{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa","number":"23","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23.\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dany jest okrąg 𝒪 o równaniu\n(𝑥-1)2 + (𝑦+ 2)2 = 5","answer":"A","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(8\\)\n\n## Sposób 1 - Ze wzoru na przekątną ściany\n\n**Przekątna ściany** sześcianu to przekątna kwadratu o boku \\(a\\).\n\nZe wzoru (twierdzenie Pitagorasa):\n\\[d_{\\text{ściany}} = a\\sqrt{2}\\]\n\nMamy dane \\(d_{\\text{ściany}} = 2\\sqrt{2}\\), więc:\n\\[a\\sqrt{2} = 2\\sqrt{2}\\]\n\\[a = 2\\]\n\n**Objętość sześcianu:**\n\\[V = a^3 = 2^3 = 8\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez przekątną bryły\n\nSprawdźmy, że \\(a = 2\\) jest poprawne, obliczając przekątną bryły (dla pewności).\n\n**Przekątna bryły** sześcianu:\n\\[d_{\\text{bryły}} = a\\sqrt{3} = 2\\sqrt{3}\\]\n\nTo jest inna wartość niż \\(2\\sqrt{2}\\) - potwierdza, że zadanie pyta o przekątną **ściany** (kwadratu), nie o przekątną całego sześcianu. Wszystko się zgadza.\n\nObjętość: \\(V = 2^3 = \\mathbf{8}\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - własności pierwiastków:\n\\[\\sqrt{a} \\cdot \\sqrt{b} = \\sqrt{ab}\\]\nUżyte przy upraszczaniu \\(a\\sqrt{2} = 2\\sqrt{2} \\Rightarrow a = 2\\).\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - objętość prostopadłościanu:\n\\[V = abc\\]\nDla sześcianu \\(a = b = c\\), więc \\(V = a^3\\). Stąd \\(V = 2^3 = 8\\).\n\nPrzekątna ściany pochodzi z **twierdzenia Pitagorasa (Dział 10, s. 15)**:\n\\[d = \\sqrt{a^2 + a^2} = a\\sqrt{2}\\]\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B - \\(24\\) | Uczeń liczy \\(V = a^3\\), ale myli przekątną ściany z bokiem - np. przyjmuje \\(a = \\frac{2\\sqrt{2}}{\\sqrt{3}}\\) lub bierze \\(a = 2\\sqrt{2}\\) wprost i liczy \\((2\\sqrt{2})^3 = 16\\sqrt{2}\\) (to odpowiedź D); albo 3·8=24 przez pomyłkę z polem |\n| C - \\(\\frac{16\\sqrt{6}}{9}\\) | Użycie wzoru na przekątną bryły \\(d = a\\sqrt{3}\\) zamiast ściany \\(d = a\\sqrt{2}\\), czyli \\(a = \\frac{2\\sqrt{2}}{\\sqrt{3}}\\), potem błędne obliczenie sześcianu |\n| D - \\(16\\sqrt{2}\\) | Przyjęcie \\(a = 2\\sqrt{2}\\) bez podzielenia przez \\(\\sqrt{2}\\) - mylenie przekątnej ściany z bokiem sześcianu |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przekątna **ściany** (\\(a\\sqrt{2}\\)) to nie to samo co przekątna **bryły** (\\(a\\sqrt{3}\\)) - to najczęstszy błąd w tym zadaniu. Ściana sześcianu to kwadrat, jej przekątna to \\(a\\sqrt{2}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie bierz \\(a = 2\\sqrt{2}\\) wprost! Przekątna ściany wynosi \\(2\\sqrt{2}\\), ale bok sześcianu to \\(a = \\frac{2\\sqrt{2}}{\\sqrt{2}} = 2\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że objętość sześcianu to \\(a^3\\), nie \\(a^2\\) (to byłoby pole ściany) ani \\(6a^2\\) (to pole powierzchni całkowitej).\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Karta wzorów (przekątna kwadratu)\nPrzekątna ściany = \\(a\\sqrt{2}\\), gdzie \\(a\\) - krawędź sześcianu.\n\\[a\\sqrt{2} = 2\\sqrt{2} \\Rightarrow a = 2.\\]\nObjętość: \\(V = a^3 = 2^3 = 8\\).\n\n### Sposób 2 - Pitagoras\n\\((2\\sqrt{2})^2 = 2a^2 \\Rightarrow 8 = 2a^2 \\Rightarrow a^2 = 4 \\Rightarrow a = 2\\). \\(V = 8\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(24\\)** - błędna krawędź (\\(\\approx 2{,}88\\)).\n- **C, D** - pomylenie przekątnej ściany z przekątną sześcianu (\\(a\\sqrt{3}\\)).\n\n**Trik:** przekątna **ściany** = \\(a\\sqrt{2}\\); przekątna **sześcianu** = \\(a\\sqrt{3}\\).","image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":21,"source":"maturazai","answer_source":"maturazai","answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 23.<br>W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dany jest okrąg 𝒪 o równaniu<br>(𝑥-1)2 + (𝑦+ 2)2 = 5</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A - \\(8\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Ze wzoru na przekątną ściany</h4>\n<p><strong>Przekątna ściany</strong> sześcianu to przekątna kwadratu o boku \\(a\\).</p>\n<p>Ze wzoru (twierdzenie Pitagorasa):<br>\\[d_{\\text{ściany}} = a\\sqrt{2}\\]</p>\n<p>Mamy dane \\(d_{\\text{ściany}} = 2\\sqrt{2}\\), więc:<br>\\[a\\sqrt{2} = 2\\sqrt{2}\\]<br>\\[a = 2\\]</p>\n<p><strong>Objętość sześcianu:</strong><br>\\[V = a^3 = 2^3 = 8\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez przekątną bryły</h4>\n<p>Sprawdźmy, że \\(a = 2\\) jest poprawne, obliczając przekątną bryły (dla pewności).</p>\n<p><strong>Przekątna bryły</strong> sześcianu:<br>\\[d_{\\text{bryły}} = a\\sqrt{3} = 2\\sqrt{3}\\]</p>\n<p>To jest inna wartość niż \\(2\\sqrt{2}\\) - potwierdza, że zadanie pyta o przekątną <strong>ściany</strong> (kwadratu), nie o przekątną całego sześcianu. Wszystko się zgadza.</p>\n<p>Objętość: \\(V = 2^3 = \\mathbf{8}\\) ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)</strong> - własności pierwiastków:<br>\\[\\sqrt{a} \\cdot \\sqrt{b} = \\sqrt{ab}\\]<br>Użyte przy upraszczaniu \\(a\\sqrt{2} = 2\\sqrt{2} \\Rightarrow a = 2\\).</p>\n<p><strong>Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)</strong> - objętość prostopadłościanu:<br>\\[V = abc\\]<br>Dla sześcianu \\(a = b = c\\), więc \\(V = a^3\\). Stąd \\(V = 2^3 = 8\\).</p>\n<p>Przekątna ściany pochodzi z <strong>twierdzenia Pitagorasa (Dział 10, s. 15)</strong>:<br>\\[d = \\sqrt{a^2 + a^2} = a\\sqrt{2}\\]</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| B - \\(24\\) | Uczeń liczy \\(V = a^3\\), ale myli przekątną ściany z bokiem - np. przyjmuje \\(a = \\frac{2\\sqrt{2}}{\\sqrt{3}}\\) lub bierze \\(a = 2\\sqrt{2}\\) wprost i liczy \\((2\\sqrt{2})^3 = 16\\sqrt{2}\\) (to odpowiedź D); albo 3·8=24 przez pomyłkę z polem |<br>| C - \\(\\frac{16\\sqrt{6}}{9}\\) | Użycie wzoru na przekątną bryły \\(d = a\\sqrt{3}\\) zamiast ściany \\(d = a\\sqrt{2}\\), czyli \\(a = \\frac{2\\sqrt{2}}{\\sqrt{3}}\\), potem błędne obliczenie sześcianu |<br>| D - \\(16\\sqrt{2}\\) | Przyjęcie \\(a = 2\\sqrt{2}\\) bez podzielenia przez \\(\\sqrt{2}\\) - mylenie przekątnej ściany z bokiem sześcianu |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przekątna <strong>ściany</strong> (\\(a\\sqrt{2}\\)) to nie to samo co przekątna <strong>bryły</strong> (\\(a\\sqrt{3}\\)) - to najczęstszy błąd w tym zadaniu. Ściana sześcianu to kwadrat, jej przekątna to \\(a\\sqrt{2}\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie bierz \\(a = 2\\sqrt{2}\\) wprost! Przekątna ściany wynosi \\(2\\sqrt{2}\\), ale bok sześcianu to \\(a = \\frac{2\\sqrt{2}}{\\sqrt{2}} = 2\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Pamiętaj, że objętość sześcianu to \\(a^3\\), nie \\(a^2\\) (to byłoby pole ściany) ani \\(6a^2\\) (to pole powierzchni całkowitej).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Karta wzorów (przekątna kwadratu)</h5>\n<p>Przekątna ściany = \\(a\\sqrt{2}\\), gdzie \\(a\\) - krawędź sześcianu.<br>\\[a\\sqrt{2} = 2\\sqrt{2} \\Rightarrow a = 2.\\]<br>Objętość: \\(V = a^3 = 2^3 = 8\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Pitagoras</h5>\n<p>\\((2\\sqrt{2})^2 = 2a^2 \\Rightarrow 8 = 2a^2 \\Rightarrow a^2 = 4 \\Rightarrow a = 2\\). \\(V = 8\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>B. \\(24\\)</strong> - błędna krawędź (\\(\\approx 2{,}88\\)).</li><li><strong>C, D</strong> - pomylenie przekątnej ściany z przekątną sześcianu (\\(a\\sqrt{3}\\)).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> przekątna <strong>ściany</strong> = \\(a\\sqrt{2}\\); przekątna <strong>sześcianu</strong> = \\(a\\sqrt{3}\\).</p>"}]}