{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa","number":"29","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nWszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych parzystych, w których zapisie dziesiętnym\nwystępują tylko cyfry 2, 4, 7 (np.: 7272, 2222, 7244), jest\nA. 16\nB. 27\nC. 54\nD. 81\nWszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych parzystych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry 2, 4, 7 (np.: 7272, 2222, 7244), jest A. 16 B. 27 C. 54 D. 81","answer":"C","answer_text":"Zadanie 29. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nXI.2) zlicza obiekty, stosując reguły\nmnożenia i dodawania […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - 12 kul białych\n\n## Sposób 1 - równanie z prawdopodobieństwa\n\n**Oznaczamy:** niech \\(n\\) = całkowita liczba kul w pudełku.\n\nWiemy, że kul czarnych jest \\(18\\), a prawdopodobieństwo wylosowania czarnej kuli wynosi \\(\\dfrac{3}{5}\\).\n\nKorzystamy z definicji prawdopodobieństwa klasycznego:\n\n\\[P(\\text{czarna}) = \\frac{\\text{liczba kul czarnych}}{\\text{liczba wszystkich kul}} = \\frac{18}{n}\\]\n\nUstawiamy równanie:\n\n\\[\\frac{18}{n} = \\frac{3}{5}\\]\n\nRozwiązujemy przez mnożenie krzyżowe:\n\n\\[3n = 18 \\cdot 5 = 90\\]\n\n\\[n = 30\\]\n\nZatem w pudełku jest łącznie \\(30\\) kul. Liczba kul białych:\n\n\\[\\text{białe} = n - 18 = 30 - 18 = \\mathbf{12}\\]\n\n## Sposób 2 - proporcja i rozumowanie przez część całości\n\nPrawdopodobieństwo wyciągnięcia czarnej kuli wynosi \\(\\dfrac{3}{5}\\), co oznacza, że **kule czarne stanowią \\(\\dfrac{3}{5}\\) wszystkich kul**.\n\nSkoro \\(\\dfrac{3}{5}\\) odpowiada \\(18\\) kulom, to obliczamy wartość \\(\\dfrac{1}{5}\\):\n\n\\[\\frac{1}{5} \\text{ całości} = \\frac{18}{3} = 6 \\text{ kul}\\]\n\nZatem całość (wszystkie kule):\n\n\\[5 \\cdot 6 = 30 \\text{ kul}\\]\n\nKule białe stanowią pozostałe \\(\\dfrac{2}{5}\\) całości:\n\n\\[\\frac{2}{5} \\cdot 30 = 2 \\cdot 6 = \\mathbf{12} \\text{ kul białych}\\]\n\n**Weryfikacja:** \\(P(\\text{czarna}) = \\dfrac{18}{30} = \\dfrac{3}{5}\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\nGdzie \\(|A|\\) = liczba wyników sprzyjających (kule czarne = \\(18\\)), \\(|\\Omega|\\) = liczba wszystkich możliwych wyników (wszystkie kule = \\(n\\)). Użyliśmy tego wzoru w obu sposobach.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A - \\(9\\) | Uczeń liczy \\(\\dfrac{3}{5} \\cdot 18 - 18 = 10{,}8 - 18\\) bez sensu, albo dzieli \\(18 : 2 = 9\\) myląc kule białe z \"różnicą\" |\n| C - \\(15\\) | Uczeń myśli, że skoro \\(P = \\dfrac{3}{5}\\), to kul białych jest \\(\\dfrac{2}{3} \\cdot 18 = 12\\) i się myli w przeliczeniu, albo liczy białe jako \\(\\dfrac{2}{3}\\) czarnych zamiast \\(\\dfrac{2}{3}\\) całości |\n| D - \\(30\\) | Uczeń poprawnie liczy **wszystkie** kule (\\(30\\)), ale zapomina, że pytanie dotyczy kul **białych**, nie sumy |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pytanie pyta o liczbę kul **białych** - wielu uczniów poprawnie wylicza \\(n = 30\\) (odpowiedź D) i tu kończy. Zawsze czytaj, o co dokładnie pyta zadanie!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić: \\(\\dfrac{3}{5}\\) to ułamek **czarnych ze wszystkich**, nie czarnych z białych. Ustawienie proporcji \\(\\dfrac{18}{\\text{białe}} = \\dfrac{3}{2}\\) to błąd - to porównanie czarnych do białych, a nie do całości.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy rozwiązywaniu równania \\(\\dfrac{18}{n} = \\dfrac{3}{5}\\) nie odwracaj ułamków bez powodu - działaj konsekwentnie przez mnożenie krzyżowe.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Klasyczna definicja prawdopodobieństwa\nNiech \\(n\\) = wszystkie kule. \\(\\tfrac{18}{n} = \\tfrac{3}{5}\\) → \\(n = 30\\). Białych: \\(30 - 18 = 12\\).\n\n### Sposób 2 - Dopełnienie\nPrawd. kuli białej = \\(1 - \\tfrac{3}{5} = \\tfrac{2}{5}\\). \\(\\tfrac{b}{n} = \\tfrac{2}{5}\\) i \\(\\tfrac{18}{n} = \\tfrac{3}{5}\\). Stąd \\(\\tfrac{b}{18} = \\tfrac{2}{3}\\), czyli \\(b = 12\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(9\\)** - dałoby \\(n=27\\), \\(\\tfrac{18}{27}=\\tfrac{2}{3}\\ne \\tfrac{3}{5}\\).\n- **C. \\(15\\)** - dałoby \\(\\tfrac{18}{33}\\ne \\tfrac{3}{5}\\).\n- **D. \\(30\\)** - to suma, nie białe.\n\n**Trik:** rozwiąż \\(\\tfrac{k}{n} = p\\) → \\(n = k/p\\), potem \\(\\text{białe} = n - k\\).","image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/sol-29.svg","topics":"Kombinatoryka","page_from":27,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 29. (0-1)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych parzystych, w których zapisie dziesiętnym
występują tylko cyfry 2, 4, 7 (np.: 7272, 2222, 7244), jest
A. 16
B. 27
C. 54
D. 81
Wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych parzystych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry 2, 4, 7 (np.: 7272, 2222, 7244), jest A. 16 B. 27 C. 54 D. 81

","answer_text_html":"

Zadanie 29. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 2024
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Dobieranie i tworzenie modeli
\n

matematycznych przy rozwiązywaniu
problemów praktycznych i teoretycznych.
Zdający:
XI.2) zlicza obiekty, stosując reguły
mnożenia i dodawania […].
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
C

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/sol-29.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: B - 12 kul białych

\n

Sposób 1 - równanie z prawdopodobieństwa

\n

Oznaczamy: niech \\(n\\) = całkowita liczba kul w pudełku.

\n

Wiemy, że kul czarnych jest \\(18\\), a prawdopodobieństwo wylosowania czarnej kuli wynosi \\(\\dfrac{3}{5}\\).

\n

Korzystamy z definicji prawdopodobieństwa klasycznego:

\n

\\[P(\\text{czarna}) = \\frac{\\text{liczba kul czarnych}}{\\text{liczba wszystkich kul}} = \\frac{18}{n}\\]

\n

Ustawiamy równanie:

\n

\\[\\frac{18}{n} = \\frac{3}{5}\\]

\n

Rozwiązujemy przez mnożenie krzyżowe:

\n

\\[3n = 18 \\cdot 5 = 90\\]

\n

\\[n = 30\\]

\n

Zatem w pudełku jest łącznie \\(30\\) kul. Liczba kul białych:

\n

\\[\\text{białe} = n - 18 = 30 - 18 = \\mathbf{12}\\]

\n

Sposób 2 - proporcja i rozumowanie przez część całości

\n

Prawdopodobieństwo wyciągnięcia czarnej kuli wynosi \\(\\dfrac{3}{5}\\), co oznacza, że kule czarne stanowią \\(\\dfrac{3}{5}\\) wszystkich kul.

\n

Skoro \\(\\dfrac{3}{5}\\) odpowiada \\(18\\) kulom, to obliczamy wartość \\(\\dfrac{1}{5}\\):

\n

\\[\\frac{1}{5} \\text{ całości} = \\frac{18}{3} = 6 \\text{ kul}\\]

\n

Zatem całość (wszystkie kule):

\n

\\[5 \\cdot 6 = 30 \\text{ kul}\\]

\n

Kule białe stanowią pozostałe \\(\\dfrac{2}{5}\\) całości:

\n

\\[\\frac{2}{5} \\cdot 30 = 2 \\cdot 6 = \\mathbf{12} \\text{ kul białych}\\]

\n

Weryfikacja: \\(P(\\text{czarna}) = \\dfrac{18}{30} = \\dfrac{3}{5}\\) ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29) - prawdopodobieństwo klasyczne:
\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]
Gdzie \\(|A|\\) = liczba wyników sprzyjających (kule czarne = \\(18\\)), \\(|\\Omega|\\) = liczba wszystkich możliwych wyników (wszystkie kule = \\(n\\)). Użyliśmy tego wzoru w obu sposobach.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| A - \\(9\\) | Uczeń liczy \\(\\dfrac{3}{5} \\cdot 18 - 18 = 10{,}8 - 18\\) bez sensu, albo dzieli \\(18 : 2 = 9\\) myląc kule białe z "różnicą" |
| C - \\(15\\) | Uczeń myśli, że skoro \\(P = \\dfrac{3}{5}\\), to kul białych jest \\(\\dfrac{2}{3} \\cdot 18 = 12\\) i się myli w przeliczeniu, albo liczy białe jako \\(\\dfrac{2}{3}\\) czarnych zamiast \\(\\dfrac{2}{3}\\) całości |
| D - \\(30\\) | Uczeń poprawnie liczy wszystkie kule (\\(30\\)), ale zapomina, że pytanie dotyczy kul białych, nie sumy |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Pytanie pyta o liczbę kul białych - wielu uczniów poprawnie wylicza \\(n = 30\\) (odpowiedź D) i tu kończy. Zawsze czytaj, o co dokładnie pyta zadanie!
\n
⚠️ Uwaga: Nie mylić: \\(\\dfrac{3}{5}\\) to ułamek czarnych ze wszystkich, nie czarnych z białych. Ustawienie proporcji \\(\\dfrac{18}{\\text{białe}} = \\dfrac{3}{2}\\) to błąd - to porównanie czarnych do białych, a nie do całości.
\n
⚠️ Uwaga: Przy rozwiązywaniu równania \\(\\dfrac{18}{n} = \\dfrac{3}{5}\\) nie odwracaj ułamków bez powodu - działaj konsekwentnie przez mnożenie krzyżowe.
\n

Poprawna odpowiedź: B

\n
Sposób 1 - Klasyczna definicja prawdopodobieństwa
\n

Niech \\(n\\) = wszystkie kule. \\(\\tfrac{18}{n} = \\tfrac{3}{5}\\) → \\(n = 30\\). Białych: \\(30 - 18 = 12\\).

\n
Sposób 2 - Dopełnienie
\n

Prawd. kuli białej = \\(1 - \\tfrac{3}{5} = \\tfrac{2}{5}\\). \\(\\tfrac{b}{n} = \\tfrac{2}{5}\\) i \\(\\tfrac{18}{n} = \\tfrac{3}{5}\\). Stąd \\(\\tfrac{b}{18} = \\tfrac{2}{3}\\), czyli \\(b = 12\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: rozwiąż \\(\\tfrac{k}{n} = p\\) → \\(n = k/p\\), potem \\(\\text{białe} = n - k\\).

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"

Poprawnie, aby znaleźć liczbę czterocyfrowych liczb parzystych, analizujemy ostatnią cyfrę, którą musi być $2$ lub $4$ ($2$ możliwości), a pozostałe $3$ cyfry mogą być dowolną z $3$ cyfr ($2$, $4$, $7$) - dostajemy $2 \\cdot 3^3 = 54$.

"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

Na każdej z pierwszych trzech pozycji można wybrać jedną z 3 cyfr, a na ostatniej jedną z dwóch cyfr parzystych.
3^3·2=54.

"}]}