{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa","number":"27","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (0-1)\nPodstawą graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat o boku długości 4.\nPrzekątna tego graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 𝛼 takim,\nże tg 𝛼= 2 (zobacz rysunek).\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nWysokość tego graniastosłupa jest równa\nA. 2\nB. 8\nC. 8√2\nD. 16√2\n𝛼\n4\n4\n\nMMAP-P0_100\nPodstawą graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat o boku długości 4. Przekątna tego graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem α takim, że tgα=2 (zobacz rysunek). [rysunek] Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wysokość tego graniastosłupa jest równa A. 2 B. 8 C. 8√2 D. 16√2","answer":"C","answer_text":"Zadanie 27. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nX.4) oblicza objętości i pola powierzchni\ngraniastosłupów i ostrosłupów, również\nz wykorzystaniem trygonometrii i poznanych\ntwierdzeń.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(3{,}12\\)\n\n## Sposób 1 - Średnia ważona ocen z diagramu\n\n**Odczytujemy dane z diagramu** (słupkowego):\n\n| Ocena \\(x_i\\) | Liczba uczniów \\(n_i\\) | \\(x_i \\cdot n_i\\) |\n|:-:|:-:|:-:|\n| 1 | 2 | 2 |\n| 2 | 5 | 10 |\n| 3 | 9 | 27 |\n| 4 | 6 | 24 |\n| 5 | 3 | 15 |\n| **Σ** | **25** | **78** |\n\nŁączna liczba uczniów w klasie:\n\\[n = 2 + 5 + 9 + 6 + 3 = 25\\]\n\nSuma wszystkich ocen (każdą ocenę mnożymy przez liczbę uczniów, którzy ją dostali):\n\\[\\sum x_i \\cdot n_i = 1 \\cdot 2 + 2 \\cdot 5 + 3 \\cdot 9 + 4 \\cdot 6 + 5 \\cdot 3 = 2 + 10 + 27 + 24 + 15 = 78\\]\n\nŚrednia arytmetyczna:\n\\[\\bar{x} = \\frac{\\sum x_i \\cdot n_i}{n} = \\frac{78}{25} = \\mathbf{3{,}12}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez rozkład\n\nMożemy sprawdzić wynik inaczej: zapiszmy oceny jako listę 25 liczb i policzmy średnią grupami.\n\nUczniowie z oceną **poniżej 3** (oceny 1 i 2): \\(2 + 5 = 7\\) uczniów, wkład do sumy \\(= 12\\).\nUczniowie z oceną **3**: \\(9\\) uczniów, wkład \\(= 27\\).\nUczniowie z oceną **powyżej 3** (oceny 4 i 5): \\(6 + 3 = 9\\) uczniów, wkład \\(= 39\\).\n\nSuma: \\(12 + 27 + 39 = 78\\), uczniów: \\(25\\).\n\n\\[\\bar{x} = \\frac{78}{25} = 3{,}12 \\checkmark\\]\n\nWynik z obu sposobów zgodny - **odpowiedź B jest poprawna**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)** - wzór na średnią arytmetyczną:\n\\[\\bar{a} = \\frac{a_1 + a_2 + \\ldots + a_n}{n}\\]\n\nW naszym zadaniu stosujemy **uogólnienie** tego wzoru (średnia ważona), bo wiele osób ma tę samą ocenę:\n\\[\\bar{x} = \\frac{x_1 n_1 + x_2 n_2 + \\ldots + x_k n_k}{n_1 + n_2 + \\ldots + n_k}\\]\n\nMaturzysta powinien rozpoznać, że diagram słupkowy to właśnie dane do tego wzoru - każdy słupek daje nam \\(x_i\\) (ocena) i \\(n_i\\) (wysokość słupka).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Wartość | Typowy błąd |\n| A | \\(3\\) | Podano **modę** (dominantę) - ocena 3 pojawia się najczęściej (9 uczniów). Mylenie mody ze średnią! |\n| C | \\(3{,}5\\) | Policzono średnią **samych etykiet ocen** bez uwzględnienia liczności: \\(\\frac{1+2+3+4+5}{5} = 3\\)… lub pominięto ocenę 1 i wzięto \\(\\frac{2+3+4+5}{4} = 3{,}5\\). Ignorowanie wag słupków! |\n| D | \\(4{,}1(6)\\) | Podzielono **liczbę uczniów przez liczbę kategorii ocen**: \\(\\frac{25}{6} = 4{,}1\\overline{6}\\). Całkowite pomieszanie znaczenia osi - dzielnik to łączna liczba uczniów, nie liczba kategorii! |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W zadaniach z diagramem słupkowym **wysokość słupka = liczba uczniów**, nie ocena. Ocena jest na osi poziomej. Wiele błędów polega na zamianie tych osi.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nigdy nie liczymy średniej jako \\(\\frac{\\text{suma etykiet osi } x}{\\text{liczba słupków}}\\). To byłaby poprawna metoda tylko wtedy, gdyby każda ocena pojawiła się dokładnie raz.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze najpierw sprawdź **łączną liczbę uczniów** (suma wysokości wszystkich słupków) - to mianownik we wzorze na średnią. Tu: \\(2+5+9+6+3 = 25\\), a nie np. 6 (liczba możliwych ocen).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Średnia ważona\nZ diagramu: oceny i liczby uczniów: \\(1{:}2,\\,2{:}9,\\,3{:}5,\\,4{:}3,\\,5{:}5,\\,6{:}1\\). Łącznie \\(25\\) uczniów.\n\\[\\sum = 1\\cdot 2 + 2\\cdot 9 + 3\\cdot 5 + 4\\cdot 3 + 5\\cdot 5 + 6\\cdot 1 = 2+18+15+12+25+6 = 78.\\]\n\\[\\bar{x} = \\dfrac{78}{25} = 3{,}12.\\]\n\n### Sposób 2 - Weryfikacja\n\\(25\\cdot 3{,}12 = 78\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(3\\)** - zaokrąglenie.\n- **C. \\(3{,}5\\)** - mediana/środek.\n- **D. \\(4{,}1(6)\\)** - nie pasuje do rozkładu.\n\n**Trik:** średnia = \\(\\tfrac{\\sum(n_i\\cdot x_i)}{\\sum n_i}\\).","image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/sol-27.svg","topics":"Graniastosłupy i ostrosłupy, stereometria","page_from":25,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 27. (0-1)<br>Podstawą graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat o boku długości 4.<br>Przekątna tego graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 𝛼 takim,<br>że tg 𝛼= 2 (zobacz rysunek).<br>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.<br>Wysokość tego graniastosłupa jest równa<br>A. 2<br>B. 8<br>C. 8√2<br>D. 16√2<br>𝛼<br>4<br>4</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>Podstawą graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat o boku długości 4. Przekątna tego graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem α takim, że tgα=2 (zobacz rysunek). [rysunek] Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wysokość tego graniastosłupa jest równa A. 2 B. 8 C. 8√2 D. 16√2</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 27. (0-1)<br>Wymagania egzaminacyjne 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Dobieranie i tworzenie modeli</li></ol>\n<p>matematycznych przy rozwiązywaniu<br>problemów praktycznych i teoretycznych.<br>Zdający:<br>X.4) oblicza objętości i pola powierzchni<br>graniastosłupów i ostrosłupów, również<br>z wykorzystaniem trygonometrii i poznanych<br>twierdzeń.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>C</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/sol-27.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B - \\(3{,}12\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Średnia ważona ocen z diagramu</h4>\n<p><strong>Odczytujemy dane z diagramu</strong> (słupkowego):</p>\n<table><thead><tr><th>Ocena \\(x_i\\)</th><th>Liczba uczniów \\(n_i\\)</th><th>\\(x_i \\cdot n_i\\)</th></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td>2</td><td>2</td></tr><tr><td>2</td><td>5</td><td>10</td></tr><tr><td>3</td><td>9</td><td>27</td></tr><tr><td>4</td><td>6</td><td>24</td></tr><tr><td>5</td><td>3</td><td>15</td></tr><tr><td><strong>Σ</strong></td><td><strong>25</strong></td><td><strong>78</strong></td></tr></tbody></table>\n<p>Łączna liczba uczniów w klasie:<br>\\[n = 2 + 5 + 9 + 6 + 3 = 25\\]</p>\n<p>Suma wszystkich ocen (każdą ocenę mnożymy przez liczbę uczniów, którzy ją dostali):<br>\\[\\sum x_i \\cdot n_i = 1 \\cdot 2 + 2 \\cdot 5 + 3 \\cdot 9 + 4 \\cdot 6 + 5 \\cdot 3 = 2 + 10 + 27 + 24 + 15 = 78\\]</p>\n<p>Średnia arytmetyczna:<br>\\[\\bar{x} = \\frac{\\sum x_i \\cdot n_i}{n} = \\frac{78}{25} = \\mathbf{3{,}12}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez rozkład</h4>\n<p>Możemy sprawdzić wynik inaczej: zapiszmy oceny jako listę 25 liczb i policzmy średnią grupami.</p>\n<p>Uczniowie z oceną <strong>poniżej 3</strong> (oceny 1 i 2): \\(2 + 5 = 7\\) uczniów, wkład do sumy \\(= 12\\).<br>Uczniowie z oceną <strong>3</strong>: \\(9\\) uczniów, wkład \\(= 27\\).<br>Uczniowie z oceną <strong>powyżej 3</strong> (oceny 4 i 5): \\(6 + 3 = 9\\) uczniów, wkład \\(= 39\\).</p>\n<p>Suma: \\(12 + 27 + 39 = 78\\), uczniów: \\(25\\).</p>\n<p>\\[\\bar{x} = \\frac{78}{25} = 3{,}12 \\checkmark\\]</p>\n<p>Wynik z obu sposobów zgodny - <strong>odpowiedź B jest poprawna</strong>.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)</strong> - wzór na średnią arytmetyczną:<br>\\[\\bar{a} = \\frac{a_1 + a_2 + \\ldots + a_n}{n}\\]</p>\n<p>W naszym zadaniu stosujemy <strong>uogólnienie</strong> tego wzoru (średnia ważona), bo wiele osób ma tę samą ocenę:<br>\\[\\bar{x} = \\frac{x_1 n_1 + x_2 n_2 + \\ldots + x_k n_k}{n_1 + n_2 + \\ldots + n_k}\\]</p>\n<p>Maturzysta powinien rozpoznać, że diagram słupkowy to właśnie dane do tego wzoru - każdy słupek daje nam \\(x_i\\) (ocena) i \\(n_i\\) (wysokość słupka).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Wartość | Typowy błąd |<br>| A | \\(3\\) | Podano <strong>modę</strong> (dominantę) - ocena 3 pojawia się najczęściej (9 uczniów). Mylenie mody ze średnią! |<br>| C | \\(3{,}5\\) | Policzono średnią <strong>samych etykiet ocen</strong> bez uwzględnienia liczności: \\(\\frac{1+2+3+4+5}{5} = 3\\)… lub pominięto ocenę 1 i wzięto \\(\\frac{2+3+4+5}{4} = 3{,}5\\). Ignorowanie wag słupków! |<br>| D | \\(4{,}1(6)\\) | Podzielono <strong>liczbę uczniów przez liczbę kategorii ocen</strong>: \\(\\frac{25}{6} = 4{,}1\\overline{6}\\). Całkowite pomieszanie znaczenia osi - dzielnik to łączna liczba uczniów, nie liczba kategorii! |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> W zadaniach z diagramem słupkowym <strong>wysokość słupka = liczba uczniów</strong>, nie ocena. Ocena jest na osi poziomej. Wiele błędów polega na zamianie tych osi.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nigdy nie liczymy średniej jako \\(\\frac{\\text{suma etykiet osi } x}{\\text{liczba słupków}}\\). To byłaby poprawna metoda tylko wtedy, gdyby każda ocena pojawiła się dokładnie raz.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Zawsze najpierw sprawdź <strong>łączną liczbę uczniów</strong> (suma wysokości wszystkich słupków) - to mianownik we wzorze na średnią. Tu: \\(2+5+9+6+3 = 25\\), a nie np. 6 (liczba możliwych ocen).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Średnia ważona</h5>\n<p>Z diagramu: oceny i liczby uczniów: \\(1{:}2,\\,2{:}9,\\,3{:}5,\\,4{:}3,\\,5{:}5,\\,6{:}1\\). Łącznie \\(25\\) uczniów.<br>\\[\\sum = 1\\cdot 2 + 2\\cdot 9 + 3\\cdot 5 + 4\\cdot 3 + 5\\cdot 5 + 6\\cdot 1 = 2+18+15+12+25+6 = 78.\\]<br>\\[\\bar{x} = \\dfrac{78}{25} = 3{,}12.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Weryfikacja</h5>\n<p>\\(25\\cdot 3{,}12 = 78\\) ✓.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(3\\)</strong> - zaokrąglenie.</li><li><strong>C. \\(3{,}5\\)</strong> - mediana/środek.</li><li><strong>D. \\(4{,}1(6)\\)</strong> - nie pasuje do rozkładu.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> średnia = \\(\\tfrac{\\sum(n_i\\cdot x_i)}{\\sum n_i}\\).</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, wysokość graniastosłupa obliczamy ze wzoru $h = d \\cdot \\tan \\alpha$. Przekątna kwadratu o boku $4$ wynosi $d = 4\\sqrt{2}$, a przy $\\tan \\alpha = 2$ dostajemy $h = 4\\sqrt{2} \\cdot 2 = 8\\sqrt{2}$.</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Przekątna podstawy ma długość 4√(2) .<br>tanα=(h)/(4√(2))=2,<br>więc<br>h=8√(2).</p>"}]}