{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa","number":"15","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15.\nFunkcja kwadratowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = -(𝑥+ 1)2 + 4.\nFunkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x)=-(x+1)^2+4. Na jednym z rysunków A-D przedstawiono, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y), fragment wykresu funkcji y=f(x). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Fragment wykresu funkcji y=f(x) przedstawiono na rysunku A. [rysunek] B. [rysunek] C. [rysunek] D. [rysunek]","answer":"C","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(50\\)\n\n## Sposób 1 - Obliczenie wyrazów i zsumowanie\n\n**Zauważamy**, że \\((-1)^{n+1}\\) przybiera naprzemiennie wartości \\(+1\\) i \\(-1\\):\n\n- dla \\(n\\) nieparzystego: \\((-1)^{n+1} = (-1)^{\\text{parz.}} = +1\\), więc \\(a_n = 2 \\cdot 1 + 5 = 7\\)\n- dla \\(n\\) parzystego: \\((-1)^{n+1} = (-1)^{\\text{nieparz.}} = -1\\), więc \\(a_n = 2 \\cdot (-1) + 5 = 3\\)\n\nWypisujemy pierwsze 10 wyrazów:\n\n\\[a_1 = 7, \\quad a_2 = 3, \\quad a_3 = 7, \\quad a_4 = 3, \\quad a_5 = 7\\]\n\\[a_6 = 3, \\quad a_7 = 7, \\quad a_8 = 3, \\quad a_9 = 7, \\quad a_{10} = 3\\]\n\nWśród 10 wyrazów mamy **5 wyrazów równych 7** (nieparzyste \\(n\\)) i **5 wyrazów równych 3** (parzyste \\(n\\)).\n\n\\[S_{10} = 5 \\cdot 7 + 5 \\cdot 3 = 35 + 15 = \\mathbf{50}\\]\n\n## Sposób 2 - Grupowanie parami\n\nCiąg jest naprzemieniczny, więc grupujemy wyrazy w pary:\n\n\\[(a_1 + a_2) + (a_3 + a_4) + \\ldots + (a_9 + a_{10})\\]\n\nKażda para to dwa sąsiednie wyrazy - jeden z wartością 7, drugi z wartością 3:\n\n\\[a_{2k-1} + a_{2k} = 7 + 3 = 10\\]\n\nMamy **5 takich par** (dla \\(k = 1, 2, 3, 4, 5\\)):\n\n\\[S_{10} = 5 \\cdot 10 = \\mathbf{50}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu **nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE** - wystarczy bezpośrednie obliczenie wartości wzoru ogólnego i dodawanie. Znajomość własności \\((-1)^n\\) (zmiana znaku) to podstawy arytmetyki, nie wymagające wzorów z karty.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A. \\(3\\) | Uczeń myśli, że suma to jeden wyraz - odczytuje \\(a_2 = 3\\) zamiast liczyć sumę |\n| B. \\(7\\) | Podobnie - odczytuje \\(a_1 = 7\\) jako \"odpowiedź\" |\n| D. \\(100\\) | Uczeń podstawia \\((-1)^{n+1} = 1\\) dla wszystkich \\(n\\) (zapomina o naprzemienności), dostaje \\(a_n = 7\\) dla każdego wyrazu: \\(10 \\cdot 7 = 70\\) - to nie 100. Albo błędnie liczy \\(10 \\cdot 10 = 100\\), biorąc \"sumę pary\" zamiast sumy wszystkich |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\((-1)^{n+1}\\) to **nie to samo** co \\((-1)^n\\)! Sprawdź dla \\(n=1\\): \\((-1)^2 = +1\\), więc \\(a_1 = 7\\), a nie \\(3\\). Pomylenie wykładnika \\(n+1\\) z \\(n\\) odwraca wszystkie wartości - sumy są nadal równe 50, ale łatwo się tu pogubić przy innych zadaniach.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Ten ciąg **nie jest arytmetyczny ani geometryczny**, więc nie można stosować wzorów \\(S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\) ani \\(S_n = a_1 \\cdot \\frac{1-q^n}{1-q}\\). Najlepiej po prostu wypisać wyrazy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy sumowaniu 10 wyrazów naprzemienicznych (parzystych) **zawsze** mamy dokładnie po połowie wyrazów każdego rodzaju. Gdyby zadanie pytało o sumę 11 wyrazów - byłoby 6 siódemek i 5 trójek, czyli \\(6 \\cdot 7 + 5 \\cdot 3 = 42 + 15 = 57\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Wyliczenie wyrazów\n\\(a_n\\): dla \\(n\\) nieparzystego \\((-1)^{n+1}=1\\) → \\(a_n = 7\\); dla parzystego → \\(a_n = 3\\).\nPierwsze 10 wyrazów: \\(7,3,7,3,\\ldots\\) (5 siódemek, 5 trójek).\n\\[S_{10} = 5\\cdot 7 + 5\\cdot 3 = 35 + 15 = 50.\\]\n\n### Sposób 2 - Para sąsiednich wyrazów\n\\(a_{2k-1} + a_{2k} = 7 + 3 = 10\\). Pięć par: \\(5\\cdot 10 = 50\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. 3, B. 7** - pojedyncze wartości wyrazów.\n- **D. 100** - suma \\(10\\cdot 10\\), błąd.\n\n**Trik:** \\((-1)^{n+1}\\) daje naprzemienność \\(+1, -1\\).","image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/sol-15.svg","topics":null,"page_from":14,"source":"maturazai","answer_source":"maturazai","answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 15.
Funkcja kwadratowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = -(𝑥+ 1)2 + 4.
Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x)=-(x+1)^2+4. Na jednym z rysunków A-D przedstawiono, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y), fragment wykresu funkcji y=f(x). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Fragment wykresu funkcji y=f(x) przedstawiono na rysunku A. [rysunek] B. [rysunek] C. [rysunek] D. [rysunek]

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/sol-15.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C - \\(50\\)

\n

Sposób 1 - Obliczenie wyrazów i zsumowanie

\n

Zauważamy, że \\((-1)^{n+1}\\) przybiera naprzemiennie wartości \\(+1\\) i \\(-1\\):

\n\n

Wypisujemy pierwsze 10 wyrazów:

\n

\\[a_1 = 7, \\quad a_2 = 3, \\quad a_3 = 7, \\quad a_4 = 3, \\quad a_5 = 7\\]
\\[a_6 = 3, \\quad a_7 = 7, \\quad a_8 = 3, \\quad a_9 = 7, \\quad a_{10} = 3\\]

\n

Wśród 10 wyrazów mamy 5 wyrazów równych 7 (nieparzyste \\(n\\)) i 5 wyrazów równych 3 (parzyste \\(n\\)).

\n

\\[S_{10} = 5 \\cdot 7 + 5 \\cdot 3 = 35 + 15 = \\mathbf{50}\\]

\n

Sposób 2 - Grupowanie parami

\n

Ciąg jest naprzemieniczny, więc grupujemy wyrazy w pary:

\n

\\[(a_1 + a_2) + (a_3 + a_4) + \\ldots + (a_9 + a_{10})\\]

\n

Każda para to dwa sąsiednie wyrazy - jeden z wartością 7, drugi z wartością 3:

\n

\\[a_{2k-1} + a_{2k} = 7 + 3 = 10\\]

\n

Mamy 5 takich par (dla \\(k = 1, 2, 3, 4, 5\\)):

\n

\\[S_{10} = 5 \\cdot 10 = \\mathbf{50}\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy bezpośrednie obliczenie wartości wzoru ogólnego i dodawanie. Znajomość własności \\((-1)^n\\) (zmiana znaku) to podstawy arytmetyki, nie wymagające wzorów z karty.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| A. \\(3\\) | Uczeń myśli, że suma to jeden wyraz - odczytuje \\(a_2 = 3\\) zamiast liczyć sumę |
| B. \\(7\\) | Podobnie - odczytuje \\(a_1 = 7\\) jako "odpowiedź" |
| D. \\(100\\) | Uczeń podstawia \\((-1)^{n+1} = 1\\) dla wszystkich \\(n\\) (zapomina o naprzemienności), dostaje \\(a_n = 7\\) dla każdego wyrazu: \\(10 \\cdot 7 = 70\\) - to nie 100. Albo błędnie liczy \\(10 \\cdot 10 = 100\\), biorąc "sumę pary" zamiast sumy wszystkich |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: \\((-1)^{n+1}\\) to nie to samo co \\((-1)^n\\)! Sprawdź dla \\(n=1\\): \\((-1)^2 = +1\\), więc \\(a_1 = 7\\), a nie \\(3\\). Pomylenie wykładnika \\(n+1\\) z \\(n\\) odwraca wszystkie wartości - sumy są nadal równe 50, ale łatwo się tu pogubić przy innych zadaniach.
\n
⚠️ Uwaga: Ten ciąg nie jest arytmetyczny ani geometryczny, więc nie można stosować wzorów \\(S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\) ani \\(S_n = a_1 \\cdot \\frac{1-q^n}{1-q}\\). Najlepiej po prostu wypisać wyrazy.
\n
⚠️ Uwaga: Przy sumowaniu 10 wyrazów naprzemienicznych (parzystych) zawsze mamy dokładnie po połowie wyrazów każdego rodzaju. Gdyby zadanie pytało o sumę 11 wyrazów - byłoby 6 siódemek i 5 trójek, czyli \\(6 \\cdot 7 + 5 \\cdot 3 = 42 + 15 = 57\\).
\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1 - Wyliczenie wyrazów
\n

\\(a_n\\): dla \\(n\\) nieparzystego \\((-1)^{n+1}=1\\) → \\(a_n = 7\\); dla parzystego → \\(a_n = 3\\).
Pierwsze 10 wyrazów: \\(7,3,7,3,\\ldots\\) (5 siódemek, 5 trójek).
\\[S_{10} = 5\\cdot 7 + 5\\cdot 3 = 35 + 15 = 50.\\]

\n
Sposób 2 - Para sąsiednich wyrazów
\n

\\(a_{2k-1} + a_{2k} = 7 + 3 = 10\\). Pięć par: \\(5\\cdot 10 = 50\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: \\((-1)^{n+1}\\) daje naprzemienność \\(+1, -1\\).

"}]}