{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa","number":"16","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16.\nCiąg (𝑎𝑛) jest określony wzorem 𝑎𝑛= 2 ⋅(-1)𝑛+1 + 5 dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1.","answer":"C","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(a_{10} = 61\\)\n\n## Sposób 1 - wzór ogólny ciągu arytmetycznego\n\n**Krok 1: Wyznaczamy różnicę ciągu \\(r\\)**\n\n\\[r = a_2 - a_1 = 13 - 7 = 6\\]\n\n**Krok 2: Stosujemy wzór ogólny**\n\n\\[a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r\\]\n\n**Krok 3: Podstawiamy \\(n = 10\\)**\n\n\\[a_{10} = 7 + (10-1) \\cdot 6 = 7 + 9 \\cdot 6 = 7 + 54 = \\mathbf{61}\\]\n\n## Sposób 2 - \"przeskoki\" od wyrazu do wyrazu\n\nSkoro \\(r = 6\\), każdy kolejny wyraz jest o \\(6\\) większy od poprzedniego. Od \\(a_2\\) do \\(a_{10}\\) jest **8 kroków**:\n\n\\[a_{10} = a_2 + 8 \\cdot r = 13 + 8 \\cdot 6 = 13 + 48 = \\mathbf{61}\\]\n\nTo podejście jest wygodne, gdy nie chcemy wracać do \\(a_1\\) - wychodzimy z **dowolnego** znanego wyrazu i dodajemy odpowiednią liczbę \"skoków\".\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór ogólny ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 1 do obliczenia \\(a_{10}\\) wprost z definicji ciągu.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A. \\(-47\\) | Zamiana znaku - odjęto \\(9 \\cdot 6\\) zamiast dodać: \\(7 - 54 = -47\\). Błąd znaku przy obliczaniu \\((n-1) \\cdot r\\). |\n| B. \\(52\\) | Policzono \\(a_9\\) zamiast \\(a_{10}\\) - użyto \\((n-1) = 8\\) dla \\(n=9\\): \\(7 + 8 \\cdot 6 = 55\\) albo pomylono liczbę kroków: \\(13 + 39 = 52\\) (tylko 6,5 kroku - błąd rachunkowy). Najczęściej: wzięto \\(n=9\\) zamiast \\(n=10\\): \\(7 + 8 \\cdot r\\), ale z \\(a_1\\): \\(7 + 45 = 52\\) - tu użyto \\(r=5\\) zamiast \\(r=6\\). |\n| D. \\(67\\) | Policzono \\(a_{11}\\) zamiast \\(a_{10}\\): \\(7 + 10 \\cdot 6 = 67\\). Klasyczny błąd \"off-by-one\" - użyto \\(n\\) zamiast \\((n-1)\\) we wzorze. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** We wzorze \\(a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r\\) jest \\((n-1)\\), **nie** \\(n\\). Dla \\(a_{10}\\) mnożymy przez \\(9\\), nie przez \\(10\\) - to najczęstszy błąd w tym typie zadań!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Licząc \"od środka\" (Sposób 2), uważaj na liczbę kroków. Od \\(a_2\\) do \\(a_{10}\\) jest \\(10 - 2 = 8\\) kroków, nie \\(9\\) ani \\(7\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Różnicę \\(r\\) zawsze obliczaj jako \\(r = a_{n+1} - a_n\\) (następny minus poprzedni). Pomylenie kolejności daje \\(r = -6\\) zamiast \\(r = 6\\) i prowadzi prosto do odpowiedzi A.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Karta wzorów (ciąg arytmetyczny)\nRóżnica: \\(r = a_2 - a_1 = 13 - 7 = 6\\).\n\\(a_n = a_1 + (n-1)r\\): \\(a_{10} = 7 + 9\\cdot 6 = 7 + 54 = 61\\).\n\n### Sposób 2 - Krokowo\n\\(a_2=13, a_3=19, a_4=25, \\ldots, a_{10} = 7 + 9\\cdot 6 = 61\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(-47\\)** - \\(r\\) ze znakiem minus.\n- **B. \\(52\\)** - policzono \\(a_1 + (10)\\cdot\\ldots\\) błąd indeksu.\n- **D. \\(67\\)** - dodano \\(10\\cdot 6\\) zamiast \\(9\\cdot 6\\).\n\n**Trik:** \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\); zawsze \\((n-1)\\), nie \\(n\\).","image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":16,"source":"maturazai","answer_source":"maturazai","answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 16.<br>Ciąg (𝑎𝑛) jest określony wzorem 𝑎𝑛= 2 ⋅(-1)𝑛+1 + 5 dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1.</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C - \\(a_{10} = 61\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - wzór ogólny ciągu arytmetycznego</h4>\n<p><strong>Krok 1: Wyznaczamy różnicę ciągu \\(r\\)</strong></p>\n<p>\\[r = a_2 - a_1 = 13 - 7 = 6\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Stosujemy wzór ogólny</strong></p>\n<p>\\[a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r\\]</p>\n<p><strong>Krok 3: Podstawiamy \\(n = 10\\)</strong></p>\n<p>\\[a_{10} = 7 + (10-1) \\cdot 6 = 7 + 9 \\cdot 6 = 7 + 54 = \\mathbf{61}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - &quot;przeskoki&quot; od wyrazu do wyrazu</h4>\n<p>Skoro \\(r = 6\\), każdy kolejny wyraz jest o \\(6\\) większy od poprzedniego. Od \\(a_2\\) do \\(a_{10}\\) jest <strong>8 kroków</strong>:</p>\n<p>\\[a_{10} = a_2 + 8 \\cdot r = 13 + 8 \\cdot 6 = 13 + 48 = \\mathbf{61}\\]</p>\n<p>To podejście jest wygodne, gdy nie chcemy wracać do \\(a_1\\) - wychodzimy z <strong>dowolnego</strong> znanego wyrazu i dodajemy odpowiednią liczbę &quot;skoków&quot;.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)</strong> - wzór ogólny ciągu arytmetycznego:<br>\\[a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r\\]<br>Użyliśmy go w Sposobie 1 do obliczenia \\(a_{10}\\) wprost z definicji ciągu.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| A. \\(-47\\) | Zamiana znaku - odjęto \\(9 \\cdot 6\\) zamiast dodać: \\(7 - 54 = -47\\). Błąd znaku przy obliczaniu \\((n-1) \\cdot r\\). |<br>| B. \\(52\\) | Policzono \\(a_9\\) zamiast \\(a_{10}\\) - użyto \\((n-1) = 8\\) dla \\(n=9\\): \\(7 + 8 \\cdot 6 = 55\\) albo pomylono liczbę kroków: \\(13 + 39 = 52\\) (tylko 6,5 kroku - błąd rachunkowy). Najczęściej: wzięto \\(n=9\\) zamiast \\(n=10\\): \\(7 + 8 \\cdot r\\), ale z \\(a_1\\): \\(7 + 45 = 52\\) - tu użyto \\(r=5\\) zamiast \\(r=6\\). |<br>| D. \\(67\\) | Policzono \\(a_{11}\\) zamiast \\(a_{10}\\): \\(7 + 10 \\cdot 6 = 67\\). Klasyczny błąd &quot;off-by-one&quot; - użyto \\(n\\) zamiast \\((n-1)\\) we wzorze. |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> We wzorze \\(a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r\\) jest \\((n-1)\\), <strong>nie</strong> \\(n\\). Dla \\(a_{10}\\) mnożymy przez \\(9\\), nie przez \\(10\\) - to najczęstszy błąd w tym typie zadań!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Licząc &quot;od środka&quot; (Sposób 2), uważaj na liczbę kroków. Od \\(a_2\\) do \\(a_{10}\\) jest \\(10 - 2 = 8\\) kroków, nie \\(9\\) ani \\(7\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Różnicę \\(r\\) zawsze obliczaj jako \\(r = a_{n+1} - a_n\\) (następny minus poprzedni). Pomylenie kolejności daje \\(r = -6\\) zamiast \\(r = 6\\) i prowadzi prosto do odpowiedzi A.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Karta wzorów (ciąg arytmetyczny)</h5>\n<p>Różnica: \\(r = a_2 - a_1 = 13 - 7 = 6\\).<br>\\(a_n = a_1 + (n-1)r\\): \\(a_{10} = 7 + 9\\cdot 6 = 7 + 54 = 61\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Krokowo</h5>\n<p>\\(a_2=13, a_3=19, a_4=25, \\ldots, a_{10} = 7 + 9\\cdot 6 = 61\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(-47\\)</strong> - \\(r\\) ze znakiem minus.</li><li><strong>B. \\(52\\)</strong> - policzono \\(a_1 + (10)\\cdot\\ldots\\) błąd indeksu.</li><li><strong>D. \\(67\\)</strong> - dodano \\(10\\cdot 6\\) zamiast \\(9\\cdot 6\\).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\); zawsze \\((n-1)\\), nie \\(n\\).</p>"}]}