{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba (2√10 + √2)\n2 jest równa\nA. 22\nB. 42\nC. 42 + 4√5\nD. 42 + 8√5\nLiczba (2√10+√2)² jest równa A. 22 B. 42 C. 42+4√5 D. 42+8√5","answer":"D","answer_text":"Zadanie 3. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Sprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach\nrzeczywistych, także przy użyciu\nkalkulatora, stosowanie praw działań\nmatematycznych przy przekształcaniu\nwyrażeń algebraicznych oraz\nwykorzystywanie tych umiejętności przy\nrozwiązywaniu problemów w kontekstach\nrzeczywistych i teoretycznych.\nZdający:\nI.3) stosuje własności pierwiastków […];\nII.1) stosuje wzory skróconego mnożenia\nna: (𝑎+ 𝑏)2, (𝑎-𝑏)2, 𝑎2 -𝑏2.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(42 + 8\\sqrt{5}\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór skróconego mnożenia \\((a+b)^2\\)\n\nMamy wyrażenie \\(\\left(2\\sqrt{10}+\\sqrt{2}\\right)^2\\). Stosujemy wzór \\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\), gdzie:\n\\[a = 2\\sqrt{10}, \\quad b = \\sqrt{2}\\]\n\nLiczymy każdy składnik osobno:\n\n\\[a^2 = \\left(2\\sqrt{10}\\right)^2 = 4 \\cdot 10 = 40\\]\n\n\\[b^2 = \\left(\\sqrt{2}\\right)^2 = 2\\]\n\n\\[2ab = 2 \\cdot 2\\sqrt{10} \\cdot \\sqrt{2} = 4\\sqrt{10 \\cdot 2} = 4\\sqrt{20}\\]\n\nUpraszczamy \\(\\sqrt{20}\\):\n\\[\\sqrt{20} = \\sqrt{4 \\cdot 5} = 2\\sqrt{5}\\]\n\nZatem:\n\\[2ab = 4 \\cdot 2\\sqrt{5} = 8\\sqrt{5}\\]\n\nSkładamy wszystko razem:\n\\[\\left(2\\sqrt{10}+\\sqrt{2}\\right)^2 = 40 + 2 + 8\\sqrt{5} = \\mathbf{42 + 8\\sqrt{5}}\\]\n\n## Sposób 2 - Wyłuskanie wspólnego czynnika przed nawiasem\n\nZauważamy, że \\(\\sqrt{2}\\) jest wspólnym czynnikiem:\n\\[2\\sqrt{10} = \\sqrt{2} \\cdot \\sqrt{20} = \\sqrt{2} \\cdot 2\\sqrt{5}\\]\n\nZatem:\n\\[2\\sqrt{10} + \\sqrt{2} = \\sqrt{2}\\left(2\\sqrt{5} + 1\\right)\\]\n\nPodnosimy do kwadratu:\n\\[\\left(\\sqrt{2}\\right)^2 \\cdot \\left(2\\sqrt{5}+1\\right)^2 = 2 \\cdot \\left(2\\sqrt{5}+1\\right)^2\\]\n\nLiczymy \\(\\left(2\\sqrt{5}+1\\right)^2\\):\n\\[\\left(2\\sqrt{5}\\right)^2 + 2 \\cdot 2\\sqrt{5} \\cdot 1 + 1^2 = 20 + 4\\sqrt{5} + 1 = 21 + 4\\sqrt{5}\\]\n\nMnożymy przez 2:\n\\[2 \\cdot \\left(21 + 4\\sqrt{5}\\right) = \\mathbf{42 + 8\\sqrt{5}}\\]\n\nWynik zgodny - odpowiedź **D**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)**:\n\\[(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 jako główne narzędzie.\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)**:\n\\[\\sqrt{a \\cdot b} = \\sqrt{a} \\cdot \\sqrt{b}, \\quad \\left(\\sqrt{a}\\right)^2 = a\\]\nUżyliśmy przy mnożeniu \\(\\sqrt{10} \\cdot \\sqrt{2} = \\sqrt{20}\\) i upraszczaniu \\(\\sqrt{20} = 2\\sqrt{5}\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| **A** \\((22)\\) | Uczeń liczy \\((2\\sqrt{10})^2 + (\\sqrt{2})^2 = 40 + 2 = 42\\), ale jeszcze bardziej upraszcza lub omyłkowo liczy \\(2^2 + \\sqrt{10}^2 + \\sqrt{2}^2\\) - całkowita utrata członu \\(2ab\\) oraz błąd w \\(a^2\\) |\n| **B** \\((42)\\) | Pominięto człon \\(2ab\\), czyli \\(8\\sqrt{5}\\) - bardzo częsty błąd! Uczeń liczy tylko \\(a^2 + b^2 = 40 + 2 = 42\\), zapominając o członie środkowym wzoru |\n| **C** \\((42 + 4\\sqrt{5})\\) | Poprawnie zastosowano wzór, ale popełniono błąd w \\(2ab\\): zapomniano o czynniku \\(2\\) przy \\(a\\) w wyrażeniu \\(a = 2\\sqrt{10}\\), czyli policzono \\(2 \\cdot \\sqrt{10} \\cdot \\sqrt{2}\\) zamiast \\(2 \\cdot 2\\sqrt{10} \\cdot \\sqrt{2}\\), co daje \\(4\\sqrt{5}\\) zamiast \\(8\\sqrt{5}\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd - pominięcie członu \\(2ab\\) we wzorze \\((a+b)^2\\). Zawsze są trzy składniki: \\(a^2\\), \\(2ab\\) i \\(b^2\\) - **nie dwa!**\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy \\(a = 2\\sqrt{10}\\) mamy \\(a^2 = (2)^2 \\cdot (\\sqrt{10})^2 = 4 \\cdot 10 = 40\\), nie \\(2 \\cdot 10 = 20\\). Pamiętaj, że cały wyraz jest podnoszony do kwadratu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\sqrt{20}\\) trzeba uprościć: \\(\\sqrt{20} = \\sqrt{4 \\cdot 5} = 2\\sqrt{5}\\). Bez tego uproszczenia nie rozpoznasz żadnej z odpowiedzi.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Karta wzorów \\((a+b)^2\\)\n\\[(2\\sqrt{10})^2 + 2\\cdot 2\\sqrt{10}\\cdot\\sqrt{2} + (\\sqrt{2})^2 = 40 + 4\\sqrt{20} + 2 = 42 + 4\\cdot 2\\sqrt{5} = 42 + 8\\sqrt{5}.\\]\n\n### Sposób 2 - Uproszczenie środka\n\\(\\sqrt{10}\\cdot\\sqrt{2} = \\sqrt{20} = 2\\sqrt{5}\\). Zatem \\(2\\cdot 2\\sqrt{10}\\cdot\\sqrt{2} = 4\\cdot 2\\sqrt{5} = 8\\sqrt{5}\\). Pozostałe: \\(40 + 2 = 42\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(22\\)** - zapomniano o podwójnym iloczynie i \\((2\\sqrt{10})^2 = 40\\).\n- **B. \\(42\\)** - pominięto część \\(8\\sqrt{5}\\).\n- **C. \\(42 + 4\\sqrt{5}\\)** - nie podwojono.\n\n**Trik:** \\(\\sqrt{10}\\sqrt{2} = \\sqrt{20} = 2\\sqrt{5}\\); pamiętaj o współczynniku \\(2ab\\).","image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/sol-3.svg","topics":"Wzory skróconego mnożenia, algebra","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 3. (0-1)<br>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.<br>Liczba (2√10 + √2)<br>2 jest równa<br>A. 22<br>B. 42<br>C. 42 + 4√5<br>D. 42 + 8√5<br>Liczba (2√10+√2)² jest równa A. 22 B. 42 C. 42+4√5 D. 42+8√5</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 3. (0-1)<br>Wymagania egzaminacyjne 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>I. Sprawność rachunkowa.<br>Wykonywanie obliczeń na liczbach<br>rzeczywistych, także przy użyciu<br>kalkulatora, stosowanie praw działań<br>matematycznych przy przekształcaniu<br>wyrażeń algebraicznych oraz<br>wykorzystywanie tych umiejętności przy<br>rozwiązywaniu problemów w kontekstach<br>rzeczywistych i teoretycznych.<br>Zdający:<br>I.3) stosuje własności pierwiastków […];<br>II.1) stosuje wzory skróconego mnożenia<br>na: (𝑎+ 𝑏)2, (𝑎-𝑏)2, 𝑎2 -𝑏2.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>D</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/sol-3.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D - \\(42 + 8\\sqrt{5}\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Wzór skróconego mnożenia \\((a+b)^2\\)</h4>\n<p>Mamy wyrażenie \\(\\left(2\\sqrt{10}+\\sqrt{2}\\right)^2\\). Stosujemy wzór \\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\), gdzie:<br>\\[a = 2\\sqrt{10}, \\quad b = \\sqrt{2}\\]</p>\n<p>Liczymy każdy składnik osobno:</p>\n<p>\\[a^2 = \\left(2\\sqrt{10}\\right)^2 = 4 \\cdot 10 = 40\\]</p>\n<p>\\[b^2 = \\left(\\sqrt{2}\\right)^2 = 2\\]</p>\n<p>\\[2ab = 2 \\cdot 2\\sqrt{10} \\cdot \\sqrt{2} = 4\\sqrt{10 \\cdot 2} = 4\\sqrt{20}\\]</p>\n<p>Upraszczamy \\(\\sqrt{20}\\):<br>\\[\\sqrt{20} = \\sqrt{4 \\cdot 5} = 2\\sqrt{5}\\]</p>\n<p>Zatem:<br>\\[2ab = 4 \\cdot 2\\sqrt{5} = 8\\sqrt{5}\\]</p>\n<p>Składamy wszystko razem:<br>\\[\\left(2\\sqrt{10}+\\sqrt{2}\\right)^2 = 40 + 2 + 8\\sqrt{5} = \\mathbf{42 + 8\\sqrt{5}}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Wyłuskanie wspólnego czynnika przed nawiasem</h4>\n<p>Zauważamy, że \\(\\sqrt{2}\\) jest wspólnym czynnikiem:<br>\\[2\\sqrt{10} = \\sqrt{2} \\cdot \\sqrt{20} = \\sqrt{2} \\cdot 2\\sqrt{5}\\]</p>\n<p>Zatem:<br>\\[2\\sqrt{10} + \\sqrt{2} = \\sqrt{2}\\left(2\\sqrt{5} + 1\\right)\\]</p>\n<p>Podnosimy do kwadratu:<br>\\[\\left(\\sqrt{2}\\right)^2 \\cdot \\left(2\\sqrt{5}+1\\right)^2 = 2 \\cdot \\left(2\\sqrt{5}+1\\right)^2\\]</p>\n<p>Liczymy \\(\\left(2\\sqrt{5}+1\\right)^2\\):<br>\\[\\left(2\\sqrt{5}\\right)^2 + 2 \\cdot 2\\sqrt{5} \\cdot 1 + 1^2 = 20 + 4\\sqrt{5} + 1 = 21 + 4\\sqrt{5}\\]</p>\n<p>Mnożymy przez 2:<br>\\[2 \\cdot \\left(21 + 4\\sqrt{5}\\right) = \\mathbf{42 + 8\\sqrt{5}}\\]</p>\n<p>Wynik zgodny - odpowiedź <strong>D</strong>.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)</strong>:<br>\\[(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\]<br>Użyliśmy tego w Sposobie 1 jako główne narzędzie.</p>\n<p><strong>Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)</strong>:<br>\\[\\sqrt{a \\cdot b} = \\sqrt{a} \\cdot \\sqrt{b}, \\quad \\left(\\sqrt{a}\\right)^2 = a\\]<br>Użyliśmy przy mnożeniu \\(\\sqrt{10} \\cdot \\sqrt{2} = \\sqrt{20}\\) i upraszczaniu \\(\\sqrt{20} = 2\\sqrt{5}\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| <strong>A</strong> \\((22)\\) | Uczeń liczy \\((2\\sqrt{10})^2 + (\\sqrt{2})^2 = 40 + 2 = 42\\), ale jeszcze bardziej upraszcza lub omyłkowo liczy \\(2^2 + \\sqrt{10}^2 + \\sqrt{2}^2\\) - całkowita utrata członu \\(2ab\\) oraz błąd w \\(a^2\\) |<br>| <strong>B</strong> \\((42)\\) | Pominięto człon \\(2ab\\), czyli \\(8\\sqrt{5}\\) - bardzo częsty błąd! Uczeń liczy tylko \\(a^2 + b^2 = 40 + 2 = 42\\), zapominając o członie środkowym wzoru |<br>| <strong>C</strong> \\((42 + 4\\sqrt{5})\\) | Poprawnie zastosowano wzór, ale popełniono błąd w \\(2ab\\): zapomniano o czynniku \\(2\\) przy \\(a\\) w wyrażeniu \\(a = 2\\sqrt{10}\\), czyli policzono \\(2 \\cdot \\sqrt{10} \\cdot \\sqrt{2}\\) zamiast \\(2 \\cdot 2\\sqrt{10} \\cdot \\sqrt{2}\\), co daje \\(4\\sqrt{5}\\) zamiast \\(8\\sqrt{5}\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Najczęstszy błąd - pominięcie członu \\(2ab\\) we wzorze \\((a+b)^2\\). Zawsze są trzy składniki: \\(a^2\\), \\(2ab\\) i \\(b^2\\) - <strong>nie dwa!</strong></blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy \\(a = 2\\sqrt{10}\\) mamy \\(a^2 = (2)^2 \\cdot (\\sqrt{10})^2 = 4 \\cdot 10 = 40\\), nie \\(2 \\cdot 10 = 20\\). Pamiętaj, że cały wyraz jest podnoszony do kwadratu.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\(\\sqrt{20}\\) trzeba uprościć: \\(\\sqrt{20} = \\sqrt{4 \\cdot 5} = 2\\sqrt{5}\\). Bez tego uproszczenia nie rozpoznasz żadnej z odpowiedzi.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Karta wzorów \\((a+b)^2\\)</h5>\n<p>\\[(2\\sqrt{10})^2 + 2\\cdot 2\\sqrt{10}\\cdot\\sqrt{2} + (\\sqrt{2})^2 = 40 + 4\\sqrt{20} + 2 = 42 + 4\\cdot 2\\sqrt{5} = 42 + 8\\sqrt{5}.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Uproszczenie środka</h5>\n<p>\\(\\sqrt{10}\\cdot\\sqrt{2} = \\sqrt{20} = 2\\sqrt{5}\\). Zatem \\(2\\cdot 2\\sqrt{10}\\cdot\\sqrt{2} = 4\\cdot 2\\sqrt{5} = 8\\sqrt{5}\\). Pozostałe: \\(40 + 2 = 42\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(22\\)</strong> - zapomniano o podwójnym iloczynie i \\((2\\sqrt{10})^2 = 40\\).</li><li><strong>B. \\(42\\)</strong> - pominięto część \\(8\\sqrt{5}\\).</li><li><strong>C. \\(42 + 4\\sqrt{5}\\)</strong> - nie podwojono.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> \\(\\sqrt{10}\\sqrt{2} = \\sqrt{20} = 2\\sqrt{5}\\); pamiętaj o współczynniku \\(2ab\\).</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, obliczając $(2\\sqrt{10} + \\sqrt{2})^2$, otrzymujemy $(2\\sqrt{10})^2+2\\cdot 2\\sqrt{10}\\cdot \\sqrt2 + \\sqrt2^2=40+4\\sqrt{20}+2=42+8\\sqrt5$.</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>(2√(10)+√(2))^2=40+4√(20)+2=42+8√(5).</p>"}]}