{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (0-1)\nPunkty 𝐴, 𝐵 oraz 𝐶 leżą na okręgu o środku w punkcie 𝑆. Długość łuku 𝐴𝐵, na którym\njest oparty kąt wpisany 𝐴𝐶𝐵, jest równa 1\n5 długości okręgu (zobacz rysunek).\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nMiara kąta ostrego 𝐴𝐶𝐵 jest równa\nA. 18°\nB. 30°\nC. 36°\nD. 72°\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝑆\n\nMMAP-P0_100\nPunkty A, B oraz C leżą na okręgu o środku w punkcie S. Długość łuku AB, na którym jest oparty kąt wpisany ACB, jest równa 1/5 długości okręgu (zobacz rysunek). [rysunek] Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Miara kąta ostrego ACB jest równa A. 18° B. 30° C. 36° D. 72°","answer":"C","answer_text":"Zadanie 21. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nVIII.5) stosuje własności kątów wpisanych\ni środkowych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(m = -\\dfrac{5}{3}\\)\n\n## Sposób 1 - Warunek równoległości (równość współczynników kierunkowych)\n\nDwie proste w postaci kierunkowej \\(y = ax + b\\) są **równoległe**, gdy mają **równe współczynniki kierunkowe** \\(a_1 = a_2\\) oraz **różne wyrazy wolne** \\(b_1 \\neq b_2\\).\n\nOdczytujemy współczynniki kierunkowe obu prostych:\n\n\\[k:\\; y = (3m+1)x + 2 \\implies a_k = 3m+1\\]\n\\[l:\\; y = -4x + (2m+5) \\implies a_l = -4\\]\n\nStawiamy warunek równoległości:\n\\[a_k = a_l\\]\n\\[3m + 1 = -4\\]\n\\[3m = -5\\]\n\\[\\boxed{m = -\\frac{5}{3}}\\]\n\n**Sprawdzamy, czy proste nie są tożsame** (bo tożsame to nie równoległe!):\n\nDla \\(m = -\\dfrac{5}{3}\\):\n- wyraz wolny prostej \\(k\\): \\(b_k = 2\\)\n- wyraz wolny prostej \\(l\\): \\(b_l = 2 \\cdot \\left(-\\dfrac{5}{3}\\right) + 5 = -\\dfrac{10}{3} + \\dfrac{15}{3} = \\dfrac{5}{3}\\)\n\nPonieważ \\(2 \\neq \\dfrac{5}{3}\\), proste są różne - czyli rzeczywiście **równoległe**. ✓\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy, że dla \\(m = -\\dfrac{5}{3}\\) obie proste mają ten sam współczynnik kierunkowy:\n\n\\[a_k = 3 \\cdot \\left(-\\frac{5}{3}\\right) + 1 = -5 + 1 = -4\\]\n\\[a_l = -4\\]\n\nRzeczywiście \\(a_k = a_l = -4\\). Proste mają równe współczynniki kierunkowe i różne wyrazy wolne (\\(2 \\neq \\dfrac{5}{3}\\)), więc są równoległe. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - warunek równoległości prostych:\n\n> Dwie proste o równaniach kierunkowych \\(y = a_1 x + b_1\\) oraz \\(y = a_2 x + b_2\\) są **równoległe**, gdy:\n> \\[a_1 = a_2 \\quad \\text{i} \\quad b_1 \\neq b_2\\]\n\nUżyliśmy tego warunku, by przyrównać \\(3m+1 = -4\\) i wyznaczyć \\(m\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A: \\(-4\\) | Uczeń odczytuje współczynnik prostej \\(l\\) i uznaje, że \\(m = a_l = -4\\), bez postawienia równania \\(3m+1 = -4\\) |\n| C: \\(-\\dfrac{3}{2}\\) | Uczeń myli warunek równoległości z warunkiem równości wyrazów wolnych i rozwiązuje \\(2m+5 = 2\\), czyli \\(2m = -3\\), stąd \\(m = -\\dfrac{3}{2}\\) |\n| D: \\(-1\\) | Uczeń poprawnie pisze \\(3m+1 = -4\\), ale błędnie odejmuje: \\(3m = -4-1 = -3\\), a powinno być \\(3m = -4-1 = -5\\) - pomyłka znaku lub arytmetyczna |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Równoległość to NIE to samo co tożsamość prostych. Warunek to \\(a_1 = a_2\\) **I** \\(b_1 \\neq b_2\\). Zawsze sprawdź, czy proste nie \"wyszły\" tą samą prostą!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Współczynnik kierunkowy prostej \\(k\\) to **cały** wyrażenie \\((3m+1)\\), a nie samo \\(m\\). Błędem jest wpisanie \\(m = -4\\) bez rozwiązania równania liniowego.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy rozwiązywaniu \\(3m + 1 = -4\\) przenosimy \\(+1\\) na prawą stronę ze **zmianą znaku**: \\(3m = -4 - 1 = -5\\), nie \\(-3\\). To najczęstsza pomyłka arytmetyczna w tym typie zadania.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Karta wzorów (równoległość)\nRówne współczynniki kierunkowe: \\(3m+1 = -4\\).\n\\[3m = -5 \\Rightarrow m = -\\tfrac{5}{3}.\\]\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie\n\\(m=-\\tfrac{5}{3}\\): \\(k: y = (-5+1)x + 2 = -4x + 2\\). \\(l: y = -4x + (-\\tfrac{10}{3}+5) = -4x + \\tfrac{5}{3}\\). Wspólny współczynnik \\(-4\\) → równoległe.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(-4\\)** - dałoby \\(3m+1 = -11\\).\n- **C. \\(-\\tfrac{3}{2}\\), D. \\(-1\\)** - dają inne \\(3m+1\\), nie równe \\(-4\\).\n\n**Trik:** dwie proste \\(y = a_1 x + b_1\\) i \\(y = a_2 x + b_2\\) są równoległe ⇔ \\(a_1 = a_2\\).","image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/sol-21.svg","topics":"Kąty w okręgu, planimetria","page_from":19,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 21. (0-1)<br>Punkty 𝐴, 𝐵 oraz 𝐶 leżą na okręgu o środku w punkcie 𝑆. Długość łuku 𝐴𝐵, na którym<br>jest oparty kąt wpisany 𝐴𝐶𝐵, jest równa 1<br>5 długości okręgu (zobacz rysunek).<br>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.<br>Miara kąta ostrego 𝐴𝐶𝐵 jest równa<br>A. 18°<br>B. 30°<br>C. 36°<br>D. 72°<br>𝐴<br>𝐵<br>𝐶<br>𝑆</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>Punkty A, B oraz C leżą na okręgu o środku w punkcie S. Długość łuku AB, na którym jest oparty kąt wpisany ACB, jest równa 1/5 długości okręgu (zobacz rysunek). [rysunek] Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Miara kąta ostrego ACB jest równa A. 18° B. 30° C. 36° D. 72°</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 21. (0-1)<br>Wymagania egzaminacyjne 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>IV. Rozumowanie i argumentacja.</p>\n<ol><li>Przeprowadzanie rozumowań, także</li></ol>\n<p>kilkuetapowych, podawanie argumentów<br>uzasadniających poprawność rozumowania,<br>odróżnianie dowodu od przykładu.<br>Zdający:<br>VIII.5) stosuje własności kątów wpisanych<br>i środkowych.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>C<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/sol-21.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B - \\(m = -\\dfrac{5}{3}\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Warunek równoległości (równość współczynników kierunkowych)</h4>\n<p>Dwie proste w postaci kierunkowej \\(y = ax + b\\) są <strong>równoległe</strong>, gdy mają <strong>równe współczynniki kierunkowe</strong> \\(a_1 = a_2\\) oraz <strong>różne wyrazy wolne</strong> \\(b_1 \\neq b_2\\).</p>\n<p>Odczytujemy współczynniki kierunkowe obu prostych:</p>\n<p>\\[k:\\; y = (3m+1)x + 2 \\implies a_k = 3m+1\\]<br>\\[l:\\; y = -4x + (2m+5) \\implies a_l = -4\\]</p>\n<p>Stawiamy warunek równoległości:<br>\\[a_k = a_l\\]<br>\\[3m + 1 = -4\\]<br>\\[3m = -5\\]<br>\\[\\boxed{m = -\\frac{5}{3}}\\]</p>\n<p><strong>Sprawdzamy, czy proste nie są tożsame</strong> (bo tożsame to nie równoległe!):</p>\n<p>Dla \\(m = -\\dfrac{5}{3}\\):</p>\n<ul><li>wyraz wolny prostej \\(k\\): \\(b_k = 2\\)</li><li>wyraz wolny prostej \\(l\\): \\(b_l = 2 \\cdot \\left(-\\dfrac{5}{3}\\right) + 5 = -\\dfrac{10}{3} + \\dfrac{15}{3} = \\dfrac{5}{3}\\)</li></ul>\n<p>Ponieważ \\(2 \\neq \\dfrac{5}{3}\\), proste są różne - czyli rzeczywiście <strong>równoległe</strong>. ✓</p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie</h4>\n<p>Sprawdzamy, że dla \\(m = -\\dfrac{5}{3}\\) obie proste mają ten sam współczynnik kierunkowy:</p>\n<p>\\[a_k = 3 \\cdot \\left(-\\frac{5}{3}\\right) + 1 = -5 + 1 = -4\\]<br>\\[a_l = -4\\]</p>\n<p>Rzeczywiście \\(a_k = a_l = -4\\). Proste mają równe współczynniki kierunkowe i różne wyrazy wolne (\\(2 \\neq \\dfrac{5}{3}\\)), więc są równoległe. ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)</strong> - warunek równoległości prostych:</p>\n<blockquote>Dwie proste o równaniach kierunkowych \\(y = a_1 x + b_1\\) oraz \\(y = a_2 x + b_2\\) są <strong>równoległe</strong>, gdy:<br>\\[a_1 = a_2 \\quad \\text{i} \\quad b_1 \\neq b_2\\]</blockquote>\n<p>Użyliśmy tego warunku, by przyrównać \\(3m+1 = -4\\) i wyznaczyć \\(m\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |<br>| A: \\(-4\\) | Uczeń odczytuje współczynnik prostej \\(l\\) i uznaje, że \\(m = a_l = -4\\), bez postawienia równania \\(3m+1 = -4\\) |<br>| C: \\(-\\dfrac{3}{2}\\) | Uczeń myli warunek równoległości z warunkiem równości wyrazów wolnych i rozwiązuje \\(2m+5 = 2\\), czyli \\(2m = -3\\), stąd \\(m = -\\dfrac{3}{2}\\) |<br>| D: \\(-1\\) | Uczeń poprawnie pisze \\(3m+1 = -4\\), ale błędnie odejmuje: \\(3m = -4-1 = -3\\), a powinno być \\(3m = -4-1 = -5\\) - pomyłka znaku lub arytmetyczna |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Równoległość to NIE to samo co tożsamość prostych. Warunek to \\(a_1 = a_2\\) <strong>I</strong> \\(b_1 \\neq b_2\\). Zawsze sprawdź, czy proste nie &quot;wyszły&quot; tą samą prostą!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Współczynnik kierunkowy prostej \\(k\\) to <strong>cały</strong> wyrażenie \\((3m+1)\\), a nie samo \\(m\\). Błędem jest wpisanie \\(m = -4\\) bez rozwiązania równania liniowego.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy rozwiązywaniu \\(3m + 1 = -4\\) przenosimy \\(+1\\) na prawą stronę ze <strong>zmianą znaku</strong>: \\(3m = -4 - 1 = -5\\), nie \\(-3\\). To najczęstsza pomyłka arytmetyczna w tym typie zadania.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Karta wzorów (równoległość)</h5>\n<p>Równe współczynniki kierunkowe: \\(3m+1 = -4\\).<br>\\[3m = -5 \\Rightarrow m = -\\tfrac{5}{3}.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Sprawdzenie</h5>\n<p>\\(m=-\\tfrac{5}{3}\\): \\(k: y = (-5+1)x + 2 = -4x + 2\\). \\(l: y = -4x + (-\\tfrac{10}{3}+5) = -4x + \\tfrac{5}{3}\\). Wspólny współczynnik \\(-4\\) → równoległe.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(-4\\)</strong> - dałoby \\(3m+1 = -11\\).</li><li><strong>C. \\(-\\tfrac{3}{2}\\), D. \\(-1\\)</strong> - dają inne \\(3m+1\\), nie równe \\(-4\\).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> dwie proste \\(y = a_1 x + b_1\\) i \\(y = a_2 x + b_2\\) są równoległe ⇔ \\(a_1 = a_2\\).</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, miara kąta środkowego $ASB$ jest równa $360^\\circ:5=72^\\circ$. Jest on oparty na tym samym łuku co szukany kąt wpisany $ACB$, a więc miara kąta $ACB$ jest dwa razy mniejsza: $72^\\circ:2=36^\\circ$.</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Łuk stanowi (1)/(5) okręgu, więc odpowiada mu kąt środkowy<br>360^°·(1)/(5)=72^°.<br>Kąt wpisany oparty na tym łuku ma połowę tej miary, czyli 36^° .</p>"}]}