{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa","number":"24","points":4,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (0-4)\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dane są punkty 𝐴= (2, 8) oraz\n𝐵= (10, 2). Symetralna odcinka 𝐴𝐵 przecina oś 𝑂𝑥 układu współrzędnych w punkcie 𝑃.\nOblicz współrzędne punktu 𝑷 oraz długość odcinka 𝑨𝑷. Zapisz obliczenia.\n\nMMAP-P0_100\n\nMMAP-P0_100\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) dane są punkty A=(2,8) oraz B=(10,2). Symetralna odcinka AB przecina oś Ox układu współrzędnych w punkcie P. Oblicz współrzędne punktu P oraz długość odcinka AP.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 24. (0-4)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n3. Dobieranie argumentów do uzasadnienia\npoprawności rozwiązywania problemów,\ntworzenie ciągu argumentów,\ngwarantujących poprawność rozwiązania\ni skuteczność w poszukiwaniu rozwiązań\nzagadnienia.\nZdający:\nIX.1) […] znajduje wspólny punkt dwóch\nprostych […];\nIX.2) posługuje się równaniem prostej na\npłaszczyźnie w postaci kierunkowej, w tym\nwyznacza równanie prostej o zadanych\nwłasnościach […];\nIX.3) oblicza odległość dwóch punktów\nw układzie współrzędnych.\nZasady oceniania\n4 pkt - poprawna metoda obliczenia współrzędnych punktu 𝑃 oraz długość odcinka 𝐴𝑃\noraz poprawne wyniki: 𝑃= (9\n4 , 0), |𝐴𝑃| = 5√41\n4\n3 pkt - obliczenie współrzędnych punktu 𝑃: 𝑃= (9\n4 , 0) .\n2 pkt - wyznaczenie równania symetralnej odcinka 𝐴𝐵 : 𝑦= 4\n3 𝑥-3\nALBO\n- zapisanie układu równań z dwiema niewiadomymi, np.\n√(𝑥𝑝-2)\n2 + (𝑦𝑝-8)\n2 = √(𝑥𝑝-10)\n2 + (𝑦𝑝-2)\n2 i 𝑦𝑝= 0\nALBO\n- zapisanie równania, w którym niewiadomą jest pierwsza współrzędna wierzchołka 𝑃,\nwynikającego z prostopadłości odpowiednich wektorów, np.\n(-4) ∙(𝑥𝑝-6) + 3 ∙(-5) = 0\n1 pkt - zapisanie współrzędnych środka 𝑀 odcinka 𝐴𝐵: 𝑀= (6, 5)\nALBO\n- wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej 𝐴𝐵: 𝑎𝐴𝐵= -3\n4\n,\nALBO\n- zapisanie równania prostej 𝐴𝐵 w postaci ogólnej: 3𝑥+ 4𝑦-38 = 0 ,\nALBO\n- zapisanie drugiej współrzędnej punktu 𝑃 np.: 𝑦𝑝= 0, 𝑃= (𝑥𝑝, 0) ,\nALBO\n- zapisanie równości |𝐴𝑃| = |𝐵𝑃| w zależności od współrzędnych punktu\n𝑃= (𝑥𝑝, 𝑦𝑝), np.\n√(𝑥𝑝-2)\n2 + (𝑦𝑝-8)\n2 = √(𝑥𝑝-10)\n2 + (𝑦𝑝-2)\n2\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający rozważa punkt 𝑃 leżący na osi 𝑂𝑥 i w rozwiązaniu popełnia tylko błędy\nrachunkowe, które nie przekreślają poprawności rozumowania, to za całe rozwiązanie\nmoże otrzymać co najwyżej 3 punkty.\n2. Jeżeli zdający rysuje w układzie współrzędnych symetralną odcinka 𝐴𝐵 i odczytuje\nwspółrzędne punktu 𝑃 i zapisuje 𝑃= (9\n4 , 0) oraz sprawdzi rachunkowo, że\n|𝐴𝑃| = |𝐵𝑃|, to za tę część rozwiązania otrzymuje 3 punkty (jeżeli tego sprawdzenia nie\nwykona, to otrzymuje za tę część rozwiązania 2 punkty, a gdy odczyta błędne\nwspółrzędne punktu 𝑃, to otrzymuje 0 punktów).\n3. Jeżeli zdający nie sporządzi rysunku i zapisze tylko 𝑃= (9\n4 , 0), to otrzymuje 0 punktów;\njeżeli zdający nie sporządzi rysunku, lecz zapisze 𝑃= (9\n4 , 0) i dalej kontynuuje\nrozwiązanie, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt.\n4. Jeżeli jedynym błędem zdającego jest:\na) zastosowanie niepoprawnego wzoru na współczynnik kierunkowy prostej\nb) zastosowanie niepoprawnego związku między współczynnikami kierunkowymi\nprostych prostopadłych\nc) zastosowanie niepoprawnego wzoru na współrzędne środka odcinka\nd) zastosowanie niepoprawnego warunku prostopadłości wektorów\ne) zastosowanie niepoprawnego wzoru na odległość dwóch punktów\nw kartezjańskim układzie współrzędnych\nf) zastosowanie niepoprawnych własności symetralnej\ng) przyjęcie, że wierzchołek 𝑃 leży poza osią 𝑂𝑥,\ni rozwiązanie zostanie doprowadzone konsekwentnie do końca, to zdający może otrzymać\n2 punkty za całe rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.\nJeżeli zdający popełni więcej niż jeden z wymienionych błędów a)-g), to otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.\n5. Jeżeli zdający rozważa dwa różne położenia punktu 𝑃 na osi 𝑂𝑥 i nie odrzuca\nniewłaściwego rozwiązania, to otrzymuje co najwyżej 3 punkty.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nObliczamy współczynnik kierunkowy prostej 𝐴𝐵:\n𝑎𝐴𝐵= 2 -8\n10 -2 = -3\n4\nZatem współczynnik kierunkowy symetralnej 𝑘 odcinka 𝐴𝐵 jest równy\n𝑎𝑘= 4\n3\nSymetralna 𝑘 przechodzi przez środek 𝑀 odcinka 𝐴𝐵. Obliczamy współrzędne punktu 𝑀:\n𝑀= (2 + 10\n2\n, 8 + 2\n2\n) = (6, 5)\nZatem prosta 𝑘 ma równanie postaci\n𝑦= 4\n3 (𝑥-6) + 5\n𝑦= 4\n3 𝑥-3\nPunkt 𝑃 jest punktem przecięcia symetralnej 𝑘 z osią 𝑂𝑥, więc współrzędne\npunktu 𝑃= (𝑥𝑝, 𝑦𝑝) spełniają równania\n𝑦𝑝= 4\n3 𝑥𝑝-3 oraz 𝑦𝑝= 0\nStąd otrzymujemy:\n0 = 4\n3 𝑥𝑝-3 oraz 𝑦𝑝= 0\n𝑥𝑝= 9\n4 oraz 𝑦𝑝= 0\nZatem 𝑃= (9\n4 , 0)\nObliczamy długość odcinka 𝐴𝑃:\n|𝐴𝑃| = √(9\n4 -2)\n2\n+ (0 -8)2 = √(1\n4)\n2\n+ (-8)2 = √1\n16 + 64 = √1025\n16\n= 5√41\n4\nSposób II\nPonieważ punkt 𝑃 leży na osi 𝑂𝑥, więc jego współrzędne są równe 𝑃= (𝑥𝑝, 0).\nPonieważ punkt 𝑃 leży na symetralnej odcinka 𝐴𝐵, więc |𝐴𝑃| = |𝐵𝑃|.\nStąd i ze wzoru na odległość między dwoma punktami otrzymujemy równanie\n√(𝑥𝑝-2)\n2 + (0 -8)2 = √(𝑥𝑝-10)\n2 + (0 -2)2\n(𝑥𝑝-2)\n2 + (0 -8)2 = (𝑥𝑝-10)\n2 + (0 -2)2\n𝑥𝑝\n2 -4𝑥𝑝+ 4 + 64 = 𝑥𝑝\n2 -20𝑥𝑝+ 100 + 4\n16𝑥𝑝= 36\n𝑥𝑝= 9\n4\nZatem 𝑃= (9\n4 , 0).\nObliczamy długość odcinka 𝐴𝑃:\n|𝐴𝑃| = √(9\n4 -2)\n2\n+ (0 -8)2 = √(1\n4)\n2\n+ (-8)2 = √1\n16 + 64 = √1025\n16\n= 5√41\n4\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nSposób III\nPonieważ punkt 𝑃 leży na osi 𝑂𝑥, więc jego współrzędne są równe 𝑃= (𝑥𝑝, 0).\nObliczamy współrzędne środka 𝑀 odcinka 𝐴𝐵:\n𝑀= (2 + 10\n2\n, 8 + 2\n2\n) = (6, 5)\nObliczamy współrzędne wektorów 𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ oraz 𝑀𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ :\n𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [2 -6, 8 -5] = [-4, 3]\n𝑀𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [𝑥𝑝-6, 0 -5] = [𝑥𝑝-6, -5]\nWektor 𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ jest prostopadły do wektora 𝑀𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , zatem\n-4 ∙(𝑥𝑝-6) + 3 ∙(-5) = 0\n-4𝑥𝑝+ 24 -15 = 0\n𝑥𝑝= 9\n4\nZatem punkt 𝑃 ma współrzędne 𝑃= (9\n4 , 0).\nObliczamy długość odcinka 𝐴𝑃:\n|𝐴𝑃| = √(9\n4 -2)\n2\n+ (0 -8)2 = √(1\n4)\n2\n+ (-8)2 = √1\n16 + 64 = √1025\n16\n= 5√41\n4","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(8\\sqrt{2}\\)\n\n## Sposób 1 - Przekątna i przekątna podstawy\n\n**Co wiemy o graniastosłupie prawidłowym czworokątnym?**\n\nPodstawa to kwadrat o boku \\(4\\). Szukamy wysokości \\(h\\).\n\n**Krok 1: Przekątna podstawy (kwadratu)**\n\n\\[d = 4\\sqrt{2}\\]\n\n(ze wzoru na przekątną kwadratu: \\(d = a\\sqrt{2}\\))\n\n**Krok 2: Zidentyfikuj trójkąt prostokątny**\n\nPrzekątna graniastosłupa (przestrzenna) \\(D\\) łączy dwa przeciwległe wierzchołki. Tworzy trójkąt prostokątny z:\n- podstawą = przekątna podstawy graniastosłupa = \\(4\\sqrt{2}\\)\n- przeciwprostokątną = przekątna przestrzenna \\(D\\)\n- pionową nogą = wysokość \\(h\\)\n\nKąt \\(\\alpha\\) to kąt między przekątną przestrzenną a płaszczyzną podstawy.\n\n**Krok 3: Zastosuj tangensa**\n\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\text{przeciwległa}}{\\text{przyległa}} = \\frac{h}{4\\sqrt{2}}\\]\n\n**Krok 4: Wyznacz \\(h\\)**\n\n\\[\\frac{h}{4\\sqrt{2}} = 2\\]\n\n\\[\\boxed{h = 8\\sqrt{2}}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez pełną przekątną\n\nObliczamy pełną przekątną przestrzenną i sprawdzamy kąt.\n\nPrzekątna przestrzenna:\n\\[D = \\sqrt{(4\\sqrt{2})^2 + (8\\sqrt{2})^2} = \\sqrt{32 + 128} = \\sqrt{160} = 4\\sqrt{10}\\]\n\nSprawdzenie:\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{h}{\\text{podstawa trójkąta}} = \\frac{8\\sqrt{2}}{4\\sqrt{2}} = \\frac{8}{4} = 2 \\checkmark\\]\n\nKąt się zgadza - wynik jest poprawny.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)**\n\nDla graniastosłupa - nie ma gotowego wzoru na przekątną, ale korzystamy z twierdzenia Pitagorasa (Dział 10, s. 15):\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\n\nNajpierw dla podstawy (kwadratu o boku \\(a = 4\\)):\n\\[d = \\sqrt{a^2 + a^2} = a\\sqrt{2} = 4\\sqrt{2}\\]\n\nNastępnie dla trójkąta prostokątnego zawierającego przekątną przestrzenną i kąt nachylenia:\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{h}{d}\\]\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - definicja tangensa kąta w trójkącie prostokątnym:\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\text{przyprostokątna naprzeciwko } \\alpha}{\\text{przyprostokątna przyległa do } \\alpha}\\]\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błędny tok myślenia |\n| A \\((= 2)\\) | Użyto boku podstawy jako \"sąsiedniej\" i jako \"naprzeciwległej\": \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{4}{h}\\), skąd \\(h = \\frac{4}{2} = 2\\) |\n| B \\((= 8)\\) | Użyto **boku** kwadratu zamiast **przekątnej** podstawy: \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{h}{4} = 2\\), skąd \\(h = 8\\) |\n| D \\((= 16\\sqrt{2})\\) | Pomylono wzór: wzięto \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{4\\sqrt{2}}{h}\\) (odwrotnie!), skąd \\(h = \\frac{4\\sqrt{2}}{2} = 2\\sqrt{2}\\) lub podwojono poprawny wynik |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przekątna graniastosłupa **nie jest** przekątną ściany bocznej! Rzut poziomy przekątnej przestrzennej to przekątna **podstawy** (\\(4\\sqrt{2}\\)), a nie bok (\\(4\\)). To najczęstszy błąd - prowadzi do odpowiedzi B.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt \\(\\alpha\\) leży **przy podstawie** trójkąta, więc tg = \\(\\frac{h}{d_{\\text{podstawy}}}\\), nie odwrotnie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przekątna kwadratu o boku \\(a\\) to \\(a\\sqrt{2}\\), nie \\(2a\\). Szybkie zapamiętanie: kwadrat o boku 1 ma przekątną \\(\\sqrt{2} \\approx 1{,}41\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Przekątna podstawy + trygonometria\nPrzekątna kwadratu podstawy: \\(d = 4\\sqrt{2}\\). Kąt \\(\\alpha\\) między przekątną graniastosłupa a podstawą:\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{H}{d} = \\dfrac{H}{4\\sqrt{2}} = 2 \\Rightarrow H = 8\\sqrt{2}.\\]\n\n### Sposób 2 - Pitagoras w trójkącie nachylenia\nTrójkąt prostokątny ma przyprostokątne \\(H\\) (pion) i \\(d = 4\\sqrt{2}\\) (poziom). \\(\\operatorname{tg}\\alpha = H/d = 2\\) → \\(H = 2\\cdot 4\\sqrt{2} = 8\\sqrt{2}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(2\\)** - nie wykorzystano przekątnej podstawy.\n- **B. \\(8\\)** - błędnie \\(d = 4\\) zamiast \\(4\\sqrt{2}\\).\n- **D. \\(16\\sqrt{2}\\)** - pomnożono dwukrotnie.\n\n**Trik:** kąt między przekątną bryły a podstawą → trójkąt prostokątny z \\(H\\) i przekątną podstawy.","image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/sol-24.svg","topics":"Geometria analityczna, analityczna","page_from":22,"source":"ocr","answer_source":"maturazai","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 24. (0-4)<br>W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dane są punkty 𝐴= (2, 8) oraz<br>𝐵= (10, 2). Symetralna odcinka 𝐴𝐵 przecina oś 𝑂𝑥 układu współrzędnych w punkcie 𝑃.<br>Oblicz współrzędne punktu 𝑷 oraz długość odcinka 𝑨𝑷. Zapisz obliczenia.</p>\n<p>MMAP-P0_100</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) dane są punkty A=(2,8) oraz B=(10,2). Symetralna odcinka AB przecina oś Ox układu współrzędnych w punkcie P. Oblicz współrzędne punktu P oraz długość odcinka AP.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 24. (0-4)<br>Wymagania egzaminacyjne 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>IV. Rozumowanie i argumentacja.</p>\n<ol><li>Dobieranie argumentów do uzasadnienia</li></ol>\n<p>poprawności rozwiązywania problemów,<br>tworzenie ciągu argumentów,<br>gwarantujących poprawność rozwiązania<br>i skuteczność w poszukiwaniu rozwiązań<br>zagadnienia.<br>Zdający:<br>IX.1) […] znajduje wspólny punkt dwóch<br>prostych […];<br>IX.2) posługuje się równaniem prostej na<br>płaszczyźnie w postaci kierunkowej, w tym<br>wyznacza równanie prostej o zadanych<br>własnościach […];<br>IX.3) oblicza odległość dwóch punktów<br>w układzie współrzędnych.<br>Zasady oceniania<br>4 pkt - poprawna metoda obliczenia współrzędnych punktu 𝑃 oraz długość odcinka 𝐴𝑃<br>oraz poprawne wyniki: 𝑃= (9<br>4 , 0), |𝐴𝑃| = 5√41<br>4<br>3 pkt - obliczenie współrzędnych punktu 𝑃: 𝑃= (9<br>4 , 0) .<br>2 pkt - wyznaczenie równania symetralnej odcinka 𝐴𝐵 : 𝑦= 4<br>3 𝑥-3<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie układu równań z dwiema niewiadomymi, np.</li></ul>\n<p>√(𝑥𝑝-2)<br>2 + (𝑦𝑝-8)<br>2 = √(𝑥𝑝-10)<br>2 + (𝑦𝑝-2)<br>2 i 𝑦𝑝= 0<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie równania, w którym niewiadomą jest pierwsza współrzędna wierzchołka 𝑃,</li></ul>\n<p>wynikającego z prostopadłości odpowiednich wektorów, np.<br>(-4) ∙(𝑥𝑝-6) + 3 ∙(-5) = 0<br>1 pkt - zapisanie współrzędnych środka 𝑀 odcinka 𝐴𝐵: 𝑀= (6, 5)<br>ALBO</p>\n<ul><li>wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej 𝐴𝐵: 𝑎𝐴𝐵= -3</li></ul>\n<p>4<br>,<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie równania prostej 𝐴𝐵 w postaci ogólnej: 3𝑥+ 4𝑦-38 = 0 ,</li></ul>\n<p>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie drugiej współrzędnej punktu 𝑃 np.: 𝑦𝑝= 0, 𝑃= (𝑥𝑝, 0) ,</li></ul>\n<p>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie równości |𝐴𝑃| = |𝐵𝑃| w zależności od współrzędnych punktu</li></ul>\n<p>𝑃= (𝑥𝑝, 𝑦𝑝), np.<br>√(𝑥𝑝-2)<br>2 + (𝑦𝑝-8)<br>2 = √(𝑥𝑝-10)<br>2 + (𝑦𝑝-2)<br>2<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający rozważa punkt 𝑃 leżący na osi 𝑂𝑥 i w rozwiązaniu popełnia tylko błędy</li></ol>\n<p>rachunkowe, które nie przekreślają poprawności rozumowania, to za całe rozwiązanie<br>może otrzymać co najwyżej 3 punkty.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający rysuje w układzie współrzędnych symetralną odcinka 𝐴𝐵 i odczytuje</li></ol>\n<p>współrzędne punktu 𝑃 i zapisuje 𝑃= (9<br>4 , 0) oraz sprawdzi rachunkowo, że<br>|𝐴𝑃| = |𝐵𝑃|, to za tę część rozwiązania otrzymuje 3 punkty (jeżeli tego sprawdzenia nie<br>wykona, to otrzymuje za tę część rozwiązania 2 punkty, a gdy odczyta błędne<br>współrzędne punktu 𝑃, to otrzymuje 0 punktów).</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający nie sporządzi rysunku i zapisze tylko 𝑃= (9</li></ol>\n<p>4 , 0), to otrzymuje 0 punktów;<br>jeżeli zdający nie sporządzi rysunku, lecz zapisze 𝑃= (9<br>4 , 0) i dalej kontynuuje<br>rozwiązanie, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt.</p>\n<ol><li>Jeżeli jedynym błędem zdającego jest:</li></ol>\n<p>a) zastosowanie niepoprawnego wzoru na współczynnik kierunkowy prostej<br>b) zastosowanie niepoprawnego związku między współczynnikami kierunkowymi<br>prostych prostopadłych<br>c) zastosowanie niepoprawnego wzoru na współrzędne środka odcinka<br>d) zastosowanie niepoprawnego warunku prostopadłości wektorów<br>e) zastosowanie niepoprawnego wzoru na odległość dwóch punktów<br>w kartezjańskim układzie współrzędnych<br>f) zastosowanie niepoprawnych własności symetralnej<br>g) przyjęcie, że wierzchołek 𝑃 leży poza osią 𝑂𝑥,<br>i rozwiązanie zostanie doprowadzone konsekwentnie do końca, to zdający może otrzymać<br>2 punkty za całe rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.<br>Jeżeli zdający popełni więcej niż jeden z wymienionych błędów a)-g), to otrzymuje<br>0 punktów za całe rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający rozważa dwa różne położenia punktu 𝑃 na osi 𝑂𝑥 i nie odrzuca</li></ol>\n<p>niewłaściwego rozwiązania, to otrzymuje co najwyżej 3 punkty.<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób I<br>Obliczamy współczynnik kierunkowy prostej 𝐴𝐵:<br>𝑎𝐴𝐵= 2 -8<br>10 -2 = -3<br>4<br>Zatem współczynnik kierunkowy symetralnej 𝑘 odcinka 𝐴𝐵 jest równy<br>𝑎𝑘= 4<br>3<br>Symetralna 𝑘 przechodzi przez środek 𝑀 odcinka 𝐴𝐵. Obliczamy współrzędne punktu 𝑀:<br>𝑀= (2 + 10<br>2<br>, 8 + 2<br>2<br>) = (6, 5)<br>Zatem prosta 𝑘 ma równanie postaci<br>𝑦= 4<br>3 (𝑥-6) + 5<br>𝑦= 4<br>3 𝑥-3<br>Punkt 𝑃 jest punktem przecięcia symetralnej 𝑘 z osią 𝑂𝑥, więc współrzędne<br>punktu 𝑃= (𝑥𝑝, 𝑦𝑝) spełniają równania<br>𝑦𝑝= 4<br>3 𝑥𝑝-3 oraz 𝑦𝑝= 0<br>Stąd otrzymujemy:<br>0 = 4<br>3 𝑥𝑝-3 oraz 𝑦𝑝= 0<br>𝑥𝑝= 9<br>4 oraz 𝑦𝑝= 0<br>Zatem 𝑃= (9<br>4 , 0)<br>Obliczamy długość odcinka 𝐴𝑃:<br>|𝐴𝑃| = √(9<br>4 -2)<br>2</p>\n<ul><li>(0 -8)2 = √(1</li></ul>\n<p>4)<br>2</p>\n<ul><li>(-8)2 = √1</li></ul>\n<p>16 + 64 = √1025<br>16<br>= 5√41<br>4<br>Sposób II<br>Ponieważ punkt 𝑃 leży na osi 𝑂𝑥, więc jego współrzędne są równe 𝑃= (𝑥𝑝, 0).<br>Ponieważ punkt 𝑃 leży na symetralnej odcinka 𝐴𝐵, więc |𝐴𝑃| = |𝐵𝑃|.<br>Stąd i ze wzoru na odległość między dwoma punktami otrzymujemy równanie<br>√(𝑥𝑝-2)<br>2 + (0 -8)2 = √(𝑥𝑝-10)<br>2 + (0 -2)2<br>(𝑥𝑝-2)<br>2 + (0 -8)2 = (𝑥𝑝-10)<br>2 + (0 -2)2<br>𝑥𝑝<br>2 -4𝑥𝑝+ 4 + 64 = 𝑥𝑝<br>2 -20𝑥𝑝+ 100 + 4<br>16𝑥𝑝= 36<br>𝑥𝑝= 9<br>4<br>Zatem 𝑃= (9<br>4 , 0).<br>Obliczamy długość odcinka 𝐴𝑃:<br>|𝐴𝑃| = √(9<br>4 -2)<br>2</p>\n<ul><li>(0 -8)2 = √(1</li></ul>\n<p>4)<br>2</p>\n<ul><li>(-8)2 = √1</li></ul>\n<p>16 + 64 = √1025<br>16<br>= 5√41<br>4<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Sposób III<br>Ponieważ punkt 𝑃 leży na osi 𝑂𝑥, więc jego współrzędne są równe 𝑃= (𝑥𝑝, 0).<br>Obliczamy współrzędne środka 𝑀 odcinka 𝐴𝐵:<br>𝑀= (2 + 10<br>2<br>, 8 + 2<br>2<br>) = (6, 5)<br>Obliczamy współrzędne wektorów 𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ oraz 𝑀𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ :<br>𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [2 -6, 8 -5] = [-4, 3]<br>𝑀𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [𝑥𝑝-6, 0 -5] = [𝑥𝑝-6, -5]<br>Wektor 𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ jest prostopadły do wektora 𝑀𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , zatem<br>-4 ∙(𝑥𝑝-6) + 3 ∙(-5) = 0<br>-4𝑥𝑝+ 24 -15 = 0<br>𝑥𝑝= 9<br>4<br>Zatem punkt 𝑃 ma współrzędne 𝑃= (9<br>4 , 0).<br>Obliczamy długość odcinka 𝐴𝑃:<br>|𝐴𝑃| = √(9<br>4 -2)<br>2</p>\n<ul><li>(0 -8)2 = √(1</li></ul>\n<p>4)<br>2</p>\n<ul><li>(-8)2 = √1</li></ul>\n<p>16 + 64 = √1025<br>16<br>= 5√41<br>4</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/sol-24.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C - \\(8\\sqrt{2}\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Przekątna i przekątna podstawy</h4>\n<p><strong>Co wiemy o graniastosłupie prawidłowym czworokątnym?</strong></p>\n<p>Podstawa to kwadrat o boku \\(4\\). Szukamy wysokości \\(h\\).</p>\n<p><strong>Krok 1: Przekątna podstawy (kwadratu)</strong></p>\n<p>\\[d = 4\\sqrt{2}\\]</p>\n<p>(ze wzoru na przekątną kwadratu: \\(d = a\\sqrt{2}\\))</p>\n<p><strong>Krok 2: Zidentyfikuj trójkąt prostokątny</strong></p>\n<p>Przekątna graniastosłupa (przestrzenna) \\(D\\) łączy dwa przeciwległe wierzchołki. Tworzy trójkąt prostokątny z:</p>\n<ul><li>podstawą = przekątna podstawy graniastosłupa = \\(4\\sqrt{2}\\)</li><li>przeciwprostokątną = przekątna przestrzenna \\(D\\)</li><li>pionową nogą = wysokość \\(h\\)</li></ul>\n<p>Kąt \\(\\alpha\\) to kąt między przekątną przestrzenną a płaszczyzną podstawy.</p>\n<p><strong>Krok 3: Zastosuj tangensa</strong></p>\n<p>\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\text{przeciwległa}}{\\text{przyległa}} = \\frac{h}{4\\sqrt{2}}\\]</p>\n<p><strong>Krok 4: Wyznacz \\(h\\)</strong></p>\n<p>\\[\\frac{h}{4\\sqrt{2}} = 2\\]</p>\n<p>\\[\\boxed{h = 8\\sqrt{2}}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez pełną przekątną</h4>\n<p>Obliczamy pełną przekątną przestrzenną i sprawdzamy kąt.</p>\n<p>Przekątna przestrzenna:<br>\\[D = \\sqrt{(4\\sqrt{2})^2 + (8\\sqrt{2})^2} = \\sqrt{32 + 128} = \\sqrt{160} = 4\\sqrt{10}\\]</p>\n<p>Sprawdzenie:<br>\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{h}{\\text{podstawa trójkąta}} = \\frac{8\\sqrt{2}}{4\\sqrt{2}} = \\frac{8}{4} = 2 \\checkmark\\]</p>\n<p>Kąt się zgadza - wynik jest poprawny.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)</strong></p>\n<p>Dla graniastosłupa - nie ma gotowego wzoru na przekątną, ale korzystamy z twierdzenia Pitagorasa (Dział 10, s. 15):<br>\\[a^2 + b^2 = c^2\\]</p>\n<p>Najpierw dla podstawy (kwadratu o boku \\(a = 4\\)):<br>\\[d = \\sqrt{a^2 + a^2} = a\\sqrt{2} = 4\\sqrt{2}\\]</p>\n<p>Następnie dla trójkąta prostokątnego zawierającego przekątną przestrzenną i kąt nachylenia:<br>\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{h}{d}\\]</p>\n<p><strong>Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)</strong> - definicja tangensa kąta w trójkącie prostokątnym:<br>\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\text{przyprostokątna naprzeciwko } \\alpha}{\\text{przyprostokątna przyległa do } \\alpha}\\]</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błędny tok myślenia |<br>| A \\((= 2)\\) | Użyto boku podstawy jako &quot;sąsiedniej&quot; i jako &quot;naprzeciwległej&quot;: \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{4}{h}\\), skąd \\(h = \\frac{4}{2} = 2\\) |<br>| B \\((= 8)\\) | Użyto <strong>boku</strong> kwadratu zamiast <strong>przekątnej</strong> podstawy: \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{h}{4} = 2\\), skąd \\(h = 8\\) |<br>| D \\((= 16\\sqrt{2})\\) | Pomylono wzór: wzięto \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{4\\sqrt{2}}{h}\\) (odwrotnie!), skąd \\(h = \\frac{4\\sqrt{2}}{2} = 2\\sqrt{2}\\) lub podwojono poprawny wynik |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przekątna graniastosłupa <strong>nie jest</strong> przekątną ściany bocznej! Rzut poziomy przekątnej przestrzennej to przekątna <strong>podstawy</strong> (\\(4\\sqrt{2}\\)), a nie bok (\\(4\\)). To najczęstszy błąd - prowadzi do odpowiedzi B.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Kąt \\(\\alpha\\) leży <strong>przy podstawie</strong> trójkąta, więc tg = \\(\\frac{h}{d_{\\text{podstawy}}}\\), nie odwrotnie.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przekątna kwadratu o boku \\(a\\) to \\(a\\sqrt{2}\\), nie \\(2a\\). Szybkie zapamiętanie: kwadrat o boku 1 ma przekątną \\(\\sqrt{2} \\approx 1{,}41\\).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Przekątna podstawy + trygonometria</h5>\n<p>Przekątna kwadratu podstawy: \\(d = 4\\sqrt{2}\\). Kąt \\(\\alpha\\) między przekątną graniastosłupa a podstawą:<br>\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{H}{d} = \\dfrac{H}{4\\sqrt{2}} = 2 \\Rightarrow H = 8\\sqrt{2}.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Pitagoras w trójkącie nachylenia</h5>\n<p>Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne \\(H\\) (pion) i \\(d = 4\\sqrt{2}\\) (poziom). \\(\\operatorname{tg}\\alpha = H/d = 2\\) → \\(H = 2\\cdot 4\\sqrt{2} = 8\\sqrt{2}\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(2\\)</strong> - nie wykorzystano przekątnej podstawy.</li><li><strong>B. \\(8\\)</strong> - błędnie \\(d = 4\\) zamiast \\(4\\sqrt{2}\\).</li><li><strong>D. \\(16\\sqrt{2}\\)</strong> - pomnożono dwukrotnie.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> kąt między przekątną bryły a podstawą → trójkąt prostokątny z \\(H\\) i przekątną podstawy.</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Dane są punkty A=(2,8) oraz B=(10,2) .</p>\n<p>Środek odcinka AB :</p>\n<p>S= ((2+10)/(2),(8+2)/(2) )=(6,5).</p>\n<p>Współczynnik kierunkowy prostej AB :</p>\n<p>a_AB=(2-8)/(10-2)=-(3)/(4).</p>\n<p>Symetralna jest prostopadła do AB , więc ma współczynnik (4)/(3) i przechodzi przez S=(6,5) :</p>\n<p>y-5=(4)/(3)(x-6).</p>\n<p>Punkt P leży na osi Ox , więc y=0 :</p>\n<p>-5=(4)/(3)(x-6).</p>\n<p>-15=4x-24.</p>\n<p>4x=9.</p>\n<p>x=(9)/(4).</p>\n<p>P= ((9)/(4),0 ).</p>\n<p>Teraz obliczamy długość AP :</p>\n<p>|AP|=√( ((9)/(4)-2 )^2+(0-8)^2).</p>\n<p>|AP|=√( ((1)/(4) )^2+64)<br>=√((1025)/(16))<br>=frac √(1025) 4<br>=frac 5√(41) 4.</p>"}]}