{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (0-1)\nTrzywyrazowy ciąg (-1, 2, 𝑥) jest arytmetyczny.\nTrzywyrazowy ciąg (-1, 2, 𝑦) jest geometryczny.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczby 𝑥 oraz 𝑦 spełniają warunki\nA. 𝑥> 0 i 𝑦> 0\nB. 𝑥> 0 i 𝑦< 0\nC. 𝑥< 0 i 𝑦> 0\nD. 𝑥< 0 i 𝑦< 0\n\nMMAP-P0_100\nTrzywyrazowy ciąg (-1, 2, x) jest arytmetyczny. Trzywyrazowy ciąg (-1, 2, y) jest geometryczny. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczby x oraz y spełniają warunki A. x>0 i y>0 B. x>0 i y<0 C. x<0 i y>0 D. x<0 i y<0","answer":"B","answer_text":"Zadanie 18. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nVI.6) wykorzystuje własności ciągów, w tym\narytmetycznych i geometrycznych, do\nrozwiązywania zadań […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\nLiczba \\(1 + \\cos^2 27°\\) jest równa \\(2 - \\sin^2 27°\\).\n\n## Sposób 1 - jedynka trygonometryczna\n\n**Kluczowe spostrzeżenie:** Z jedynki trygonometrycznej wiemy, że \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\), czyli:\n\\[\\cos^2\\alpha = 1 - \\sin^2\\alpha\\]\n\nPodstawiamy \\(\\alpha = 27°\\):\n\\[\\cos^2 27° = 1 - \\sin^2 27°\\]\n\nTeraz wstawiamy to do wyrażenia z zadania:\n\\[1 + \\cos^2 27° = 1 + (1 - \\sin^2 27°) = 2 - \\sin^2 27°\\]\n\n**Wynik: \\(1 + \\cos^2 27° = 2 - \\sin^2 27°\\), czyli odpowiedź A.**\n\n## Sposób 2 - weryfikacja liczbowa\n\nSprawdzamy numerycznie, czy obie strony dają tę samą wartość.\n\n\\(\\cos 27° \\approx 0{,}891\\), więc \\(\\cos^2 27° \\approx 0{,}794\\)\n\nLewa strona:\n\\[1 + \\cos^2 27° \\approx 1 + 0{,}794 = 1{,}794\\]\n\n\\(\\sin 27° \\approx 0{,}454\\), więc \\(\\sin^2 27° \\approx 0{,}206\\)\n\nSprawdzamy odpowiedź A:\n\\[2 - \\sin^2 27° \\approx 2 - 0{,}206 = 1{,}794\\]\n\nZgadza się. Odpowiedź A jest poprawna.\n\nSprawdzamy inne odpowiedzi:\n- B: \\(\\sin^2 27° \\approx 0{,}206 \\neq 1{,}794\\)\n- C: \\(2 + \\sin^2 27° \\approx 2{,}206 \\neq 1{,}794\\)\n- D: \\(2 \\neq 1{,}794\\)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - jedynka trygonometryczna:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\n\nTo jest najważniejszy wzór w tym zadaniu. Przekształcamy go do postaci:\n\\[\\cos^2\\alpha = 1 - \\sin^2\\alpha\\]\n\ni podstawiamy do wyrażenia z treści zadania.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B | Uczeń \"zapomniał\" o jedynce przy \\(\\cos^2\\), zapisując jedynie \\(\\cos^2 27° = \\sin^2 27°\\) (co jest nieprawdą - nie mylić \\(\\cos^2\\alpha = \\sin^2\\alpha\\) z jedynką trygonometryczną) |\n| C | Błędne przekształcenie: uczeń dodał \\(\\sin^2\\) zamiast odjąć - pomylił znak w jedynce trygonometrycznej, traktując \\(\\cos^2\\alpha = 1 + \\sin^2\\alpha\\) |\n| D | Uczeń uznał, że \\(\\cos^2 27° = 1\\) (co byłoby prawdą tylko dla \\(\\cos 0° = 1\\)). Pułapka: \\(\\sin^2 + \\cos^2 = 1\\), ale \\(\\cos^2\\) samo w sobie nie równa się \\(1\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Jedynka trygonometryczna to \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\), a nie \\(\\sin\\alpha + \\cos\\alpha = 1\\). Nie podnoś do kwadratu \"po jednej stronie\" - oba wyrazy muszą być kwadratami.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt \\(27°\\) to specjalnie \"brzydka\" wartość - nie ma tablarycznego wartości dla sin/cos 27°. Zadanie celowo zmusza do skorzystania ze wzoru, a nie liczenia konkretnych wartości. Nie szukaj wartości sin/cos 27° - wzoru nie potrzebujesz!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kierunek przekształcenia ma znaczenie - z \\(\\cos^2\\alpha = 1 - \\sin^2\\alpha\\) wynika **minus** przed \\(\\sin^2\\) w wyniku. Pomylenie znaku to najpopularniejszy błąd w tym zadaniu (prowadzi do odpowiedzi C).\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Karta wzorów (jedynka trygonometryczna)\n\\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\), więc \\(\\cos^2\\alpha = 1 - \\sin^2\\alpha\\).\n\\[1 + \\cos^2 27^{\\circ} = 1 + (1 - \\sin^2 27^{\\circ}) = 2 - \\sin^2 27^{\\circ}.\\]\n\n### Sposób 2 - Numerycznie\n\\(\\cos 27^{\\circ}\\approx 0{,}891\\), \\(\\cos^2\\approx 0{,}794\\). \\(1 + 0{,}794 \\approx 1{,}794\\). \\(\\sin^2 27^{\\circ}\\approx 0{,}206\\); \\(2 - 0{,}206 = 1{,}794\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B** - pominięto jedynkę.\n- **C** - błędny znak przy \\(\\sin^2\\).\n- **D** - ignoruje \\(\\cos^2 27^{\\circ}\\ne 1\\).\n\n**Trik:** \\(\\cos^2\\alpha = 1 - \\sin^2\\alpha\\) - zamień zawsze, gdy pasuje.","image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/sol-18.svg","topics":"Ciąg geometryczny, ciagi","page_from":17,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 18. (0-1)
Trzywyrazowy ciąg (-1, 2, 𝑥) jest arytmetyczny.
Trzywyrazowy ciąg (-1, 2, 𝑦) jest geometryczny.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczby 𝑥 oraz 𝑦 spełniają warunki
A. 𝑥> 0 i 𝑦> 0
B. 𝑥> 0 i 𝑦< 0
C. 𝑥< 0 i 𝑦> 0
D. 𝑥< 0 i 𝑦< 0

\n

MMAP-P0_100
Trzywyrazowy ciąg (-1, 2, x) jest arytmetyczny. Trzywyrazowy ciąg (-1, 2, y) jest geometryczny. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczby x oraz y spełniają warunki A. x>0 i y>0 B. x>0 i y<0 C. x<0 i y>0 D. x<0 i y<0

","answer_text_html":"

Zadanie 18. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 2024
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Dobieranie i tworzenie modeli
\n

matematycznych przy rozwiązywaniu
problemów praktycznych i teoretycznych.
Zdający:
VI.6) wykorzystuje własności ciągów, w tym
arytmetycznych i geometrycznych, do
rozwiązywania zadań […].
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
B
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/sol-18.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: A

\n

Liczba \\(1 + \\cos^2 27°\\) jest równa \\(2 - \\sin^2 27°\\).

\n

Sposób 1 - jedynka trygonometryczna

\n

Kluczowe spostrzeżenie: Z jedynki trygonometrycznej wiemy, że \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\), czyli:
\\[\\cos^2\\alpha = 1 - \\sin^2\\alpha\\]

\n

Podstawiamy \\(\\alpha = 27°\\):
\\[\\cos^2 27° = 1 - \\sin^2 27°\\]

\n

Teraz wstawiamy to do wyrażenia z zadania:
\\[1 + \\cos^2 27° = 1 + (1 - \\sin^2 27°) = 2 - \\sin^2 27°\\]

\n

Wynik: \\(1 + \\cos^2 27° = 2 - \\sin^2 27°\\), czyli odpowiedź A.

\n

Sposób 2 - weryfikacja liczbowa

\n

Sprawdzamy numerycznie, czy obie strony dają tę samą wartość.

\n

\\(\\cos 27° \\approx 0{,}891\\), więc \\(\\cos^2 27° \\approx 0{,}794\\)

\n

Lewa strona:
\\[1 + \\cos^2 27° \\approx 1 + 0{,}794 = 1{,}794\\]

\n

\\(\\sin 27° \\approx 0{,}454\\), więc \\(\\sin^2 27° \\approx 0{,}206\\)

\n

Sprawdzamy odpowiedź A:
\\[2 - \\sin^2 27° \\approx 2 - 0{,}206 = 1{,}794\\]

\n

Zgadza się. Odpowiedź A jest poprawna.

\n

Sprawdzamy inne odpowiedzi:

\n\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14) - jedynka trygonometryczna:
\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]

\n

To jest najważniejszy wzór w tym zadaniu. Przekształcamy go do postaci:
\\[\\cos^2\\alpha = 1 - \\sin^2\\alpha\\]

\n

i podstawiamy do wyrażenia z treści zadania.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| B | Uczeń "zapomniał" o jedynce przy \\(\\cos^2\\), zapisując jedynie \\(\\cos^2 27° = \\sin^2 27°\\) (co jest nieprawdą - nie mylić \\(\\cos^2\\alpha = \\sin^2\\alpha\\) z jedynką trygonometryczną) |
| C | Błędne przekształcenie: uczeń dodał \\(\\sin^2\\) zamiast odjąć - pomylił znak w jedynce trygonometrycznej, traktując \\(\\cos^2\\alpha = 1 + \\sin^2\\alpha\\) |
| D | Uczeń uznał, że \\(\\cos^2 27° = 1\\) (co byłoby prawdą tylko dla \\(\\cos 0° = 1\\)). Pułapka: \\(\\sin^2 + \\cos^2 = 1\\), ale \\(\\cos^2\\) samo w sobie nie równa się \\(1\\) |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Jedynka trygonometryczna to \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\), a nie \\(\\sin\\alpha + \\cos\\alpha = 1\\). Nie podnoś do kwadratu "po jednej stronie" - oba wyrazy muszą być kwadratami.
\n
⚠️ Uwaga: Kąt \\(27°\\) to specjalnie "brzydka" wartość - nie ma tablarycznego wartości dla sin/cos 27°. Zadanie celowo zmusza do skorzystania ze wzoru, a nie liczenia konkretnych wartości. Nie szukaj wartości sin/cos 27° - wzoru nie potrzebujesz!
\n
⚠️ Uwaga: Kierunek przekształcenia ma znaczenie - z \\(\\cos^2\\alpha = 1 - \\sin^2\\alpha\\) wynika minus przed \\(\\sin^2\\) w wyniku. Pomylenie znaku to najpopularniejszy błąd w tym zadaniu (prowadzi do odpowiedzi C).
\n

Poprawna odpowiedź: A

\n
Sposób 1 - Karta wzorów (jedynka trygonometryczna)
\n

\\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\), więc \\(\\cos^2\\alpha = 1 - \\sin^2\\alpha\\).
\\[1 + \\cos^2 27^{\\circ} = 1 + (1 - \\sin^2 27^{\\circ}) = 2 - \\sin^2 27^{\\circ}.\\]

\n
Sposób 2 - Numerycznie
\n

\\(\\cos 27^{\\circ}\\approx 0{,}891\\), \\(\\cos^2\\approx 0{,}794\\). \\(1 + 0{,}794 \\approx 1{,}794\\). \\(\\sin^2 27^{\\circ}\\approx 0{,}206\\); \\(2 - 0{,}206 = 1{,}794\\) ✓.

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: \\(\\cos^2\\alpha = 1 - \\sin^2\\alpha\\) - zamień zawsze, gdy pasuje.

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"

Poprawnie, dla ciągu arytmetycznego mamy różnicę $2 - (-1) = 3$, więc $x = 2 + 3 = 5$. Natomiast dla ciągu geometrycznego mamy $2^2 = (-1) \\cdot y$, co daje $y = -4$. Zgadza się, że $x > 0$ i $y < 0$.

"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

Dla ciągu arytmetycznego
x=2·2-(-1)=5>0.
Dla ciągu geometrycznego
2^2=(-1)· y,
więc y=-4<0 .

"}]}