{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba 1 + cos2 27° jest równa\nA. 2 -sin2 27°\nB. sin2 27°\nC. 2 + sin2 27°\nD. 2\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba 1+cos²27° jest równa A. 2-sin²27° B. sin²27 C. 2+sin²27° D. 2","answer":"A","answer_text":"Zadanie 19. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVII.2) korzysta z wzorów\nsin2 𝛼+ cos2 𝛼= 1, tg 𝛼=\nsin 𝛼\ncos𝛼\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(30°\\)\n\n## Sposób 1 - tg kąta z trójkąta prostokątnego\n\n**Ustawiamy układ współrzędnych.** Ponieważ \\(AD\\) jest wysokością trapezu, mamy \\(AD \\perp AB\\). Przyjmijmy:\n- \\(A = (0, 0)\\), \\(B = (8, 0)\\), \\(D = (0, \\sqrt{3})\\), \\(C = (5, \\sqrt{3})\\)\n\n**Szukamy kąta \\(\\angle ABC\\) - kąta przy podstawie \\(AB\\) w wierzchołku \\(B\\).**\n\nOpuśćmy z punktu \\(C\\) prostopadłą do prostej \\(AB\\). Stopa tej prostopadłej to punkt \\(E = (5, 0)\\).\n\nDostajemy trójkąt prostokątny \\(BCE\\):\n\\[|BE| = 8 - 5 = 3, \\qquad |CE| = \\sqrt{3}\\]\n\nKąt \\(\\angle CBE = \\angle ABC\\) (to ten sam kąt), więc:\n\\[\\operatorname{tg}(\\angle ABC) = \\frac{|CE|}{|BE|} = \\frac{\\sqrt{3}}{3} = \\frac{1}{\\sqrt{3}}\\]\n\nZ tablicy wartości (lub pamięci):\n\\[\\operatorname{tg} 30° = \\frac{\\sqrt{3}}{3} = \\frac{1}{\\sqrt{3}}\\]\n\n**Zatem \\(\\angle ABC = 30°\\).**\n\n## Sposób 2 - funkcja sinus z długości ukośnika\n\nObliczamy długość boku \\(BC\\):\n\\[|BC| = \\sqrt{(8-5)^2 + (\\sqrt{3})^2} = \\sqrt{9 + 3} = \\sqrt{12} = 2\\sqrt{3}\\]\n\nW trójkącie prostokątnym \\(BCE\\) (kąt prosty przy \\(E\\)):\n\\[\\sin(\\angle ABC) = \\frac{|CE|}{|BC|} = \\frac{\\sqrt{3}}{2\\sqrt{3}} = \\frac{1}{2}\\]\n\nZ tablicy: \\(\\sin 30° = \\dfrac{1}{2}\\), więc:\n\n\\[\\boxed{\\angle ABC = 30°}\\]\n\nWynik zgodny ze sposobem 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - definicja tangensa i sinusa w trójkącie prostokątnym:\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\text{przeciwprostokątna kąta}}{\\text{przyprostokątna}}, \\qquad \\sin\\alpha = \\frac{\\text{przeciwprostokątna kąta}}{\\text{przeciwprostokątna}}\\]\noraz wartości: \\(\\operatorname{tg} 30° = \\dfrac{\\sqrt{3}}{3}\\), \\(\\sin 30° = \\dfrac{1}{2}\\) - odczytane z tabeli kątów wzorcowych.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A - \\(15°\\) | Błędne obliczenie \\(\\operatorname{tg}\\) - np. mylenie boków lub błąd arytmetyczny; \\(\\operatorname{tg} 15° \\approx 0{,}27\\), a tu \\(\\operatorname{tg} = \\frac{1}{\\sqrt{3}} \\approx 0{,}58\\) |\n| C - \\(45°\\) | Pomylenie różnicy podstaw z wysokością: \\(\\operatorname{tg} 45° = 1\\) wymagałoby \\(|CE| = |BE|\\), czyli \\(\\sqrt{3} = 3\\) - nieprawda |\n| D - \\(60°\\) | Odwrócenie ułamka: wpisanie \\(\\operatorname{tg} = \\dfrac{3}{\\sqrt{3}} = \\sqrt{3}\\) zamiast \\(\\dfrac{\\sqrt{3}}{3}\\) - zamiana licznika z mianownikiem |\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Różnica podstaw to \\(8 - 5 = 3\\), a **nie** \\(8\\) ani \\(5\\) - to jest podstawa trójkąta prostokątnego, z którego liczymy kąt. Wielu uczniów wstawia całą długość \\(AB\\) do wzoru na tg.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy tangensie łatwo odwrócić ułamek i dostać \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{3}{\\sqrt{3}} = \\sqrt{3}\\), co daje \\(60°\\) - typowy błąd prowadzący do odpowiedzi D.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wysokość trapezu \\(|AD| = \\sqrt{3}\\) to **ta sama** wartość, co pionowa noga trójkąta \\(|CE|\\) - nie trzeba jej obliczać, jest dana wprost.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Trójkąt prostokątny z boku trapezu\nOdcinek poziomy trójkąta prostokątnego przy \\(B\\) = \\(|AB| - |CD| = 8 - 5 = 3\\). Przyprostokątna pionowa = \\(\\sqrt{3}\\).\n\\[\\operatorname{tg}(\\angle ABC) = \\dfrac{\\sqrt{3}}{3} = \\dfrac{1}{\\sqrt{3}} \\Rightarrow \\angle ABC = 30^{\\circ}.\\]\n\n### Sposób 2 - Karta wzorów (tabela wartości)\n\\(\\operatorname{tg} 30^{\\circ} = \\tfrac{\\sqrt{3}}{3}\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(15^{\\circ}\\)** - nietypowa wartość, \\(\\operatorname{tg}15^{\\circ}\\approx 0{,}27\\ne 0{,}577\\).\n- **C. \\(45^{\\circ}\\)** - wymagałby boków 3 i 3.\n- **D. \\(60^{\\circ}\\)** - byłoby \\(\\operatorname{tg}=\\sqrt{3}\\), czyli stosunek 3 do \\(\\sqrt{3}\\).\n\n**Trik:** kąt ostry trapezu prostokątnego → trójkąt prostokątny z bokami \\((AB-CD,\\, h)\\).","image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/sol-19.svg","topics":"Trygonometria","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 19. (0-1)<br>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.<br>Liczba 1 + cos2 27° jest równa<br>A. 2 -sin2 27°<br>B. sin2 27°<br>C. 2 + sin2 27°<br>D. 2<br>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba 1+cos²27° jest równa A. 2-sin²27° B. sin²27 C. 2+sin²27° D. 2</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 19. (0-1)<br>Wymagania egzaminacyjne 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Stosowanie obiektów matematycznych</li></ol>\n<p>i operowanie nimi, interpretowanie pojęć<br>matematycznych.<br>Zdający:<br>VII.2) korzysta z wzorów<br>sin2 𝛼+ cos2 𝛼= 1, tg 𝛼=<br>sin 𝛼<br>cos𝛼<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>A</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/sol-19.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B - \\(30°\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - tg kąta z trójkąta prostokątnego</h4>\n<p><strong>Ustawiamy układ współrzędnych.</strong> Ponieważ \\(AD\\) jest wysokością trapezu, mamy \\(AD \\perp AB\\). Przyjmijmy:</p>\n<ul><li>\\(A = (0, 0)\\), \\(B = (8, 0)\\), \\(D = (0, \\sqrt{3})\\), \\(C = (5, \\sqrt{3})\\)</li></ul>\n<p><strong>Szukamy kąta \\(\\angle ABC\\) - kąta przy podstawie \\(AB\\) w wierzchołku \\(B\\).</strong></p>\n<p>Opuśćmy z punktu \\(C\\) prostopadłą do prostej \\(AB\\). Stopa tej prostopadłej to punkt \\(E = (5, 0)\\).</p>\n<p>Dostajemy trójkąt prostokątny \\(BCE\\):<br>\\[|BE| = 8 - 5 = 3, \\qquad |CE| = \\sqrt{3}\\]</p>\n<p>Kąt \\(\\angle CBE = \\angle ABC\\) (to ten sam kąt), więc:<br>\\[\\operatorname{tg}(\\angle ABC) = \\frac{|CE|}{|BE|} = \\frac{\\sqrt{3}}{3} = \\frac{1}{\\sqrt{3}}\\]</p>\n<p>Z tablicy wartości (lub pamięci):<br>\\[\\operatorname{tg} 30° = \\frac{\\sqrt{3}}{3} = \\frac{1}{\\sqrt{3}}\\]</p>\n<p><strong>Zatem \\(\\angle ABC = 30°\\).</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - funkcja sinus z długości ukośnika</h4>\n<p>Obliczamy długość boku \\(BC\\):<br>\\[|BC| = \\sqrt{(8-5)^2 + (\\sqrt{3})^2} = \\sqrt{9 + 3} = \\sqrt{12} = 2\\sqrt{3}\\]</p>\n<p>W trójkącie prostokątnym \\(BCE\\) (kąt prosty przy \\(E\\)):<br>\\[\\sin(\\angle ABC) = \\frac{|CE|}{|BC|} = \\frac{\\sqrt{3}}{2\\sqrt{3}} = \\frac{1}{2}\\]</p>\n<p>Z tablicy: \\(\\sin 30° = \\dfrac{1}{2}\\), więc:</p>\n<p>\\[\\boxed{\\angle ABC = 30°}\\]</p>\n<p>Wynik zgodny ze sposobem 1. ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)</strong> - definicja tangensa i sinusa w trójkącie prostokątnym:<br>\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\text{przeciwprostokątna kąta}}{\\text{przyprostokątna}}, \\qquad \\sin\\alpha = \\frac{\\text{przeciwprostokątna kąta}}{\\text{przeciwprostokątna}}\\]<br>oraz wartości: \\(\\operatorname{tg} 30° = \\dfrac{\\sqrt{3}}{3}\\), \\(\\sin 30° = \\dfrac{1}{2}\\) - odczytane z tabeli kątów wzorcowych.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| A - \\(15°\\) | Błędne obliczenie \\(\\operatorname{tg}\\) - np. mylenie boków lub błąd arytmetyczny; \\(\\operatorname{tg} 15° \\approx 0{,}27\\), a tu \\(\\operatorname{tg} = \\frac{1}{\\sqrt{3}} \\approx 0{,}58\\) |<br>| C - \\(45°\\) | Pomylenie różnicy podstaw z wysokością: \\(\\operatorname{tg} 45° = 1\\) wymagałoby \\(|CE| = |BE|\\), czyli \\(\\sqrt{3} = 3\\) - nieprawda |<br>| D - \\(60°\\) | Odwrócenie ułamka: wpisanie \\(\\operatorname{tg} = \\dfrac{3}{\\sqrt{3}} = \\sqrt{3}\\) zamiast \\(\\dfrac{\\sqrt{3}}{3}\\) - zamiana licznika z mianownikiem |</p>\n<h4>Typowe pułapki</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Różnica podstaw to \\(8 - 5 = 3\\), a <strong>nie</strong> \\(8\\) ani \\(5\\) - to jest podstawa trójkąta prostokątnego, z którego liczymy kąt. Wielu uczniów wstawia całą długość \\(AB\\) do wzoru na tg.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy tangensie łatwo odwrócić ułamek i dostać \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{3}{\\sqrt{3}} = \\sqrt{3}\\), co daje \\(60°\\) - typowy błąd prowadzący do odpowiedzi D.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wysokość trapezu \\(|AD| = \\sqrt{3}\\) to <strong>ta sama</strong> wartość, co pionowa noga trójkąta \\(|CE|\\) - nie trzeba jej obliczać, jest dana wprost.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Trójkąt prostokątny z boku trapezu</h5>\n<p>Odcinek poziomy trójkąta prostokątnego przy \\(B\\) = \\(|AB| - |CD| = 8 - 5 = 3\\). Przyprostokątna pionowa = \\(\\sqrt{3}\\).<br>\\[\\operatorname{tg}(\\angle ABC) = \\dfrac{\\sqrt{3}}{3} = \\dfrac{1}{\\sqrt{3}} \\Rightarrow \\angle ABC = 30^{\\circ}.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Karta wzorów (tabela wartości)</h5>\n<p>\\(\\operatorname{tg} 30^{\\circ} = \\tfrac{\\sqrt{3}}{3}\\) ✓.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(15^{\\circ}\\)</strong> - nietypowa wartość, \\(\\operatorname{tg}15^{\\circ}\\approx 0{,}27\\ne 0{,}577\\).</li><li><strong>C. \\(45^{\\circ}\\)</strong> - wymagałby boków 3 i 3.</li><li><strong>D. \\(60^{\\circ}\\)</strong> - byłoby \\(\\operatorname{tg}=\\sqrt{3}\\), czyli stosunek 3 do \\(\\sqrt{3}\\).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> kąt ostry trapezu prostokątnego → trójkąt prostokątny z bokami \\((AB-CD,\\, h)\\).</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<h3>Rozwiązanie zadania krok po kroku</h3>\n<ol><li>Zaczynamy od zapisu liczby, którą chcemy analizować:</li></ol>\n<p>$$<br>1 + \\text{cos}^2 27^\\text{°}<br>$$</p>\n<ol><li>Teraz wykorzystamy tożsamość trygonometryczną:</li></ol>\n<p>$$\\text{cos}^2 \\theta = 1 - \\text{sin}^2 \\theta$$<br>dla kąta $\\theta = 27^\\text{°}$.<br>Wstawiamy tę tożsamość do naszego wyrażenia:<br>$$<br>1 + \\text{cos}^2 27^\\text{°} = 1 + (1 - \\text{sin}^2 27^\\text{°})<br>$$</p>\n<ol><li>Upraszczamy to wyrażenie:</li></ol>\n<p>$$<br>1 + 1 - \\text{sin}^2 27^\\text{°} = 2 - \\text{sin}^2 27^\\text{°}<br>$$</p>\n<ol><li>Porównujemy uzyskane wyrażenie $2 - \\text{sin}^2 27^\\text{°}$ z podanymi opcjami odpowiedzi.</li></ol>\n<p>Widzimy, że pasuje ono do opcji A:<br>$$\\text{Opcja A: } 2 - \\text{sin}^2 27^\\text{°}$$</p>\n<ol><li>Dlatego odpowiedzią, którą się kończymy, jest:</li></ol>\n<p><strong>Odpowiedź:</strong> 2 - \\text{sin}^2 27^\\text{°}</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Korzystamy z tożsamości</p>\n<p>sin^2α+cos^2α=1.</p>\n<p>Dla α=27^° :</p>\n<p>cos^2 27^°=1-sin^2 27^°.</p>\n<p>1+cos^2 27^°<br>=1+ (1-sin^2 27^° )<br>=2-sin^2 27^°.</p>\n<p>Poprawna odpowiedź: A.</p>"}]}