapisujemy wzór funkcji 𝑓 w postaci ogólnej:\n𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐, gdzie 𝑎≠0 oraz 𝑏, 𝑐∈ℝ\nPunkt 𝑀= (0, 18) leży na wykresie funkcji 𝑓, zatem\n𝑓(0) = 18\n𝑎∙02 + 𝑏∙0 + 𝑐= 18\n𝑐= 18\nPonieważ punkt 𝑁= (3, 0) jest jedynym punktem wspólnym wykresu funkcji 𝑓 i osi 𝑂𝑥,\nwięc liczba 3 jest jedynym miejscem zerowym tej funkcji.\nStąd otrzymujemy:\nΔ = 𝑏2 -4𝑎𝑐= 0 oraz 𝑥0 = -𝑏\n2𝑎= 3\n𝑏2 -4𝑎⋅18 = 0 oraz 𝑏= -6𝑎\nZatem\n(-6𝑎)2 -4𝑎⋅18 = 0\n36𝑎2 -72𝑎= 0\n36𝑎(𝑎-2) = 0\n𝑎= 0 lub 𝑎= 2\nFunkcja 𝑓 jest kwadratowa, więc 𝑎= 2 i wówczas 𝑏= -6𝑎= -12 .\nZatem 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 -12𝑥+ 18 .","solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\n## Sposób 1 - Odczyt postaci kanonicznej\n\nWzór funkcji jest już podany w **postaci kanonicznej**:\n\\[f(x) = -(x+1)^2 + 4\\]\n\nPostać kanoniczna to \\(f(x) = a(x-p)^2 + q\\), gdzie \\(W = (p, q)\\) to wierzchołek.\n\n**Krok 1: Wyznacz współczynnik \\(a\\).**\n\n\\[a = -1\\]\n\nPonieważ \\(a < 0\\), parabola jest **skierowana ramionami w dół**. Eliminujemy od razu odpowiedzi A i C (ramiona w górę).\n\n**Krok 2: Wyznacz wierzchołek.**\n\nPorównujemy \\(-(x+1)^2 + 4\\) z \\(a(x-p)^2 + q\\):\n\\[x + 1 = x - (-1) \\implies p = -1\\]\n\\[q = 4\\]\n\nWierzchołek: \\(W = (-1, 4)\\).\n\n**Krok 3: Dopasuj wykres.**\n\nSzukamy paraboli z ramionami w dół i wierzchołkiem \\((-1, 4)\\) - to **wykres B**.\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie punktów\n\nObliczamy kilka wartości funkcji i sprawdzamy, czy pasują do wykresu B.\n\n**Wierzchołek:**\n\\[f(-1) = -(-1+1)^2 + 4 = -(0)^2 + 4 = 4\\]\nPunkt \\((-1, 4)\\) leży na wykresie. ✓\n\n**Miejsca zerowe** (gdzie \\(f(x) = 0\\)):\n\\[-(x+1)^2 + 4 = 0\\]\n\\[(x+1)^2 = 4\\]\n\\[x + 1 = \\pm 2\\]\n\\[x_1 = -3, \\quad x_2 = 1\\]\n\nParabola przecina oś \\(OX\\) w punktach \\((-3, 0)\\) i \\((1, 0)\\). Są one symetryczne względem \\(x = -1\\) (oś symetrii paraboli). ✓\n\n**Wartość \\(f(0)\\):**\n\\[f(0) = -(0+1)^2 + 4 = -1 + 4 = 3\\]\n\nParabola przecina oś \\(OY\\) w punkcie \\((0, 3)\\). Wszystko spójne z wykresem B. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać kanoniczna i wierzchołek:\n\\[f(x) = a(x-p)^2 + q, \\quad W = (p, q), \\quad p = -\\frac{b}{2a}, \\quad q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\]\n\nGdy wzór jest już w postaci kanonicznej (jak tutaj), wierzchołek odczytujemy bezpośrednio - nie trzeba liczyć \\(\\Delta\\).\n\nZnak \\(a\\):\n- \\(a > 0\\) → ramiona **w górę** (parabola \"uśmiechnięta\")\n- \\(a < 0\\) → ramiona **w dół** (parabola \"smutna\")\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Wzięto \\(a = +1\\) zamiast \\(a = -1\\) - parabola skierowana w górę zamiast w dół; dodatkowo błędny wierzchołek \\((1, -4)\\) |\n| C | Ramiona w górę (błędny znak \\(a\\)), wierzchołek \\((-1, -4)\\) - pominięto \\(+4\\) z postaci kanonicznej |\n| D | Wierzchołek \\((1, 4)\\) zamiast \\((-1, 4)\\) - mylne odczytanie: \\(f(x) = -(x+1)^2\\) daje \\(p = -1\\), nie \\(p = 1\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W postaci \\(a(x-p)^2 + q\\) wierzchołek to \\((p, q)\\). We wzorze \\((x\\mathbf{+}1)^2\\) mamy \\(x - (-1)\\), więc \\(p = \\mathbf{-1}\\), nie \\(+1\\)! To najczęstszy błąd w tym typie zadania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Znak przed nawiasem kwadratowym decyduje o kierunku ramion - \\(-(\\ldots)^2\\) to zawsze parabola z ramionami **w dół**, niezależnie od tego, co jest w nawiasie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź D ma dobry kierunek ramion (w dół), ale błędny wierzchołek \\((1, 4)\\) - to pułapka dla uczniów, którzy odczytają znak \\(p\\) bez zastanowienia.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Karta wzorów (postać kanoniczna)\n\\(f(x) = a(x-p)^2 + q\\), tu \\(a = -1\\), \\(p = -1\\), \\(q = 4\\).\nRamiona w dół (\\(a<0\\)), wierzchołek w \\((-1, 4)\\) → wykres B.\n\n### Sposób 2 - Weryfikacja punktów\n\\(f(0) = -(1)^2 + 4 = 3\\); \\(f(-1) = 0 + 4 = 4\\) (wierzchołek); \\(f(1) = -4 + 4 = 0\\). Pasuje do wykresu B.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A, C** - \\(a = -1 < 0\\), więc ramiona w dół (nie w górę).\n- **D** - wierzchołek \\((1, 4)\\) błędny (powinno być \\(-1\\)).\n\n**Trik:** w \\((x+1)^2\\) wierzchołek ma \\(x = -1\\) (znak przeciwny); znak przed \\((\\cdot)^2\\) decyduje o ramionach.","image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/sol-14.svg","topics":"Funkcja kwadratowa, funkcje","page_from":13,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 14. (0-2)<br>Parabola, która jest wykresem funkcji kwadratowej 𝑓, ma z osiami kartezjańskiego układu<br>współrzędnych (𝑥, 𝑦) dokładnie dwa punkty wspólne: 𝑀= (0, 18) oraz 𝑁= (3, 0).<br>Wyznacz wzór funkcji kwadratowej 𝒇. Zapisz obliczenia.</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>Parabola, która jest wykresem funkcji kwadratowej f, ma z osiami kartezjańskiego układu współrzędnych (x,y) dokładnie dwa punkty wspólne: M=(0,18) oraz N=(3,0). Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 14. (0-2)<br>Wymagania egzaminacyjne 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>IV. Rozumowanie i argumentacja.</p>\n<ol><li>Dobieranie argumentów do uzasadnienia</li></ol>\n<p>poprawności rozwiązywania problemów,<br>tworzenie ciągu argumentów,<br>gwarantujących poprawność rozwiązania<br>i skuteczność w poszukiwaniu rozwiązań<br>zagadnienia.<br>Zdający:<br>V.9) wyznacza wzór funkcji kwadratowej na<br>podstawie informacji o tej funkcji lub o jej<br>wykresie.<br>Zasady oceniania<br>2 pkt - poprawna metoda i zapisanie wzoru funkcji 𝑓 z poprawnymi wartościami<br>współczynników, np.: 𝑓(𝑥) = 2(𝑥-3)2, 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 -12𝑥+ 18 .<br>1 pkt - zapisanie wzoru funkcji 𝑓 w postaci kanonicznej z uwzględnieniem, że punkt 𝑁 jest<br>wierzchołkiem paraboli będącej wykresem funkcji 𝑓: 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-3)2<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie wartości wyrazu wolnego funkcji 𝑓, np.: 𝑐= 18, 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 18 ,</li></ul>\n<p>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie równania 𝑏2 -4𝑎𝑐= 0 ,</li></ul>\n<p>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie równania -𝑏</li></ul>\n<p>2𝑎= 3 .<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób I<br>Ponieważ punkt 𝑁= (3, 0) jest jedynym punktem wspólnym wykresu funkcji 𝑓 i osi 𝑂𝑥,<br>więc jest to wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji 𝑓.<br>Zapisujemy wzór funkcji 𝑓 w postaci kanonicznej:<br>𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-3)2, gdzie 𝑎≠0<br>Punkt 𝑀= (0, 18) leży na wykresie funkcji 𝑓, zatem<br>𝑓(0) = 18<br>𝑎(0 -3)2 = 18<br>9𝑎= 18<br>𝑎= 2<br>Zatem 𝑓(𝑥) = 2(𝑥-3)2 .<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Sposób II<br>Zapisujemy wzór funkcji 𝑓 w postaci ogólnej:<br>𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐, gdzie 𝑎≠0 oraz 𝑏, 𝑐∈ℝ<br>Punkt 𝑀= (0, 18) leży na wykresie funkcji 𝑓, zatem<br>𝑓(0) = 18<br>𝑎∙02 + 𝑏∙0 + 𝑐= 18<br>𝑐= 18<br>Ponieważ punkt 𝑁= (3, 0) jest jedynym punktem wspólnym wykresu funkcji 𝑓 i osi 𝑂𝑥,<br>więc liczba 3 jest jedynym miejscem zerowym tej funkcji.<br>Stąd otrzymujemy:<br>Δ = 𝑏2 -4𝑎𝑐= 0 oraz 𝑥0 = -𝑏<br>2𝑎= 3<br>𝑏2 -4𝑎⋅18 = 0 oraz 𝑏= -6𝑎<br>Zatem<br>(-6𝑎)2 -4𝑎⋅18 = 0<br>36𝑎2 -72𝑎= 0<br>36𝑎(𝑎-2) = 0<br>𝑎= 0 lub 𝑎= 2<br>Funkcja 𝑓 jest kwadratowa, więc 𝑎= 2 i wówczas 𝑏= -6𝑎= -12 .<br>Zatem 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 -12𝑥+ 18 .</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/sol-14.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B</h4>\n<h4>Sposób 1 - Odczyt postaci kanonicznej</h4>\n<p>Wzór funkcji jest już podany w <strong>postaci kanonicznej</strong>:<br>\\[f(x) = -(x+1)^2 + 4\\]</p>\n<p>Postać kanoniczna to \\(f(x) = a(x-p)^2 + q\\), gdzie \\(W = (p, q)\\) to wierzchołek.</p>\n<p><strong>Krok 1: Wyznacz współczynnik \\(a\\).</strong></p>\n<p>\\[a = -1\\]</p>\n<p>Ponieważ \\(a &lt; 0\\), parabola jest <strong>skierowana ramionami w dół</strong>. Eliminujemy od razu odpowiedzi A i C (ramiona w górę).</p>\n<p><strong>Krok 2: Wyznacz wierzchołek.</strong></p>\n<p>Porównujemy \\(-(x+1)^2 + 4\\) z \\(a(x-p)^2 + q\\):<br>\\[x + 1 = x - (-1) \\implies p = -1\\]<br>\\[q = 4\\]</p>\n<p>Wierzchołek: \\(W = (-1, 4)\\).</p>\n<p><strong>Krok 3: Dopasuj wykres.</strong></p>\n<p>Szukamy paraboli z ramionami w dół i wierzchołkiem \\((-1, 4)\\) - to <strong>wykres B</strong>.</p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie punktów</h4>\n<p>Obliczamy kilka wartości funkcji i sprawdzamy, czy pasują do wykresu B.</p>\n<p><strong>Wierzchołek:</strong><br>\\[f(-1) = -(-1+1)^2 + 4 = -(0)^2 + 4 = 4\\]<br>Punkt \\((-1, 4)\\) leży na wykresie. ✓</p>\n<p><strong>Miejsca zerowe</strong> (gdzie \\(f(x) = 0\\)):<br>\\[-(x+1)^2 + 4 = 0\\]<br>\\[(x+1)^2 = 4\\]<br>\\[x + 1 = \\pm 2\\]<br>\\[x_1 = -3, \\quad x_2 = 1\\]</p>\n<p>Parabola przecina oś \\(OX\\) w punktach \\((-3, 0)\\) i \\((1, 0)\\). Są one symetryczne względem \\(x = -1\\) (oś symetrii paraboli). ✓</p>\n<p><strong>Wartość \\(f(0)\\):</strong><br>\\[f(0) = -(0+1)^2 + 4 = -1 + 4 = 3\\]</p>\n<p>Parabola przecina oś \\(OY\\) w punkcie \\((0, 3)\\). Wszystko spójne z wykresem B. ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)</strong> - postać kanoniczna i wierzchołek:<br>\\[f(x) = a(x-p)^2 + q, \\quad W = (p, q), \\quad p = -\\frac{b}{2a}, \\quad q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\]</p>\n<p>Gdy wzór jest już w postaci kanonicznej (jak tutaj), wierzchołek odczytujemy bezpośrednio - nie trzeba liczyć \\(\\Delta\\).</p>\n<p>Znak \\(a\\):</p>\n<ul><li>\\(a &gt; 0\\) → ramiona <strong>w górę</strong> (parabola &quot;uśmiechnięta&quot;)</li><li>\\(a &lt; 0\\) → ramiona <strong>w dół</strong> (parabola &quot;smutna&quot;)</li></ul>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A | Wzięto \\(a = +1\\) zamiast \\(a = -1\\) - parabola skierowana w górę zamiast w dół; dodatkowo błędny wierzchołek \\((1, -4)\\) |<br>| C | Ramiona w górę (błędny znak \\(a\\)), wierzchołek \\((-1, -4)\\) - pominięto \\(+4\\) z postaci kanonicznej |<br>| D | Wierzchołek \\((1, 4)\\) zamiast \\((-1, 4)\\) - mylne odczytanie: \\(f(x) = -(x+1)^2\\) daje \\(p = -1\\), nie \\(p = 1\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> W postaci \\(a(x-p)^2 + q\\) wierzchołek to \\((p, q)\\). We wzorze \\((x\\mathbf{+}1)^2\\) mamy \\(x - (-1)\\), więc \\(p = \\mathbf{-1}\\), nie \\(+1\\)! To najczęstszy błąd w tym typie zadania.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Znak przed nawiasem kwadratowym decyduje o kierunku ramion - \\(-(\\ldots)^2\\) to zawsze parabola z ramionami <strong>w dół</strong>, niezależnie od tego, co jest w nawiasie.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Odpowiedź D ma dobry kierunek ramion (w dół), ale błędny wierzchołek \\((1, 4)\\) - to pułapka dla uczniów, którzy odczytają znak \\(p\\) bez zastanowienia.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Karta wzorów (postać kanoniczna)</h5>\n<p>\\(f(x) = a(x-p)^2 + q\\), tu \\(a = -1\\), \\(p = -1\\), \\(q = 4\\).<br>Ramiona w dół (\\(a&lt;0\\)), wierzchołek w \\((-1, 4)\\) → wykres B.</p>\n<h5>Sposób 2 - Weryfikacja punktów</h5>\n<p>\\(f(0) = -(1)^2 + 4 = 3\\); \\(f(-1) = 0 + 4 = 4\\) (wierzchołek); \\(f(1) = -4 + 4 = 0\\). Pasuje do wykresu B.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A, C</strong> - \\(a = -1 &lt; 0\\), więc ramiona w dół (nie w górę).</li><li><strong>D</strong> - wierzchołek \\((1, 4)\\) błędny (powinno być \\(-1\\)).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> w \\((x+1)^2\\) wierzchołek ma \\(x = -1\\) (znak przeciwny); znak przed \\((\\cdot)^2\\) decyduje o ramionach.</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Punkt N=(3,0) jest jedynym punktem wspólnym paraboli z osią Ox , więc jest wierzchołkiem.<br>f(x)=a(x-3)^2.<br>Ponieważ f(0)=18 , mamy 9a=18 , czyli a=2 .</p>"}]}