{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa","number":"26","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (0-1)\nPrzekątna ściany sześcianu ma długość 2√2.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nObjętość tego sześcianu jest równa\nA. 8\nB. 24\nC. 16√6\n9\nD. 16√2\n\nMMAP-P0_100\nPrzekątna ściany sześcianu ma długość 2√2. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Objętość tego sześcianu jest równa A. 8 B. 24 C. 16√6/9 D. 16√2","answer":"A","answer_text":"Zadanie 26. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nX.4) oblicza objętości […] graniastosłupów\n[…].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(l = 5\\)\n\n## Sposób 1 - Wyrażenie pola powierzchni całkowitej przez apotema ściany\n\nWprowadźmy oznaczenia:\n- \\(a = 4\\) - krawędź podstawy\n- \\(l\\) - szukana wysokość ściany bocznej (apotema ściany bocznej, czyli odcinek z \\(S\\) prostopadle do \\(AB\\))\n\n**Krok 1. Pole podstawy.**\n\nPodstawa to kwadrat o boku \\(a = 4\\), więc:\n\\[P_p = a^2 = 4^2 = 16\\]\n\n**Krok 2. Pole jednej ściany bocznej.**\n\nKażda ściana boczna to trójkąt równoramienny z podstawą \\(a = 4\\) i wysokością \\(l\\) (właśnie szukana wysokość ściany):\n\\[P_{\\text{ściany}} = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot l = \\frac{1}{2} \\cdot 4 \\cdot l = 2l\\]\n\n**Krok 3. Pole powierzchni całkowitej.**\n\nOstrosłup czworokątny ma 4 ściany boczne i 1 podstawę:\n\\[P_c = P_p + 4 \\cdot P_{\\text{ściany}} = 16 + 4 \\cdot 2l = 16 + 8l\\]\n\n**Krok 4. Wyznaczenie \\(l\\).**\n\nZ warunku \\(P_c = 56\\):\n\\[16 + 8l = 56\\]\n\\[8l = 40\\]\n\\[\\boxed{l = 5}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez wzór na pole boczne ostrosłupa\n\nPole boczne ostrosłupa prawidłowego wyraża się wzorem:\n\\[P_b = \\frac{1}{2} \\cdot \\text{obwód podstawy} \\cdot l\\]\n\nObwód podstawy (kwadrat o boku 4):\n\\[\\text{obwód} = 4 \\cdot 4 = 16\\]\n\nStąd:\n\\[P_c = P_b + P_p \\implies 56 = \\frac{1}{2} \\cdot 16 \\cdot l + 16\\]\n\\[56 = 8l + 16\\]\n\\[8l = 40\\]\n\\[\\boxed{l = 5}\\]\n\n**Weryfikacja:** \\(P_c = 16 + 4 \\cdot \\frac{1}{2} \\cdot 4 \\cdot 5 = 16 + 40 = 56\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-21)** - pole trójkąta:\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot h_a\\]\nKażda ściana boczna ostrosłupa to trójkąt. Użyliśmy tego wzoru, żeby zapisać pole jednej ściany jako \\(\\frac{1}{2} \\cdot 4 \\cdot l\\).\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - objętość ostrosłupa:\n\\[V = \\frac{1}{3} \\cdot P_p \\cdot h\\]\nSam wzór na objętość tu nie jest potrzebny, ale schemat ostrosłupa jest zdefiniowany właśnie tam. Karta nie podaje gotowego wzoru na \\(P_c\\) ostrosłupa - trzeba go złożyć z pola podstawy i 4 trójkątów.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd | Obliczenie |\n| A \\((= 3)\\) | Odjęto dwa pola podstawy zamiast jednego (jak w graniastosłupie, gdzie są dwa wieka) | \\(P_b = 56 - 2 \\cdot 16 = 24\\), \\(8l = 24\\), \\(l = 3\\) |\n| B \\(\\left(= \\frac{5}{2}\\right)\\) | Zapomniano o czynniku \\(\\frac{1}{2}\\) we wzorze na pole trójkąta - liczono jak pole prostokąta \\(a \\times l\\) | \\(4 \\cdot 4 \\cdot l + 16 = 56 \\Rightarrow 16l = 40 \\Rightarrow l = \\frac{5}{2}\\) |\n| C \\(\\left(= \\frac{21}{2}\\right)\\) | Pomylono apotema ściany bocznej \\(l\\) z wysokością całego ostrosłupa \\(H\\) - policzono \\(l = 5\\) poprawnie, ale następnie wyciągnięto \\(H^2 = l^2 - \\left(\\frac{a}{2}\\right)^2 = 25 - 4 = 21\\) i błędnie podano \\(\\frac{21}{2}\\) jako odpowiedź | \\(H = \\sqrt{21} \\neq \\frac{21}{2}\\) - to zupełnie inna wielkość |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** „Wysokość ściany bocznej\" (apotema ściany) to **nie** jest wysokość ostrosłupa \\(H\\)! To odcinek z wierzchołka \\(S\\) prostopadle do środka krawędzi podstawy \\(AB\\) - przebiega wewnątrz trójkątnej ściany bocznej.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy liczeniu pola powierzchni całkowitej ostrosłupa czworokątnego: **jedna** podstawa (kwadrat), nie dwie jak w graniastosłupie. Łatwo się pomylić, jeśli ktoś uczy się obu wzorów na raz.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pole trójkąta to \\(\\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot h\\), nie \\(a \\cdot h\\). Brak tego dzielenia przez 2 prowadzi prosto do odpowiedzi B - jest to bardzo częsty błąd przy pośpiechu.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Z pola powierzchni\nPole podstawy: \\(P_p = 4^2 = 16\\). Pole powierzchni bocznej: \\(P_b = 56 - 16 = 40\\). Ściany boczne (4 trójkąty równoramienne o podstawie 4 i wysokości \\(h\\)):\n\\[4\\cdot \\tfrac{1}{2}\\cdot 4\\cdot h = 8h = 40 \\Rightarrow h = 5.\\]\n\n### Sposób 2 - Wzór bezpośredni\n\\(P_c = a^2 + 4\\cdot\\tfrac{ah}{2} = a^2 + 2ah\\). \\(16 + 8h = 56 \\Rightarrow h = 5\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(3\\)** - dałoby \\(P_c = 40\\).\n- **B. \\(\\tfrac{5}{2}\\)** - za małe.\n- **C. \\(\\tfrac{21}{2}\\)** - błędnie \\(P_b = 84\\).\n\n**Trik:** \\(P_c = P_p + P_b\\); wysokość ściany bocznej → w polu trójkąta jako wysokość.","image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/sol-26.svg","topics":"Graniastosłupy i ostrosłupy, stereometria","page_from":24,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 26. (0-1)
Przekątna ściany sześcianu ma długość 2√2.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Objętość tego sześcianu jest równa
A. 8
B. 24
C. 16√6
9
D. 16√2

\n

MMAP-P0_100
Przekątna ściany sześcianu ma długość 2√2. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Objętość tego sześcianu jest równa A. 8 B. 24 C. 16√6/9 D. 16√2

","answer_text_html":"

Zadanie 26. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 2024
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Dobieranie i tworzenie modeli
\n

matematycznych przy rozwiązywaniu
problemów praktycznych i teoretycznych.
Zdający:
X.4) oblicza objętości […] graniastosłupów
[…].
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
A
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/sol-26.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: D - \\(l = 5\\)

\n

Sposób 1 - Wyrażenie pola powierzchni całkowitej przez apotema ściany

\n

Wprowadźmy oznaczenia:

\n\n

Krok 1. Pole podstawy.

\n

Podstawa to kwadrat o boku \\(a = 4\\), więc:
\\[P_p = a^2 = 4^2 = 16\\]

\n

Krok 2. Pole jednej ściany bocznej.

\n

Każda ściana boczna to trójkąt równoramienny z podstawą \\(a = 4\\) i wysokością \\(l\\) (właśnie szukana wysokość ściany):
\\[P_{\\text{ściany}} = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot l = \\frac{1}{2} \\cdot 4 \\cdot l = 2l\\]

\n

Krok 3. Pole powierzchni całkowitej.

\n

Ostrosłup czworokątny ma 4 ściany boczne i 1 podstawę:
\\[P_c = P_p + 4 \\cdot P_{\\text{ściany}} = 16 + 4 \\cdot 2l = 16 + 8l\\]

\n

Krok 4. Wyznaczenie \\(l\\).

\n

Z warunku \\(P_c = 56\\):
\\[16 + 8l = 56\\]
\\[8l = 40\\]
\\[\\boxed{l = 5}\\]

\n

Sposób 2 - Przez wzór na pole boczne ostrosłupa

\n

Pole boczne ostrosłupa prawidłowego wyraża się wzorem:
\\[P_b = \\frac{1}{2} \\cdot \\text{obwód podstawy} \\cdot l\\]

\n

Obwód podstawy (kwadrat o boku 4):
\\[\\text{obwód} = 4 \\cdot 4 = 16\\]

\n

Stąd:
\\[P_c = P_b + P_p \\implies 56 = \\frac{1}{2} \\cdot 16 \\cdot l + 16\\]
\\[56 = 8l + 16\\]
\\[8l = 40\\]
\\[\\boxed{l = 5}\\]

\n

Weryfikacja: \\(P_c = 16 + 4 \\cdot \\frac{1}{2} \\cdot 4 \\cdot 5 = 16 + 40 = 56\\) ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 15-21) - pole trójkąta:
\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot h_a\\]
Każda ściana boczna ostrosłupa to trójkąt. Użyliśmy tego wzoru, żeby zapisać pole jednej ściany jako \\(\\frac{1}{2} \\cdot 4 \\cdot l\\).

\n

Dział 12 (Stereometria, s. 26-28) - objętość ostrosłupa:
\\[V = \\frac{1}{3} \\cdot P_p \\cdot h\\]
Sam wzór na objętość tu nie jest potrzebny, ale schemat ostrosłupa jest zdefiniowany właśnie tam. Karta nie podaje gotowego wzoru na \\(P_c\\) ostrosłupa - trzeba go złożyć z pola podstawy i 4 trójkątów.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd | Obliczenie |
| A \\((= 3)\\) | Odjęto dwa pola podstawy zamiast jednego (jak w graniastosłupie, gdzie są dwa wieka) | \\(P_b = 56 - 2 \\cdot 16 = 24\\), \\(8l = 24\\), \\(l = 3\\) |
| B \\(\\left(= \\frac{5}{2}\\right)\\) | Zapomniano o czynniku \\(\\frac{1}{2}\\) we wzorze na pole trójkąta - liczono jak pole prostokąta \\(a \\times l\\) | \\(4 \\cdot 4 \\cdot l + 16 = 56 \\Rightarrow 16l = 40 \\Rightarrow l = \\frac{5}{2}\\) |
| C \\(\\left(= \\frac{21}{2}\\right)\\) | Pomylono apotema ściany bocznej \\(l\\) z wysokością całego ostrosłupa \\(H\\) - policzono \\(l = 5\\) poprawnie, ale następnie wyciągnięto \\(H^2 = l^2 - \\left(\\frac{a}{2}\\right)^2 = 25 - 4 = 21\\) i błędnie podano \\(\\frac{21}{2}\\) jako odpowiedź | \\(H = \\sqrt{21} \\neq \\frac{21}{2}\\) - to zupełnie inna wielkość |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: „Wysokość ściany bocznej" (apotema ściany) to nie jest wysokość ostrosłupa \\(H\\)! To odcinek z wierzchołka \\(S\\) prostopadle do środka krawędzi podstawy \\(AB\\) - przebiega wewnątrz trójkątnej ściany bocznej.
\n
⚠️ Uwaga: Przy liczeniu pola powierzchni całkowitej ostrosłupa czworokątnego: jedna podstawa (kwadrat), nie dwie jak w graniastosłupie. Łatwo się pomylić, jeśli ktoś uczy się obu wzorów na raz.
\n
⚠️ Uwaga: Pole trójkąta to \\(\\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot h\\), nie \\(a \\cdot h\\). Brak tego dzielenia przez 2 prowadzi prosto do odpowiedzi B - jest to bardzo częsty błąd przy pośpiechu.
\n

Poprawna odpowiedź: D

\n
Sposób 1 - Z pola powierzchni
\n

Pole podstawy: \\(P_p = 4^2 = 16\\). Pole powierzchni bocznej: \\(P_b = 56 - 16 = 40\\). Ściany boczne (4 trójkąty równoramienne o podstawie 4 i wysokości \\(h\\)):
\\[4\\cdot \\tfrac{1}{2}\\cdot 4\\cdot h = 8h = 40 \\Rightarrow h = 5.\\]

\n
Sposób 2 - Wzór bezpośredni
\n

\\(P_c = a^2 + 4\\cdot\\tfrac{ah}{2} = a^2 + 2ah\\). \\(16 + 8h = 56 \\Rightarrow h = 5\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: \\(P_c = P_p + P_b\\); wysokość ściany bocznej → w polu trójkąta jako wysokość.

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"
  1. Zaczynajmy od oznaczenia długości krawędzi sześcianu jako $a$.\\
\n

\\

\n
  1. Przekątna ściany sześcianu jest związana z długością krawędzi za pomocą wzoru: $$d = a \\sqrt{2}$$.\\
\n

\\

\n
  1. Wiemy, że przekątna ściany sześcianu ma długość $d = 2\\sqrt{2}$.\\
\n

\\

\n
  1. Podstawiamy to do wzoru: $$2\\sqrt{2} = a \\sqrt{2}$$.\\
\n

\\n5. Dzielimy obie strony równania przez $\\sqrt{2}$: $$\\frac{2\\sqrt{2}}{\\sqrt{2}} = a$$.\\
\\n6. Po uproszczeniu otrzymujemy: $$a = 2$$.\\
\\n7. Teraz możemy obliczyć objętość sześcianu za pomocą wzoru: $$V = a^3$$.\\
\\n8. Podstawiamy obliczoną wartość krawędzi: $$V = 2^3$$.\\
\\n9. Obliczamy objętość: $$V = 8$$.\\
\\n10. W związku z tym, objętość tego sześcianu jest równa $8$.\\
\\nOdpowiedź: 8

"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

Jeżeli krawędź sześcianu ma długość a , to przekątna ściany ma długość a√(2) .
a√(2)=2√(2)⇔ a=2.
Objętość wynosi
V=a^3=2^3=8.

"}]}