{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa","number":"28","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (0-1)\nNa diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej.\nNa osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano\nliczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nŚrednia arytmetyczna ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest\nrówna\nA. 3\nB. 3,12\nC. 3,5\nD. 4,1(6)\n0\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n10\n1\n2\n3\n4\n5\n6\nliczba\nuczniów\nocena\n\nMMAP-P0_100\nNa diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej. Na osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę. [rysunek] Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Średnia arytmetyczna ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa A. 3 B. 3,12 C. 3,5 D. 4,1(6)","answer":"B","answer_text":"Zadanie 28. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Sprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach\nrzeczywistych, także przy użyciu\nkalkulatora, stosowanie praw działań\nmatematycznych przy przekształcaniu\nwyrażeń algebraicznych oraz\nwykorzystywanie tych umiejętności przy\nrozwiązywaniu problemów w kontekstach\nrzeczywistych i teoretycznych.\nZdający:\nXII.2) oblicza średnią arytmetyczną […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - **54**\n\n## Sposób 1 - Zliczanie z podziałem na pozycje\n\nBudujemy czterocyfrową liczbę, wybierając kolejno każdą cyfrę. Cyfry do dyspozycji: \\(\\{2, 4, 7\\}\\).\n\n**Warunek parzystości:** liczba jest parzysta, gdy jej ostatnia cyfra jest parzysta.\nParzyste cyfry z naszego zbioru: \\(2\\) i \\(4\\) → **2 możliwości** na ostatnią pozycję.\n\nPozostałe trzy pozycje (tysiące, setki, dziesiątki) mogą być dowolną z trzech cyfr \\(\\{2, 4, 7\\}\\) → **3 możliwości** na każdą.\n\n\\[\n\\underbrace{3}_{\\text{tysiące}} \\times \\underbrace{3}_{\\text{setki}} \\times \\underbrace{3}_{\\text{dziesiątki}} \\times \\underbrace{2}_{\\text{jedności}} = 3^3 \\cdot 2 = 27 \\cdot 2 = \\mathbf{54}\n\\]\n\n## Sposób 2 - Od wszystkich liczb, odejmując nieparzyste\n\nNajpierw liczymy **wszystkie** czterocyfrowe liczby zbudowane z cyfr \\(\\{2, 4, 7\\}\\) (bez żadnych ograniczeń):\n\n\\[\n3^4 = 81\n\\]\n\nLiczby **nieparzyste** kończą się cyfrą \\(7\\) (jedyna nieparzysta cyfra w zbiorze). Liczba takich liczb:\n\n\\[\n3^3 \\cdot 1 = 27\n\\]\n\n(3 wolne wybory na pierwsze trzy cyfry, ostatnia musi być \\(7\\))\n\nLiczby parzyste:\n\n\\[\n81 - 27 = \\mathbf{54}\n\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 13 (Kombinatoryka, s. 28)** - wariacje z powtórzeniami:\n\\[n^k\\]\ngdzie \\(n\\) = liczba dostępnych elementów, \\(k\\) = liczba pozycji.\n\nUżyliśmy tego wzoru: na każdej z 3 swobodnych pozycji mamy \\(n = 3\\) cyfry do wyboru, więc \\(3^3 = 27\\) kombinacji. Na ostatniej pozycji \\(n = 2\\) (tylko cyfry parzyste).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A \\((16)\\) | Uczeń myśli tylko o cyfrach parzystych \\(\\{2,4\\}\\) - na każdej pozycji 2 wybory: \\(2^4 = 16\\). Pomija, że cyfra \\(7\\) też może wystąpić na pierwszych trzech pozycjach. |\n| B \\((27)\\) | Uczeń oblicza \\(3^3 = 27\\) - zapomina o ostatniej cyfrze lub zakłada tylko 1 możliwość (np. tylko \\(2\\)) na ostatniej pozycji, albo wręcz zapomina sprawdzić warunek parzystości. |\n| D \\((81)\\) | Uczeń oblicza \\(3^4 = 81\\) - czyli wszystkie liczby z cyfr \\(\\{2,4,7\\}\\) **bez** warunku parzystości. Zupełnie pominął wymaganie \"parzyste\". |\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Parzyste = ostatnia cyfra parzysta. Sprawdź, które cyfry ze zbioru są parzyste - tu to \\(2\\) i \\(4\\), ale \\(7\\) jest nieparzyste. Nie wolno zapomnieć, że \\(7\\) może stać na pierwszych trzech pozycjach!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić: liczymy liczby z dokładnie cyframi \\(\\{2,4,7\\}\\) (mogą się powtarzać!), a nie permutacje bez powtórzeń. Skoro powtórzenia są dozwolone, używamy \\(n^k\\), nie \\(n!\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Całkowita liczba takich liczb to \\(3^4 = 81\\) (odpowiedź D) - to kuszące, ale to wynik bez uwzględnienia parzystości. Zawsze czytaj wszystkie warunki zadania!\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Reguła mnożenia\nCyfry możliwe: \\(\\{2, 4, 7\\}\\). Parzystość decyduje ostatnia cyfra: \\(\\{2, 4\\}\\) (2 możliwości). Pozostałe 3 pozycje: po 3 możliwości każda.\n\\[3\\cdot 3\\cdot 3\\cdot 2 = 54.\\]\n\n### Sposób 2 - Zasada dopełnienia\nWszystkich liczb z cyfrą \\(\\{2,4,7\\}\\): \\(3^4 = 81\\). Parzystych (kończących się na 2 lub 4) to \\(\\tfrac{2}{3}\\) z nich: \\(81\\cdot \\tfrac{2}{3} = 54\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(16\\)** - zbyt mało.\n- **B. \\(27 = 3^3\\)** - pominięto warunek parzystości.\n- **D. \\(81 = 3^4\\)** - wszystkie (również nieparzyste).\n\n**Trik:** parzystość liczby zależy tylko od ostatniej cyfry.","image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/sol-28.svg","topics":"Statystyka, prawdopodobienstwo","page_from":26,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 28. (0-1)
Na diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej.
Na osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano
liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Średnia arytmetyczna ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest
równa
A. 3
B. 3,12
C. 3,5
D. 4,1(6)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
liczba
uczniów
ocena

\n

MMAP-P0_100
Na diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej. Na osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę. [rysunek] Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Średnia arytmetyczna ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa A. 3 B. 3,12 C. 3,5 D. 4,1(6)

","answer_text_html":"

Zadanie 28. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 2024
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
I. Sprawność rachunkowa.
Wykonywanie obliczeń na liczbach
rzeczywistych, także przy użyciu
kalkulatora, stosowanie praw działań
matematycznych przy przekształcaniu
wyrażeń algebraicznych oraz
wykorzystywanie tych umiejętności przy
rozwiązywaniu problemów w kontekstach
rzeczywistych i teoretycznych.
Zdający:
XII.2) oblicza średnią arytmetyczną […].
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
B

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/sol-28.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C - 54

\n

Sposób 1 - Zliczanie z podziałem na pozycje

\n

Budujemy czterocyfrową liczbę, wybierając kolejno każdą cyfrę. Cyfry do dyspozycji: \\(\\{2, 4, 7\\}\\).

\n

Warunek parzystości: liczba jest parzysta, gdy jej ostatnia cyfra jest parzysta.
Parzyste cyfry z naszego zbioru: \\(2\\) i \\(4\\) → 2 możliwości na ostatnią pozycję.

\n

Pozostałe trzy pozycje (tysiące, setki, dziesiątki) mogą być dowolną z trzech cyfr \\(\\{2, 4, 7\\}\\) → 3 możliwości na każdą.

\n

\\[
\\underbrace{3}{\\text{tysiące}} \\times \\underbrace{3}{\\text{setki}} \\times \\underbrace{3}{\\text{dziesiątki}} \\times \\underbrace{2}{\\text{jedności}} = 3^3 \\cdot 2 = 27 \\cdot 2 = \\mathbf{54}
\\]

\n

Sposób 2 - Od wszystkich liczb, odejmując nieparzyste

\n

Najpierw liczymy wszystkie czterocyfrowe liczby zbudowane z cyfr \\(\\{2, 4, 7\\}\\) (bez żadnych ograniczeń):

\n

\\[
3^4 = 81
\\]

\n

Liczby nieparzyste kończą się cyfrą \\(7\\) (jedyna nieparzysta cyfra w zbiorze). Liczba takich liczb:

\n

\\[
3^3 \\cdot 1 = 27
\\]

\n

(3 wolne wybory na pierwsze trzy cyfry, ostatnia musi być \\(7\\))

\n

Liczby parzyste:

\n

\\[
81 - 27 = \\mathbf{54}
\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 13 (Kombinatoryka, s. 28) - wariacje z powtórzeniami:
\\[n^k\\]
gdzie \\(n\\) = liczba dostępnych elementów, \\(k\\) = liczba pozycji.

\n

Użyliśmy tego wzoru: na każdej z 3 swobodnych pozycji mamy \\(n = 3\\) cyfry do wyboru, więc \\(3^3 = 27\\) kombinacji. Na ostatniej pozycji \\(n = 2\\) (tylko cyfry parzyste).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| A \\((16)\\) | Uczeń myśli tylko o cyfrach parzystych \\(\\{2,4\\}\\) - na każdej pozycji 2 wybory: \\(2^4 = 16\\). Pomija, że cyfra \\(7\\) też może wystąpić na pierwszych trzech pozycjach. |
| B \\((27)\\) | Uczeń oblicza \\(3^3 = 27\\) - zapomina o ostatniej cyfrze lub zakłada tylko 1 możliwość (np. tylko \\(2\\)) na ostatniej pozycji, albo wręcz zapomina sprawdzić warunek parzystości. |
| D \\((81)\\) | Uczeń oblicza \\(3^4 = 81\\) - czyli wszystkie liczby z cyfr \\(\\{2,4,7\\}\\) bez warunku parzystości. Zupełnie pominął wymaganie "parzyste". |

\n

Typowe pułapki

\n
⚠️ Uwaga: Parzyste = ostatnia cyfra parzysta. Sprawdź, które cyfry ze zbioru są parzyste - tu to \\(2\\) i \\(4\\), ale \\(7\\) jest nieparzyste. Nie wolno zapomnieć, że \\(7\\) może stać na pierwszych trzech pozycjach!
\n
⚠️ Uwaga: Łatwo pomylić: liczymy liczby z dokładnie cyframi \\(\\{2,4,7\\}\\) (mogą się powtarzać!), a nie permutacje bez powtórzeń. Skoro powtórzenia są dozwolone, używamy \\(n^k\\), nie \\(n!\\).
\n
⚠️ Uwaga: Całkowita liczba takich liczb to \\(3^4 = 81\\) (odpowiedź D) - to kuszące, ale to wynik bez uwzględnienia parzystości. Zawsze czytaj wszystkie warunki zadania!
\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1 - Reguła mnożenia
\n

Cyfry możliwe: \\(\\{2, 4, 7\\}\\). Parzystość decyduje ostatnia cyfra: \\(\\{2, 4\\}\\) (2 możliwości). Pozostałe 3 pozycje: po 3 możliwości każda.
\\[3\\cdot 3\\cdot 3\\cdot 2 = 54.\\]

\n
Sposób 2 - Zasada dopełnienia
\n

Wszystkich liczb z cyfrą \\(\\{2,4,7\\}\\): \\(3^4 = 81\\). Parzystych (kończących się na 2 lub 4) to \\(\\tfrac{2}{3}\\) z nich: \\(81\\cdot \\tfrac{2}{3} = 54\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: parzystość liczby zależy tylko od ostatniej cyfry.

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"

Poprawnie, średnia arytmetyczna ocen jest obliczana jako suma wszystkich ocen podzielona przez liczbę uczniów. Jeśli w obliczeniach uwzględnimy wszystkie oceny, otrzymamy wartość $3{,}12$.
$\\frac{1\\cdot2+2\\cdot9+3\\cdot5+4\\cdot3+5\\cdot5+6\\cdot1}{2+9+5+3+5+1}=\\frac{78}{25}=3{,}12$

"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

Liczba uczniów:
2+9+5+3+5+1=25.
Suma ocen:
1·2+2·9+3·5+4·3+5·5+6·1=78.
Średnia wynosi
(78)/(25)=3 , 12.

"}]}