{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa","number":"25","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (0-1)\nOstrosłup prawidłowy ma 2024 ściany boczne.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba wszystkich krawędzi tego ostrosłupa jest równa\nA. 2025\nB. 2026\nC. 4048\nD. 4052\nOstrosłup prawidłowy ma 2024 ściany boczne. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba wszystkich krawędzi tego ostrosłupa jest równa A. 2025 B. 2026 C. 4048 D. 4052","answer":"C","answer_text":"Zadanie 25. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nXI.1) zlicza obiekty w prostych sytuacjach\nkombinatorycznych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(4048\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na krawędzie ostrosłupa prawidłowego\n\nOstrosłup prawidłowy o podstawie \\(n\\)-kątnej ma:\n- \\(n\\) krawędzi podstawy\n- \\(n\\) krawędzi bocznych\n- razem: \\(2n\\) krawędzi\n\n**Skąd wiemy, ile wynosi \\(n\\)?**\n\nOstrosłup ma tyle ścian bocznych, ile boków ma jego podstawa. Jeśli jest \\(2024\\) ścian bocznych, to podstawa jest \\(2024\\)-kątem, czyli \\(n = 2024\\).\n\n**Obliczamy liczbę krawędzi:**\n\\[k = 2n = 2 \\cdot 2024 = \\mathbf{4048}\\]\n\n## Sposób 2 - Liczenie metodą składową\n\nPoliczmy krawędzie osobno, żeby nie pomylić typów:\n\n**Krawędzie podstawy** - to boki \\(2024\\)-kąta:\n\\[k_\\text{podstawa} = 2024\\]\n\n**Krawędzie boczne** - każdy wierzchołek podstawy jest połączony krawędzią z wierzchołkiem ostrosłupa (szczytem). Wierzchołków podstawy jest \\(2024\\), więc:\n\\[k_\\text{boczne} = 2024\\]\n\n**Suma:**\n\\[k = 2024 + 2024 = \\mathbf{4048}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość definicji ostrosłupa prawidłowego i policzenie krawędzi ze wzoru \\(k = 2n\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A: \\(2025\\) | Policzono tylko krawędzie boczne i dodano \\(1\\) (np. pomyłka z liczbą wierzchołków: \\(n + 1\\)) |\n| B: \\(2026\\) | Policzono krawędzie boczne i dodano \\(2\\) - mylenie liczby krawędzi z liczbą wierzchołków (\\(n + 1\\)) lub ścian (\\(n + 1\\)) |\n| D: \\(4052\\) | Wliczono dodatkowo \\(4\\) zbędne elementy, np. dodano osobno liczbę ścian (\\(2024 + 1 = 2025\\)) zamiast tylko krawędzi |\n\n> Uwaga na A i B: wynik rzędu \\(\\approx 2025\\) sugeruje policzenie tylko jednego rodzaju krawędzi, a jest ich dwa rodzaje!\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Krawędzie podstawy są równie ważne jak boczne - łatwo zapomnieć o całej podstawie i wziąć tylko \\(n\\) krawędzi bocznych, dostając błędną odpowiedź A lub B.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić krawędzi z wierzchołkami ani ze ścianami! Ostrosłup \\(n\\)-kątny ma \\(2n\\) krawędzi, \\(n+1\\) wierzchołków i \\(n+1\\) ścian (n bocznych + 1 podstawa).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \"Prawidłowy\" oznacza, że podstawa jest wielokątem foremnym, a szczyt leży nad jej środkiem - nie zmienia to jednak wzoru na liczbę krawędzi, który działa dla każdego ostrosłupa \\(n\\)-kątnego.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Zliczanie krawędzi\nOstrosłup z \\(n\\)-kątem w podstawie: \\(n\\) ścian bocznych, \\(n\\) krawędzi podstawy, \\(n\\) krawędzi bocznych. Razem: \\(2n\\).\nTu \\(n = 2024\\): \\(2\\cdot 2024 = 4048\\).\n\n### Sposób 2 - Wzór Eulera (V-E+F=2)\nWierzchołków: \\(n+1\\); ścian: \\(n+1\\). Zatem \\(E = V + F - 2 = 2n + 2 - 2 = 2n = 4048\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(2025\\)** - liczba wierzchołków.\n- **B. \\(2026\\)** - błąd rachunkowy.\n- **D. \\(4052\\)** - dodano dodatkowe krawędzie.\n\n**Trik:** ostrosłup \\(n\\)-kątny ma zawsze \\(2n\\) krawędzi.","image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/sol-25.svg","topics":"Graniastosłupy i ostrosłupy, stereometria","page_from":24,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 25. (0-1)
Ostrosłup prawidłowy ma 2024 ściany boczne.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba wszystkich krawędzi tego ostrosłupa jest równa
A. 2025
B. 2026
C. 4048
D. 4052
Ostrosłup prawidłowy ma 2024 ściany boczne. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba wszystkich krawędzi tego ostrosłupa jest równa A. 2025 B. 2026 C. 4048 D. 4052

","answer_text_html":"

Zadanie 25. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 2024
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Dobieranie i tworzenie modeli
\n

matematycznych przy rozwiązywaniu
problemów praktycznych i teoretycznych.
Zdający:
XI.1) zlicza obiekty w prostych sytuacjach
kombinatorycznych.
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
C

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/sol-25.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C - \\(4048\\)

\n

Sposób 1 - Wzór na krawędzie ostrosłupa prawidłowego

\n

Ostrosłup prawidłowy o podstawie \\(n\\)-kątnej ma:

\n\n

Skąd wiemy, ile wynosi \\(n\\)?

\n

Ostrosłup ma tyle ścian bocznych, ile boków ma jego podstawa. Jeśli jest \\(2024\\) ścian bocznych, to podstawa jest \\(2024\\)-kątem, czyli \\(n = 2024\\).

\n

Obliczamy liczbę krawędzi:
\\[k = 2n = 2 \\cdot 2024 = \\mathbf{4048}\\]

\n

Sposób 2 - Liczenie metodą składową

\n

Policzmy krawędzie osobno, żeby nie pomylić typów:

\n

Krawędzie podstawy - to boki \\(2024\\)-kąta:
\\[k_\\text{podstawa} = 2024\\]

\n

Krawędzie boczne - każdy wierzchołek podstawy jest połączony krawędzią z wierzchołkiem ostrosłupa (szczytem). Wierzchołków podstawy jest \\(2024\\), więc:
\\[k_\\text{boczne} = 2024\\]

\n

Suma:
\\[k = 2024 + 2024 = \\mathbf{4048}\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość definicji ostrosłupa prawidłowego i policzenie krawędzi ze wzoru \\(k = 2n\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| A: \\(2025\\) | Policzono tylko krawędzie boczne i dodano \\(1\\) (np. pomyłka z liczbą wierzchołków: \\(n + 1\\)) |
| B: \\(2026\\) | Policzono krawędzie boczne i dodano \\(2\\) - mylenie liczby krawędzi z liczbą wierzchołków (\\(n + 1\\)) lub ścian (\\(n + 1\\)) |
| D: \\(4052\\) | Wliczono dodatkowo \\(4\\) zbędne elementy, np. dodano osobno liczbę ścian (\\(2024 + 1 = 2025\\)) zamiast tylko krawędzi |

\n
Uwaga na A i B: wynik rzędu \\(\\approx 2025\\) sugeruje policzenie tylko jednego rodzaju krawędzi, a jest ich dwa rodzaje!
\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Krawędzie podstawy są równie ważne jak boczne - łatwo zapomnieć o całej podstawie i wziąć tylko \\(n\\) krawędzi bocznych, dostając błędną odpowiedź A lub B.
\n
⚠️ Uwaga: Nie mylić krawędzi z wierzchołkami ani ze ścianami! Ostrosłup \\(n\\)-kątny ma \\(2n\\) krawędzi, \\(n+1\\) wierzchołków i \\(n+1\\) ścian (n bocznych + 1 podstawa).
\n
⚠️ Uwaga: "Prawidłowy" oznacza, że podstawa jest wielokątem foremnym, a szczyt leży nad jej środkiem - nie zmienia to jednak wzoru na liczbę krawędzi, który działa dla każdego ostrosłupa \\(n\\)-kątnego.
\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1 - Zliczanie krawędzi
\n

Ostrosłup z \\(n\\)-kątem w podstawie: \\(n\\) ścian bocznych, \\(n\\) krawędzi podstawy, \\(n\\) krawędzi bocznych. Razem: \\(2n\\).
Tu \\(n = 2024\\): \\(2\\cdot 2024 = 4048\\).

\n
Sposób 2 - Wzór Eulera (V-E+F=2)
\n

Wierzchołków: \\(n+1\\); ścian: \\(n+1\\). Zatem \\(E = V + F - 2 = 2n + 2 - 2 = 2n = 4048\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: ostrosłup \\(n\\)-kątny ma zawsze \\(2n\\) krawędzi.

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"

Rozwiązanie krok po kroku:

\n
  1. Zaznaczmy, że ostrosłup prawidłowy to bryła, która ma jedno wielokątne podstawę oraz ściany boczne, które są trójkątami. W naszym przypadku ostrosłup ma $2024$ ściany boczne, co oznacza, że jego podstawa jest wielokątem o $2024$ bokach. Taką figurę nazywamy wielokątem $n$-kątnym, gdzie $n = 2024$.
\n
  1. Liczbę krawędzi $E$ w ostrosłupie możemy obliczyć ze wzoru:
\n

$$E = n + (n - 1)$$
Gdzie $n$ to liczba boków podstawy, a $(n - 1)$ to liczba krawędzi łączących wierzchołki podstawy ze szczytem ostrosłupa.
Wstawiamy naszą wartość $n = 2024$:
$$E = 2024 + (2024 - 1)$$

\n
  1. Rozwijamy wyrażenie:
\n

$$E = 2024 + 2023$$

\n
  1. Obliczamy $E$:
\n

$$E = 4047$$

\n
  1. Po zweryfikowaniu możemy stwierdzić, że mamy jedną krawędź na podstawie $2024$ oraz dodatkowe $2024$ krawędzi dla każdej ściany bocznej łączącej wierzchołki z szczytem ostrosłupa:
\n

$$E = 2024 + 2024 = 4048$$

\n
  1. Spośród dostępnych opcji odpowiedzi wybieramy odpowiedź C: $4048$.
\n

Odpowiedź: 4048

"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

Ostrosłup o podstawie będącej 2024 -kątem ma 2024 krawędzie podstawy oraz 2024 krawędzie boczne. Razem:
2024+2024=4048.

"}]}