{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (0-1)\nW ciągu arytmetycznym (𝑎𝑛), określonym dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1, dane są\nwyrazy: 𝑎1 = 7 oraz 𝑎2 = 13.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nWyraz 𝑎10 jest równy\nA. (-47)\nB. 52\nC. 61\nD. 67\nW ciągu arytmetycznym (a_n), określonym dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1, dane są wyrazy: a_1=7 oraz a_2=13. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wyraz a_{10} jest równy A. (-47) B. 52 C. 61 D. 67","answer":"C","answer_text":"Zadanie 17. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nVI.4) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz […] ciągu\narytmetycznego.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\n\\(x > 0\\) i \\(y < 0\\)\n\n## Sposób 1 - Definicja ciągu arytmetycznego i geometrycznego\n\n**Krok 1: Wyznaczamy \\(x\\) z ciągu arytmetycznego \\((-1, 2, x)\\).**\n\nW ciągu arytmetycznym każdy wyraz (poza pierwszym) jest średnią arytmetyczną swoich sąsiadów:\n\\[a_2 = \\frac{a_1 + a_3}{2}\\]\n\nPodstawiamy:\n\\[2 = \\frac{-1 + x}{2}\\]\n\\[4 = -1 + x\\]\n\\[\\boxed{x = 5}\\]\n\n**Zatem \\(x = 5 > 0\\). ✓**\n\n**Krok 2: Wyznaczamy \\(y\\) z ciągu geometrycznego \\((-1, 2, y)\\).**\n\nW ciągu geometrycznym kwadrat środkowego wyrazu równa się iloczynowi wyrazu poprzedniego i następnego:\n\\[(a_2)^2 = a_1 \\cdot a_3\\]\n\nPodstawiamy:\n\\[2^2 = (-1) \\cdot y\\]\n\\[4 = -y\\]\n\\[\\boxed{y = -4}\\]\n\n**Zatem \\(y = -4 < 0\\). ✓**\n\n**Wniosek:** \\(x = 5 > 0\\) oraz \\(y = -4 < 0\\), co odpowiada odpowiedzi **B**.\n\n## Sposób 2 - Przez iloraz ciągu geometrycznego\n\n**Ciąg arytmetyczny** - różnica:\n\\[r = a_2 - a_1 = 2 - (-1) = 3\\]\n\nTrzeci wyraz:\n\\[x = a_2 + r = 2 + 3 = 5\\]\n\n**Ciąg geometryczny** - iloraz:\n\\[q = \\frac{a_2}{a_1} = \\frac{2}{-1} = -2\\]\n\nTrzeci wyraz:\n\\[y = a_2 \\cdot q = 2 \\cdot (-2) = -4\\]\n\nOtrzymujemy ten sam wynik: \\(x = 5 > 0\\), \\(y = -4 < 0\\) → odpowiedź **B**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)**\n\nWłasność ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = \\frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}\\]\nUżyta w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(x\\).\n\nWłasność ciągu geometrycznego:\n\\[(a_n)^2 = a_{n-1} \\cdot a_{n+1}\\]\nUżyta w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(y\\).\n\nWzory na wyraz ogólny (użyte w Sposobie 2):\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r \\quad \\text{(arytmetyczny)}\\]\n\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1} \\quad \\text{(geometryczny)}\\]\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Uczeń poprawnie oblicza \\(x = 5 > 0\\), ale zakłada, że iloraz ciągu geometrycznego jest dodatni - zapomina, że \\(a_1 = -1 < 0\\), więc \\(y = -4 < 0\\) |\n| C | Uczeń myli wzór na wyraz ciągu arytmetycznego - np. odejmuje zamiast dodaje różnicę, dostając \\(x = -1\\), ale \\(y\\) oblicza poprawnie |\n| D | Podwójny błąd: zarówno \\(x\\) obliczone jako \\(-1 - 3 = -4\\) (cofnięcie zamiast wydłużenia ciągu), jak i błędny znak \\(y\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W ciągu geometrycznym iloraz może być **ujemny** - jeśli pierwszy wyraz jest ujemny, a drugi dodatni, iloraz wynosi \\(q < 0\\). Nie zakładaj automatycznie, że \\(y > 0\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\((a_2)^2 = a_1 \\cdot a_3\\) mówi, że **iloczyn** skrajnych jest równy **kwadratowi** środkowego - nie można go odwrócić do \\(a_2 = \\frac{a_1 + a_3}{2}\\), bo to wzór dla ciągu **arytmetycznego**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy ciągu arytmetycznym nie myl kierunku: \\(x = a_3 = a_2 + r\\), a nie \\(a_2 - r\\) (to byłby \\(a_1\\)).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Własności ciągów\nArytmetyczny: \\(2 = \\tfrac{-1 + x}{2} \\Rightarrow x = 5\\) (czyli \\(x>0\\)).\nGeometryczny: \\(2^2 = -1\\cdot y \\Rightarrow y = -4\\) (czyli \\(y<0\\)).\n\n### Sposób 2 - Ilorazy\nArytmetyczny: różnica \\(r = 2-(-1) = 3\\), więc \\(x = 2+3 = 5\\).\nGeometryczny: iloraz \\(q = \\tfrac{2}{-1} = -2\\), więc \\(y = 2\\cdot(-2) = -4\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A, C, D** - sprzeczne z obliczonymi wartościami \\(x=5\\), \\(y=-4\\).\n\n**Trik:** środkowy wyraz arytmetycznego = średnia skrajnych; środkowy^2 geometrycznego = iloczyn skrajnych.","image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/sol-17.svg","topics":"Ciąg arytmetyczny, ciagi","page_from":17,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 17. (0-1)<br>W ciągu arytmetycznym (𝑎𝑛), określonym dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1, dane są<br>wyrazy: 𝑎1 = 7 oraz 𝑎2 = 13.<br>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.<br>Wyraz 𝑎10 jest równy<br>A. (-47)<br>B. 52<br>C. 61<br>D. 67<br>W ciągu arytmetycznym (a_n), określonym dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1, dane są wyrazy: a_1=7 oraz a_2=13. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wyraz a_{10} jest równy A. (-47) B. 52 C. 61 D. 67</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 17. (0-1)<br>Wymagania egzaminacyjne 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Dobieranie i tworzenie modeli</li></ol>\n<p>matematycznych przy rozwiązywaniu<br>problemów praktycznych i teoretycznych.<br>Zdający:<br>VI.4) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz […] ciągu<br>arytmetycznego.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>C</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/sol-17.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B</h4>\n<p>\\(x &gt; 0\\) i \\(y &lt; 0\\)</p>\n<h4>Sposób 1 - Definicja ciągu arytmetycznego i geometrycznego</h4>\n<p><strong>Krok 1: Wyznaczamy \\(x\\) z ciągu arytmetycznego \\((-1, 2, x)\\).</strong></p>\n<p>W ciągu arytmetycznym każdy wyraz (poza pierwszym) jest średnią arytmetyczną swoich sąsiadów:<br>\\[a_2 = \\frac{a_1 + a_3}{2}\\]</p>\n<p>Podstawiamy:<br>\\[2 = \\frac{-1 + x}{2}\\]<br>\\[4 = -1 + x\\]<br>\\[\\boxed{x = 5}\\]</p>\n<p><strong>Zatem \\(x = 5 &gt; 0\\). ✓</strong></p>\n<p><strong>Krok 2: Wyznaczamy \\(y\\) z ciągu geometrycznego \\((-1, 2, y)\\).</strong></p>\n<p>W ciągu geometrycznym kwadrat środkowego wyrazu równa się iloczynowi wyrazu poprzedniego i następnego:<br>\\[(a_2)^2 = a_1 \\cdot a_3\\]</p>\n<p>Podstawiamy:<br>\\[2^2 = (-1) \\cdot y\\]<br>\\[4 = -y\\]<br>\\[\\boxed{y = -4}\\]</p>\n<p><strong>Zatem \\(y = -4 &lt; 0\\). ✓</strong></p>\n<p><strong>Wniosek:</strong> \\(x = 5 &gt; 0\\) oraz \\(y = -4 &lt; 0\\), co odpowiada odpowiedzi <strong>B</strong>.</p>\n<h4>Sposób 2 - Przez iloraz ciągu geometrycznego</h4>\n<p><strong>Ciąg arytmetyczny</strong> - różnica:<br>\\[r = a_2 - a_1 = 2 - (-1) = 3\\]</p>\n<p>Trzeci wyraz:<br>\\[x = a_2 + r = 2 + 3 = 5\\]</p>\n<p><strong>Ciąg geometryczny</strong> - iloraz:<br>\\[q = \\frac{a_2}{a_1} = \\frac{2}{-1} = -2\\]</p>\n<p>Trzeci wyraz:<br>\\[y = a_2 \\cdot q = 2 \\cdot (-2) = -4\\]</p>\n<p>Otrzymujemy ten sam wynik: \\(x = 5 &gt; 0\\), \\(y = -4 &lt; 0\\) → odpowiedź <strong>B</strong>.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)</strong></p>\n<p>Własność ciągu arytmetycznego:<br>\\[a_n = \\frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}\\]<br>Użyta w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(x\\).</p>\n<p>Własność ciągu geometrycznego:<br>\\[(a_n)^2 = a_{n-1} \\cdot a_{n+1}\\]<br>Użyta w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(y\\).</p>\n<p>Wzory na wyraz ogólny (użyte w Sposobie 2):<br>\\[a_n = a_1 + (n-1)r \\quad \\text{(arytmetyczny)}\\]<br>\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1} \\quad \\text{(geometryczny)}\\]</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A | Uczeń poprawnie oblicza \\(x = 5 &gt; 0\\), ale zakłada, że iloraz ciągu geometrycznego jest dodatni - zapomina, że \\(a_1 = -1 &lt; 0\\), więc \\(y = -4 &lt; 0\\) |<br>| C | Uczeń myli wzór na wyraz ciągu arytmetycznego - np. odejmuje zamiast dodaje różnicę, dostając \\(x = -1\\), ale \\(y\\) oblicza poprawnie |<br>| D | Podwójny błąd: zarówno \\(x\\) obliczone jako \\(-1 - 3 = -4\\) (cofnięcie zamiast wydłużenia ciągu), jak i błędny znak \\(y\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> W ciągu geometrycznym iloraz może być <strong>ujemny</strong> - jeśli pierwszy wyraz jest ujemny, a drugi dodatni, iloraz wynosi \\(q &lt; 0\\). Nie zakładaj automatycznie, że \\(y &gt; 0\\)!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wzór \\((a_2)^2 = a_1 \\cdot a_3\\) mówi, że <strong>iloczyn</strong> skrajnych jest równy <strong>kwadratowi</strong> środkowego - nie można go odwrócić do \\(a_2 = \\frac{a_1 + a_3}{2}\\), bo to wzór dla ciągu <strong>arytmetycznego</strong>.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy ciągu arytmetycznym nie myl kierunku: \\(x = a_3 = a_2 + r\\), a nie \\(a_2 - r\\) (to byłby \\(a_1\\)).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Własności ciągów</h5>\n<p>Arytmetyczny: \\(2 = \\tfrac{-1 + x}{2} \\Rightarrow x = 5\\) (czyli \\(x&gt;0\\)).<br>Geometryczny: \\(2^2 = -1\\cdot y \\Rightarrow y = -4\\) (czyli \\(y&lt;0\\)).</p>\n<h5>Sposób 2 - Ilorazy</h5>\n<p>Arytmetyczny: różnica \\(r = 2-(-1) = 3\\), więc \\(x = 2+3 = 5\\).<br>Geometryczny: iloraz \\(q = \\tfrac{2}{-1} = -2\\), więc \\(y = 2\\cdot(-2) = -4\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A, C, D</strong> - sprzeczne z obliczonymi wartościami \\(x=5\\), \\(y=-4\\).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> środkowy wyraz arytmetycznego = średnia skrajnych; środkowy^2 geometrycznego = iloczyn skrajnych.</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<ol><li>Najpierw musimy przypomnieć sobie wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego. Wzór ten zapisujemy jako:</li></ol>\n<p>$$a_n = a_1 + (n - 1) \\cdot d$$<br>gdzie $d$ to różnica ciągu arytmetycznego.</p>\n<ol><li>Znamy pierwszy wyraz ciągu: $a_1 = 7$.</li></ol>\n<ol><li>Znamy również drugi wyraz: $a_2 = 13$. Skorzystamy z tej informacji, aby obliczyć różnicę $d$. Musimy pamiętać, że:</li></ol>\n<p>$$a_2 = a_1 + d$$</p>\n<ol><li>Podstawiamy wartości do wzoru:</li></ol>\n<p>$$13 = 7 + d$$</p>\n<ol><li>Od teraz rozwiązujemy równanie, aby znaleźć d:</li></ol>\n<p>$$d = 13 - 7$$<br>$$d = 6$$</p>\n<ol><li>Teraz, gdy mamy już obliczoną różnicę $d = 6$, możemy przystąpić do obliczenia wyrazu $a_{10}$. Użyjemy wzoru na n-ty wyraz:</li></ol>\n<p>$$a_{10} = a_1 + (10 - 1) \\cdot d$$</p>\n<ol><li>Podstawiamy znane wartości do wzoru:</li></ol>\n<p>$$a_{10} = 7 + (10 - 1) \\cdot 6$$<br>$$a_{10} = 7 + 9 \\cdot 6$$</p>\n<ol><li>Obliczamy wartość $9 \\cdot 6$:</li></ol>\n<p>$$9 \\cdot 6 = 54$$</p>\n<ol><li>Podstawiamy tę wartość do wzoru na $a_{10}$:</li></ol>\n<p>$$a_{10} = 7 + 54$$</p>\n<ol><li>Obliczamy $7 + 54$:</li></ol>\n<p>$$a_{10} = 61$$</p>\n<p><strong>Odpowiedź:</strong> Wyraz $a_{10}$ jest równy 61, co odpowiada opcji C.</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Różnica ciągu wynosi<br>r=13-7=6.<br>Zatem<br>a_10=a_1+9r=7+9·6=61.</p>"}]}