{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba log3 (3\n2) + log3 (2\n9) jest równa\nA. log3\n31\n18\nB. log3\n5\n11\nC. (-1)\nD. 1\n3\n\nMMAP-P0_100\nLiczba log_3 3/2 + log_3 2/9 jest równa A. log_3 31/18 B. log_3 5/11 C. (-1) D. 1/3","answer":"C","answer_text":"Zadanie 2. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nI.1) wykonuje działania ([…]\nlogarytmowanie) w zbiorze liczb\nrzeczywistych;\nI.9) […] posługuje się wzorem na logarytm\niloczynu […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\nLiczba \\(\\log_{3}\\!\\left(\\dfrac{3}{2}\\right) + \\log_{3}\\!\\left(\\dfrac{2}{9}\\right) = -1\\)\n\n## Sposób 1 - Własność logarytmu sumy (dodawanie = mnożenie)\n\nKorzystamy ze wzoru: \\(\\log_a x + \\log_a y = \\log_a(x \\cdot y)\\)\n\nMamy tę samą podstawę \\(3\\) po obu stronach, więc możemy połączyć:\n\n\\[\\log_{3}\\!\\left(\\frac{3}{2}\\right) + \\log_{3}\\!\\left(\\frac{2}{9}\\right) = \\log_{3}\\!\\left(\\frac{3}{2} \\cdot \\frac{2}{9}\\right)\\]\n\nLiczmy iloczyn ułamków:\n\n\\[\\frac{3}{2} \\cdot \\frac{2}{9} = \\frac{3 \\cdot 2}{2 \\cdot 9} = \\frac{6}{18} = \\frac{1}{3}\\]\n\nZatem:\n\n\\[\\log_{3}\\!\\left(\\frac{1}{3}\\right) = \\log_{3}\\!\\left(3^{-1}\\right) = -1\\]\n\n**Wynik: \\(-1\\), odpowiedź C.**\n\n## Sposób 2 - Rozbicie na logarytmy prostych liczb\n\nKażdy logarytm rozkładamy osobno, korzystając z \\(\\log_a\\!\\left(\\frac{x}{y}\\right) = \\log_a x - \\log_a y\\):\n\n\\[\\log_{3}\\!\\left(\\frac{3}{2}\\right) = \\log_{3} 3 - \\log_{3} 2 = 1 - \\log_{3} 2\\]\n\n\\[\\log_{3}\\!\\left(\\frac{2}{9}\\right) = \\log_{3} 2 - \\log_{3} 9 = \\log_{3} 2 - 2\\]\n\nDodajemy:\n\n\\[(1 - \\log_{3} 2) + (\\log_{3} 2 - 2) = 1 - \\log_{3} 2 + \\log_{3} 2 - 2\\]\n\n\\[= 1 - 2 = -1\\]\n\n**Wynik: \\(-1\\), odpowiedź C.** Pięknie: \\(\\log_{3} 2\\) się skasowało.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)**\n\nWłasność: logarytm iloczynu:\n\\[\\log_a(x \\cdot y) = \\log_a x + \\log_a y\\]\nUżyliśmy jej w Sposobie 1 - w drugą stronę (suma logarytmów → logarytm iloczynu).\n\nWłasność: logarytm ilorazu:\n\\[\\log_a\\!\\left(\\frac{x}{y}\\right) = \\log_a x - \\log_a y\\]\nUżyliśmy jej w Sposobie 2 do rozbicia każdego wyrażenia.\n\nDefinicja:\n\\[\\log_a b = c \\iff a^c = b\\]\nUżyliśmy jej przy wyliczeniu \\(\\log_{3}\\!\\left(3^{-1}\\right) = -1\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Dodano liczniki i mianowniki zamiast mnożyć ułamki: \\(\\frac{3}{2} + \\frac{2}{9} = \\frac{27+4}{18} = \\frac{31}{18}\\). To błąd - suma logarytmów to logarytm **iloczynu**, nie sumy argumentów. |\n| B | Odjęto liczniki i mianowniki: \\(\\frac{3-2}{2+9} = \\frac{1}{11}\\) albo podobna omyłka. Nie ma takiej własności logarytmów. |\n| D | Wzięto \\(\\frac{1}{3}\\) jako wynik zamiast \\(\\log_3\\!\\left(\\frac{1}{3}\\right)\\). Zapominamy, że \\(\\log_3\\!\\left(\\frac{1}{3}\\right) \\neq \\frac{1}{3}\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\log_a x + \\log_a y = \\log_a(x \\cdot y)\\) - suma logarytmów to logarytm **iloczynu**. Bardzo częsty błąd: dodawanie argumentów zamiast ich mnożenia.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\log_3\\!\\left(\\frac{1}{3}\\right) \\neq \\frac{1}{3}\\). Zawsze pytaj: \"do jakiej potęgi trzeba podnieść \\(3\\), żeby dostać \\(\\frac{1}{3}\\)?\" Odpowiedź: do \\(-1\\), bo \\(3^{-1} = \\frac{1}{3}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Własności logarytmów działają tylko gdy **podstawy są identyczne**. Tu obie wynoszą \\(3\\) - OK. Gdyby podstawy były różne, nie można by łączyć.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Karta wzorów (logarytm iloczynu)\n\\[\\log_{3}\\tfrac{3}{2} + \\log_{3}\\tfrac{2}{9} = \\log_{3}\\left(\\tfrac{3}{2}\\cdot\\tfrac{2}{9}\\right) = \\log_{3}\\tfrac{6}{18} = \\log_{3}\\tfrac{1}{3} = -1.\\]\n\n### Sposób 2 - Rozbicie logarytmów\n\\(\\log_3 \\tfrac{3}{2} = 1 - \\log_3 2\\); \\(\\log_3 \\tfrac{2}{9} = \\log_3 2 - 2\\). Suma: \\(1 - \\log_3 2 + \\log_3 2 - 2 = -1\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A, B** - błąd: próba sumowania liczb pod logarytmami.\n- **D. \\(\\tfrac{1}{3}\\)** - pomylono \\(\\log_{3}\\tfrac{1}{3}\\) z \\(\\tfrac{1}{3}\\).\n\n**Trik:** \\(\\log_a x + \\log_a y = \\log_a(xy)\\).","image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/sol-2.svg","topics":"Logarytmy","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 2. (0-1)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba log3 (3

\n
  1. + log3 (2
  2. jest równa
\n

A. log3
31
18
B. log3
5
11
C. (-1)
D. 1
3

\n

MMAP-P0_100
Liczba log_3 3/2 + log_3 2/9 jest równa A. log_3 31/18 B. log_3 5/11 C. (-1) D. 1/3

","answer_text_html":"

Zadanie 2. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 2024
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Stosowanie obiektów matematycznych
\n

i operowanie nimi, interpretowanie pojęć
matematycznych.
Zdający:
I.1) wykonuje działania ([…]
logarytmowanie) w zbiorze liczb
rzeczywistych;
I.9) […] posługuje się wzorem na logarytm
iloczynu […].
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
C

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/sol-2.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C

\n

Liczba \\(\\log_{3}\\!\\left(\\dfrac{3}{2}\\right) + \\log_{3}\\!\\left(\\dfrac{2}{9}\\right) = -1\\)

\n

Sposób 1 - Własność logarytmu sumy (dodawanie = mnożenie)

\n

Korzystamy ze wzoru: \\(\\log_a x + \\log_a y = \\log_a(x \\cdot y)\\)

\n

Mamy tę samą podstawę \\(3\\) po obu stronach, więc możemy połączyć:

\n

\\[\\log_{3}\\!\\left(\\frac{3}{2}\\right) + \\log_{3}\\!\\left(\\frac{2}{9}\\right) = \\log_{3}\\!\\left(\\frac{3}{2} \\cdot \\frac{2}{9}\\right)\\]

\n

Liczmy iloczyn ułamków:

\n

\\[\\frac{3}{2} \\cdot \\frac{2}{9} = \\frac{3 \\cdot 2}{2 \\cdot 9} = \\frac{6}{18} = \\frac{1}{3}\\]

\n

Zatem:

\n

\\[\\log_{3}\\!\\left(\\frac{1}{3}\\right) = \\log_{3}\\!\\left(3^{-1}\\right) = -1\\]

\n

Wynik: \\(-1\\), odpowiedź C.

\n

Sposób 2 - Rozbicie na logarytmy prostych liczb

\n

Każdy logarytm rozkładamy osobno, korzystając z \\(\\log_a\\!\\left(\\frac{x}{y}\\right) = \\log_a x - \\log_a y\\):

\n

\\[\\log_{3}\\!\\left(\\frac{3}{2}\\right) = \\log_{3} 3 - \\log_{3} 2 = 1 - \\log_{3} 2\\]

\n

\\[\\log_{3}\\!\\left(\\frac{2}{9}\\right) = \\log_{3} 2 - \\log_{3} 9 = \\log_{3} 2 - 2\\]

\n

Dodajemy:

\n

\\[(1 - \\log_{3} 2) + (\\log_{3} 2 - 2) = 1 - \\log_{3} 2 + \\log_{3} 2 - 2\\]

\n

\\[= 1 - 2 = -1\\]

\n

Wynik: \\(-1\\), odpowiedź C. Pięknie: \\(\\log_{3} 2\\) się skasowało.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)

\n

Własność: logarytm iloczynu:
\\[\\log_a(x \\cdot y) = \\log_a x + \\log_a y\\]
Użyliśmy jej w Sposobie 1 - w drugą stronę (suma logarytmów → logarytm iloczynu).

\n

Własność: logarytm ilorazu:
\\[\\log_a\\!\\left(\\frac{x}{y}\\right) = \\log_a x - \\log_a y\\]
Użyliśmy jej w Sposobie 2 do rozbicia każdego wyrażenia.

\n

Definicja:
\\[\\log_a b = c \\iff a^c = b\\]
Użyliśmy jej przy wyliczeniu \\(\\log_{3}\\!\\left(3^{-1}\\right) = -1\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| A | Dodano liczniki i mianowniki zamiast mnożyć ułamki: \\(\\frac{3}{2} + \\frac{2}{9} = \\frac{27+4}{18} = \\frac{31}{18}\\). To błąd - suma logarytmów to logarytm iloczynu, nie sumy argumentów. |
| B | Odjęto liczniki i mianowniki: \\(\\frac{3-2}{2+9} = \\frac{1}{11}\\) albo podobna omyłka. Nie ma takiej własności logarytmów. |
| D | Wzięto \\(\\frac{1}{3}\\) jako wynik zamiast \\(\\log_3\\!\\left(\\frac{1}{3}\\right)\\). Zapominamy, że \\(\\log_3\\!\\left(\\frac{1}{3}\\right) \\neq \\frac{1}{3}\\). |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: \\(\\log_a x + \\log_a y = \\log_a(x \\cdot y)\\) - suma logarytmów to logarytm iloczynu. Bardzo częsty błąd: dodawanie argumentów zamiast ich mnożenia.
\n
⚠️ Uwaga: \\(\\log_3\\!\\left(\\frac{1}{3}\\right) \\neq \\frac{1}{3}\\). Zawsze pytaj: "do jakiej potęgi trzeba podnieść \\(3\\), żeby dostać \\(\\frac{1}{3}\\)?" Odpowiedź: do \\(-1\\), bo \\(3^{-1} = \\frac{1}{3}\\).
\n
⚠️ Uwaga: Własności logarytmów działają tylko gdy podstawy są identyczne. Tu obie wynoszą \\(3\\) - OK. Gdyby podstawy były różne, nie można by łączyć.
\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1 - Karta wzorów (logarytm iloczynu)
\n

\\[\\log_{3}\\tfrac{3}{2} + \\log_{3}\\tfrac{2}{9} = \\log_{3}\\left(\\tfrac{3}{2}\\cdot\\tfrac{2}{9}\\right) = \\log_{3}\\tfrac{6}{18} = \\log_{3}\\tfrac{1}{3} = -1.\\]

\n
Sposób 2 - Rozbicie logarytmów
\n

\\(\\log_3 \\tfrac{3}{2} = 1 - \\log_3 2\\); \\(\\log_3 \\tfrac{2}{9} = \\log_3 2 - 2\\). Suma: \\(1 - \\log_3 2 + \\log_3 2 - 2 = -1\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: \\(\\log_a x + \\log_a y = \\log_a(xy)\\).

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"

Poprawnie, $\\log_3 \\small\\displaystyle\\frac{3}{2} + \\log_3 \\frac{2}{9} = \\log_3 \\bigg( \\frac{3}{2} \\cdot\\frac{2}{9} \\bigg) = \\log_3 \\bigg( \\frac{3 \\cdot 2}{2 \\cdot9} \\bigg) = \\log_3 \\bigg( \\frac{1}{3} \\bigg) = -1$, więc odpowiedź to ($-1$).

"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

log_3(3)/(2)+log_3(2)/(9)=log_3 ((3)/(2)·(2)/(9) )=log_3(1)/(3)=-1.

"}]}