{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (0-1)\nPodstawy trapezu prostokątnego 𝐴𝐵𝐶𝐷 mają długości: |𝐴𝐵| = 8 oraz |𝐶𝐷| = 5.\nWysokość 𝐴𝐷 tego trapezu ma długość √3 (zobacz rysunek).\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nMiara kąta ostrego 𝐴𝐵𝐶 jest równa\nA. 15°\nB. 30°\nC. 45°\nD. 60°\n𝐴\n⋅\n5\n8\nξ3\n𝐶\n𝐷\n𝐵\n⋅\n\nMMAP-P0_100\nPodstawy trapezu prostokątnego ABCD mają długości: |AB|=8 oraz |CD|=5. Wysokość AD tego trapezu ma długość √3 (zobacz rysunek). [rysunek] Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Miara kąta ostrego ABC jest równa A. 15° B. 30° C. 45° D. 60°","answer":"B","answer_text":"Zadanie 20. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nVII.4) oblicza kąty trójkąta […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(36°\\)\n\n## Sposób 1 - Kąt środkowy i wpisany\n\n**Wyznaczamy miarę łuku \\(AB\\):**\n\nŁuk \\(AB\\) stanowi \\(\\frac{1}{5}\\) długości całego okręgu. Pełny okrąg to \\(360°\\), więc kąt środkowy oparty na łuku \\(AB\\) wynosi:\n\n\\[\\angle ASB = \\frac{1}{5} \\cdot 360° = 72°\\]\n\n**Stosujemy twierdzenie o kącie wpisanym:**\n\nKąt wpisany jest równy **połowie kąta środkowego** opartego na tym samym łuku.\n\n\\[\\angle ACB = \\frac{1}{2} \\cdot \\angle ASB = \\frac{1}{2} \\cdot 72° = 36°\\]\n\n**Sprawdzamy, czy kąt jest ostry:** \\(36° < 90°\\) ✓\n\n**Odpowiedź: \\(\\angle ACB = 36°\\)**\n\n## Sposób 2 - Przez długość łuku\n\nNiech \\(r\\) będzie promieniem okręgu. Pełna długość okręgu to \\(2\\pi r\\).\n\nDługość łuku \\(AB\\):\n\\[L_{AB} = \\frac{1}{5} \\cdot 2\\pi r = \\frac{2\\pi r}{5}\\]\n\nDługość łuku \\(AB\\) wyraża się też wzorem przez kąt środkowy \\(\\alpha\\) (w stopniach):\n\\[L_{AB} = \\frac{\\alpha}{360°} \\cdot 2\\pi r\\]\n\nPrzyrównujemy:\n\\[\\frac{\\alpha}{360°} \\cdot 2\\pi r = \\frac{1}{5} \\cdot 2\\pi r\\]\n\\[\\frac{\\alpha}{360°} = \\frac{1}{5}\\]\n\\[\\alpha = \\frac{360°}{5} = 72°\\]\n\nTo kąt środkowy. Kąt wpisany:\n\\[\\angle ACB = \\frac{\\alpha}{2} = \\frac{72°}{2} = 36°\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 19)** - kąt wpisany i środkowy:\n> Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku.\n\nUżyliśmy tego bezpośrednio: kąt środkowy \\(72°\\), kąt wpisany \\(= \\frac{72°}{2} = 36°\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 19)** - długość łuku:\n\\[L = \\frac{\\alpha}{360°} \\cdot 2\\pi r\\]\nUżyte w Sposobie 2 do przeliczenia ułamka okręgu na kąt środkowy.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A. \\(18°\\) | Wzięto \\(\\frac{1}{10}\\) pełnego kąta: \\(\\frac{360°}{10} = 36°\\), potem podzielono jeszcze raz przez 2 - podwójne dzielenie |\n| B. \\(30°\\) | Nie ma związku z \\(\\frac{1}{5}\\) okręgu - typowa „okrągła\" liczba, która kusi, ale tu nie wynika z obliczeń |\n| D. \\(72°\\) | To miara **kąta środkowego** \\(\\angle ASB\\), nie wpisanego - pominięto dzielenie przez 2 |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź D (\\(72°\\)) to kąt środkowy - najczęstszy błąd to zatrzymanie się w połowie rozwiązania i zapomnienie o podzieleniu przez 2.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Twierdzenie o kącie wpisanym działa tak tylko wtedy, gdy punkt \\(C\\) i środek \\(S\\) leżą po **tej samej stronie** cięciwy \\(AB\\) (kąt wpisany oparty na krótszym łuku). Gdy \\(C\\) jest po drugiej stronie, kąt byłby rozwarty: \\(180° - 36° = 144°\\). Zadanie pyta o kąt **ostry**, więc poprawnie bierzemy \\(36°\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\frac{1}{5}\\) długości okręgu to **nie** to samo co \\(\\frac{1}{5} \\cdot 180°\\). Zawsze przeliczaj ułamek na stopnie od pełnego kąta \\(360°\\), nie od półokręgu.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Karta wzorów (kąt środkowy i wpisany)\nŁuk \\(AB\\) stanowi \\(\\tfrac{1}{5}\\) okręgu, więc kąt środkowy \\(\\angle ASB = \\tfrac{1}{5}\\cdot 360^{\\circ} = 72^{\\circ}\\).\nKąt wpisany oparty na tym samym łuku: \\(\\angle ACB = \\tfrac{1}{2}\\cdot 72^{\\circ} = 36^{\\circ}\\).\n\n### Sposób 2 - Wzór bezpośredni\nKąt wpisany odpowiadający łukowi \\(k\\cdot 360^{\\circ}\\) ma miarę \\(k\\cdot 180^{\\circ} = \\tfrac{1}{5}\\cdot 180^{\\circ} = 36^{\\circ}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(18^{\\circ}\\)** - \\(\\tfrac{1}{5}\\cdot 90^{\\circ}\\) - zła formuła.\n- **B. \\(30^{\\circ}\\)** - liczba nie wynika z danych.\n- **D. \\(72^{\\circ}\\)** - to kąt środkowy, nie wpisany.\n\n**Trik:** kąt wpisany = \\(\\tfrac{1}{2}\\) kąta środkowego.","image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/sol-20.svg","topics":"Trygonometria, planimetria","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 20. (0-1)<br>Podstawy trapezu prostokątnego 𝐴𝐵𝐶𝐷 mają długości: |𝐴𝐵| = 8 oraz |𝐶𝐷| = 5.<br>Wysokość 𝐴𝐷 tego trapezu ma długość √3 (zobacz rysunek).<br>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.<br>Miara kąta ostrego 𝐴𝐵𝐶 jest równa<br>A. 15°<br>B. 30°<br>C. 45°<br>D. 60°<br>𝐴<br>⋅<br>5<br>8<br>ξ3<br>𝐶<br>𝐷<br>𝐵<br>⋅</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>Podstawy trapezu prostokątnego ABCD mają długości: |AB|=8 oraz |CD|=5. Wysokość AD tego trapezu ma długość √3 (zobacz rysunek). [rysunek] Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Miara kąta ostrego ABC jest równa A. 15° B. 30° C. 45° D. 60°</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 20. (0-1)<br>Wymagania egzaminacyjne 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>IV. Rozumowanie i argumentacja.</p>\n<ol><li>Stosowanie i tworzenie strategii przy</li></ol>\n<p>rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach<br>nietypowych.<br>Zdający:<br>VII.4) oblicza kąty trójkąta […].<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>B</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/sol-20.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C - \\(36°\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Kąt środkowy i wpisany</h4>\n<p><strong>Wyznaczamy miarę łuku \\(AB\\):</strong></p>\n<p>Łuk \\(AB\\) stanowi \\(\\frac{1}{5}\\) długości całego okręgu. Pełny okrąg to \\(360°\\), więc kąt środkowy oparty na łuku \\(AB\\) wynosi:</p>\n<p>\\[\\angle ASB = \\frac{1}{5} \\cdot 360° = 72°\\]</p>\n<p><strong>Stosujemy twierdzenie o kącie wpisanym:</strong></p>\n<p>Kąt wpisany jest równy <strong>połowie kąta środkowego</strong> opartego na tym samym łuku.</p>\n<p>\\[\\angle ACB = \\frac{1}{2} \\cdot \\angle ASB = \\frac{1}{2} \\cdot 72° = 36°\\]</p>\n<p><strong>Sprawdzamy, czy kąt jest ostry:</strong> \\(36° &lt; 90°\\) ✓</p>\n<p><strong>Odpowiedź: \\(\\angle ACB = 36°\\)</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Przez długość łuku</h4>\n<p>Niech \\(r\\) będzie promieniem okręgu. Pełna długość okręgu to \\(2\\pi r\\).</p>\n<p>Długość łuku \\(AB\\):<br>\\[L_{AB} = \\frac{1}{5} \\cdot 2\\pi r = \\frac{2\\pi r}{5}\\]</p>\n<p>Długość łuku \\(AB\\) wyraża się też wzorem przez kąt środkowy \\(\\alpha\\) (w stopniach):<br>\\[L_{AB} = \\frac{\\alpha}{360°} \\cdot 2\\pi r\\]</p>\n<p>Przyrównujemy:<br>\\[\\frac{\\alpha}{360°} \\cdot 2\\pi r = \\frac{1}{5} \\cdot 2\\pi r\\]<br>\\[\\frac{\\alpha}{360°} = \\frac{1}{5}\\]<br>\\[\\alpha = \\frac{360°}{5} = 72°\\]</p>\n<p>To kąt środkowy. Kąt wpisany:<br>\\[\\angle ACB = \\frac{\\alpha}{2} = \\frac{72°}{2} = 36°\\]</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 19)</strong> - kąt wpisany i środkowy:</p>\n<blockquote>Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku.</blockquote>\n<p>Użyliśmy tego bezpośrednio: kąt środkowy \\(72°\\), kąt wpisany \\(= \\frac{72°}{2} = 36°\\).</p>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 19)</strong> - długość łuku:<br>\\[L = \\frac{\\alpha}{360°} \\cdot 2\\pi r\\]<br>Użyte w Sposobie 2 do przeliczenia ułamka okręgu na kąt środkowy.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A. \\(18°\\) | Wzięto \\(\\frac{1}{10}\\) pełnego kąta: \\(\\frac{360°}{10} = 36°\\), potem podzielono jeszcze raz przez 2 - podwójne dzielenie |<br>| B. \\(30°\\) | Nie ma związku z \\(\\frac{1}{5}\\) okręgu - typowa „okrągła&quot; liczba, która kusi, ale tu nie wynika z obliczeń |<br>| D. \\(72°\\) | To miara <strong>kąta środkowego</strong> \\(\\angle ASB\\), nie wpisanego - pominięto dzielenie przez 2 |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Odpowiedź D (\\(72°\\)) to kąt środkowy - najczęstszy błąd to zatrzymanie się w połowie rozwiązania i zapomnienie o podzieleniu przez 2.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Twierdzenie o kącie wpisanym działa tak tylko wtedy, gdy punkt \\(C\\) i środek \\(S\\) leżą po <strong>tej samej stronie</strong> cięciwy \\(AB\\) (kąt wpisany oparty na krótszym łuku). Gdy \\(C\\) jest po drugiej stronie, kąt byłby rozwarty: \\(180° - 36° = 144°\\). Zadanie pyta o kąt <strong>ostry</strong>, więc poprawnie bierzemy \\(36°\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\(\\frac{1}{5}\\) długości okręgu to <strong>nie</strong> to samo co \\(\\frac{1}{5} \\cdot 180°\\). Zawsze przeliczaj ułamek na stopnie od pełnego kąta \\(360°\\), nie od półokręgu.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Karta wzorów (kąt środkowy i wpisany)</h5>\n<p>Łuk \\(AB\\) stanowi \\(\\tfrac{1}{5}\\) okręgu, więc kąt środkowy \\(\\angle ASB = \\tfrac{1}{5}\\cdot 360^{\\circ} = 72^{\\circ}\\).<br>Kąt wpisany oparty na tym samym łuku: \\(\\angle ACB = \\tfrac{1}{2}\\cdot 72^{\\circ} = 36^{\\circ}\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Wzór bezpośredni</h5>\n<p>Kąt wpisany odpowiadający łukowi \\(k\\cdot 360^{\\circ}\\) ma miarę \\(k\\cdot 180^{\\circ} = \\tfrac{1}{5}\\cdot 180^{\\circ} = 36^{\\circ}\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(18^{\\circ}\\)</strong> - \\(\\tfrac{1}{5}\\cdot 90^{\\circ}\\) - zła formuła.</li><li><strong>B. \\(30^{\\circ}\\)</strong> - liczba nie wynika z danych.</li><li><strong>D. \\(72^{\\circ}\\)</strong> - to kąt środkowy, nie wpisany.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> kąt wpisany = \\(\\tfrac{1}{2}\\) kąta środkowego.</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, jeśli opuścimy wysokość z punktu $C$ na podstawę $AB$, to po prawej dostaniemy trójkąt prostokątny o przyprostokąrnych długości $\\sqrt3$ oraz $8-5$. Kąt ostry $ABC$ można obliczyć korzystając z funkcji tangens: $\\tan(\\sphericalangle ABC) = \\small\\displaystyle\\frac{\\sqrt{3}}{8-5} = \\frac{\\sqrt{3}}{3}$. To prowadzi do miary kąta $30^\\circ$.</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Różnica długości podstaw wynosi 8-5=3 .<br>tanα=(√(3))/(3),<br>dlatego α=30^° .</p>"}]}