{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa","number":"30","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (0-1)\nW pudełku znajdują się wyłącznie kule białe i czarne. Kul czarnych jest 18.\nZ tego pudełka w sposób losowy wyciągamy jedną kulę.\nPrawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wyciągniemy kulę czarną,\njest równe 3\n5\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba kul białych w pudełku, przed wyciągnięciem jednej kuli, była równa\nA. 9\nB. 12\nC. 15\nD. 30\n\nMMAP-P0_100\nW pudełku znajdują się wyłącznie kule białe i czarne. Kul czarnych jest 18. Z tego pudełka w sposób losowy wyciągamy jedną kulę. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wyciągniemy kulę czarną, jest równe 3/5. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba kul białych w pudełku, przed wyciągnięciem jednej kuli, była równa A. 9 B. 12 C. 15 D. 30","answer":"B","answer_text":"Zadanie 30. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nXII.1) oblicza prawdopodobieństwo\nw modelu klasycznym.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x \\in \\left(\\frac{1}{3}, 3\\right)\\)\n\n## Sposób 1 - Sprowadzenie do postaci ogólnej i wzór na pierwiastki\n\n**Krok 1: Rozwinięcie nawiasu i przeniesienie wszystkich wyrazów na lewą stronę**\n\n\\[x(3x - 1) + 4 < 7x\\]\n\\[3x^2 - x + 4 < 7x\\]\n\\[3x^2 - x - 7x + 4 < 0\\]\n\\[3x^2 - 8x + 4 < 0\\]\n\n**Krok 2: Wyznaczenie wyróżnika**\n\nMamy trójmian \\(3x^2 - 8x + 4\\), gdzie \\(a = 3\\), \\(b = -8\\), \\(c = 4\\).\n\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \\cdot 3 \\cdot 4 = 64 - 48 = 16\\]\n\n**Krok 3: Wyznaczenie pierwiastków**\n\n\\[x_1 = \\frac{-b - \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\frac{8 - 4}{6} = \\frac{4}{6} = \\frac{2}{3} \\cdot \\frac{1}{2} = \\frac{1}{3}\\]\n\nUważnie:\n\n\\[x_1 = \\frac{8 - 4}{6} = \\frac{4}{6} = \\frac{2}{3} \\quad \\text{- STOP, policzmy jeszcze raz}\\]\n\n\\[x_1 = \\frac{-(-8) - \\sqrt{16}}{2 \\cdot 3} = \\frac{8 - 4}{6} = \\frac{4}{6} = \\frac{2}{3}\\]\n\n\\[x_2 = \\frac{-(-8) + \\sqrt{16}}{2 \\cdot 3} = \\frac{8 + 4}{6} = \\frac{12}{6} = 2\\]\n\nHmm - zaraz, sprawdźmy raz jeszcze \\(x_1\\):\n\n\\[\\frac{4}{6} = \\frac{2}{3}\\]\n\nAle podstawmy \\(x = \\frac{2}{3}\\) do trójmianu: \\(3 \\cdot \\frac{4}{9} - 8 \\cdot \\frac{2}{3} + 4 = \\frac{4}{3} - \\frac{16}{3} + \\frac{12}{3} = \\frac{4 - 16 + 12}{3} = 0\\) ✓\n\nPodstawmy \\(x = 2\\): \\(3 \\cdot 4 - 8 \\cdot 2 + 4 = 12 - 16 + 4 = 0\\) ✓\n\nMamy więc \\(x_1 = \\frac{1}{3}\\)? Nie - wróćmy do pierwiastków. Wzór Viète'a: \\(x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a} = \\frac{4}{3}\\) oraz \\(x_1 + x_2 = \\frac{8}{3}\\).\n\nSprawdzam: \\(\\frac{2}{3} \\cdot 2 = \\frac{4}{3}\\) ✓ i \\(\\frac{2}{3} + 2 = \\frac{8}{3}\\) ✓\n\nZatem \\(x_1 = \\frac{2}{3}\\), \\(x_2 = 2\\) - **obie wartości są pierwiastkami**.\n\nAle sprawdźmy jeszcze raz zadanie: \\(3x^2 - 8x + 4 < 0\\). Faktorizacja:\n\n\\[3x^2 - 8x + 4 = 3\\left(x - \\frac{2}{3}\\right)(x - 2) = (3x - 2)(x - 2)\\]\n\nSprawdzenie rozwinięcia: \\((3x-2)(x-2) = 3x^2 - 6x - 2x + 4 = 3x^2 - 8x + 4\\) ✓\n\n**Krok 4: Analiza znaku - parabola otwarta w górę (\\(a = 3 > 0\\))**\n\nParabola otwarta w górę przyjmuje wartości **ujemne między pierwiastkami**.\n\n\\[\\boxed{3x^2 - 8x + 4 < 0 \\iff \\frac{2}{3} < x < 2}\\]\n\n**Odpowiedź: \\(x \\in \\left(\\frac{2}{3},\\, 2\\right)\\)**\n\n## Sposób 2 - Faktoryzacja bezpośrednia\n\n**Krok 1: Sprowadzamy nierówność do postaci standardowej**\n\n\\[3x^2 - 8x + 4 < 0\\]\n\n**Krok 2: Rozkładamy trójmian na czynniki metodą „ac\"**\n\nSzukamy dwóch liczb, których iloczyn wynosi \\(a \\cdot c = 3 \\cdot 4 = 12\\), a suma \\(-8\\).\n\nTakie liczby to \\(-6\\) i \\(-2\\), bo \\((-6) \\cdot (-2) = 12\\) i \\((-6) + (-2) = -8\\).\n\nRozkładamy środkowy wyraz:\n\\[3x^2 - 6x - 2x + 4 < 0\\]\n\\[3x(x - 2) - 2(x - 2) < 0\\]\n\\[(3x - 2)(x - 2) < 0\\]\n\n**Krok 3: Analiza znaku iloczynu**\n\nIloczyn \\((3x-2)(x-2)\\) jest **ujemny**, gdy jeden czynnik jest dodatni, a drugi ujemny.\n\n| Przedział | \\(3x - 2\\) | \\(x - 2\\) | Iloczyn |\n| \\(x < \\frac{2}{3}\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) |\n| \\(\\frac{2}{3} < x < 2\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) ✓ |\n| \\(x > 2\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) |\n\n**Odpowiedź: \\(x \\in \\left(\\frac{2}{3},\\, 2\\right)\\)**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)**\n\nWyróżnik i pierwiastki:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\n\nPostać iloczynowa (gdy \\(\\Delta \\geq 0\\)):\n\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]\n\nKluczowa zasada: **trójmian kwadratowy z \\(a > 0\\) przyjmuje wartości ujemne dokładnie między pierwiastkami**, czyli rozwiązaniem \\(ax^2 + bx + c < 0\\) jest przedział \\((x_1, x_2)\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie przenosząc wszystkiego na jedną stronę przed obliczaniem delty - to najczęstszy błąd. Upewnij się, że po prawej stronie nierówności stoi \\(0\\), zanim zaczniesz liczyć \\(\\Delta\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy \\(a > 0\\), rozwiązaniem nierówności \\(f(x) < 0\\) jest przedział **otwarty** \\((x_1, x_2)\\) - bez nawiasów kwadratowych, bo w pierwiastkach \\(f(x) = 0\\), a nie \\(< 0\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić kierunek nierówności przy mnożeniu/dzieleniu przez liczbę ujemną. Tu na szczęście sprowadzamy do \\(3x^2 - 8x + 4 < 0\\) bez takiego kroku - ale gdybyś mnożył przez ujemną, musisz odwrócić znak \\(<\\) na \\(>\\).\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(x \\in \\left(\\dfrac{2}{3}, 2\\right)\\).\n\n### Sposób 1 - Wyróżnik \\(\\Delta\\)\nPrzekształcamy: \\(3x^2 - x + 4 < 7x \\Rightarrow 3x^2 - 8x + 4 < 0\\).\n\\(\\Delta = (-8)^2 - 4\\cdot 3\\cdot 4 = 64 - 48 = 16\\), \\(\\sqrt{\\Delta} = 4\\).\n\\[x_1 = \\dfrac{8-4}{6} = \\dfrac{2}{3},\\; x_2 = \\dfrac{8+4}{6} = 2.\\]\nPonieważ \\(a = 3 > 0\\), nierówność \\(< 0\\) zachodzi **między** pierwiastkami:\n\\[x \\in \\left(\\tfrac{2}{3}, 2\\right).\\]\n\n### Sposób 2 - Rozkład na czynniki\n\\(3x^2 - 8x + 4 = (3x - 2)(x - 2) < 0\\). Znaki czynników: \\(3x-2<0 \\wedge x-2>0\\) (sprzeczne) albo \\(3x-2>0 \\wedge x-2<0\\) → \\(\\tfrac{2}{3} < x < 2\\).\n\n### CKE - Zasady punktacji\n- **2 pkt**: pierwiastki \\(x_1=\\tfrac{2}{3}\\), \\(x_2=2\\) oraz zbiór rozwiązań \\(\\left(\\tfrac{2}{3}, 2\\right)\\).\n- **1 pkt**: tylko pierwiastki lub tylko zbiór.\n- **0 pkt**: błędna metoda.\n\n**Trik:** parabola z \\(a>0\\) + nierówność \\(<0\\) → przedział **między** pierwiastkami (otwarty).","image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/sol-30.svg","topics":"Prawdopodobieństwo, prawdopodobienstwo","page_from":27,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 30. (0-1)
W pudełku znajdują się wyłącznie kule białe i czarne. Kul czarnych jest 18.
Z tego pudełka w sposób losowy wyciągamy jedną kulę.
Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wyciągniemy kulę czarną,
jest równe 3
5
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba kul białych w pudełku, przed wyciągnięciem jednej kuli, była równa
A. 9
B. 12
C. 15
D. 30

\n

MMAP-P0_100
W pudełku znajdują się wyłącznie kule białe i czarne. Kul czarnych jest 18. Z tego pudełka w sposób losowy wyciągamy jedną kulę. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wyciągniemy kulę czarną, jest równe 3/5. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba kul białych w pudełku, przed wyciągnięciem jednej kuli, była równa A. 9 B. 12 C. 15 D. 30

","answer_text_html":"

Zadanie 30. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 2024
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Dobieranie i tworzenie modeli
\n

matematycznych przy rozwiązywaniu
problemów praktycznych i teoretycznych.
Zdający:
XII.1) oblicza prawdopodobieństwo
w modelu klasycznym.
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
B
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/sol-30.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(x \\in \\left(\\frac{1}{3}, 3\\right)\\)

\n

Sposób 1 - Sprowadzenie do postaci ogólnej i wzór na pierwiastki

\n

Krok 1: Rozwinięcie nawiasu i przeniesienie wszystkich wyrazów na lewą stronę

\n

\\[x(3x - 1) + 4 < 7x\\]
\\[3x^2 - x + 4 < 7x\\]
\\[3x^2 - x - 7x + 4 < 0\\]
\\[3x^2 - 8x + 4 < 0\\]

\n

Krok 2: Wyznaczenie wyróżnika

\n

Mamy trójmian \\(3x^2 - 8x + 4\\), gdzie \\(a = 3\\), \\(b = -8\\), \\(c = 4\\).

\n

\\[\\Delta = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \\cdot 3 \\cdot 4 = 64 - 48 = 16\\]

\n

Krok 3: Wyznaczenie pierwiastków

\n

\\[x_1 = \\frac{-b - \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\frac{8 - 4}{6} = \\frac{4}{6} = \\frac{2}{3} \\cdot \\frac{1}{2} = \\frac{1}{3}\\]

\n

Uważnie:

\n

\\[x_1 = \\frac{8 - 4}{6} = \\frac{4}{6} = \\frac{2}{3} \\quad \\text{- STOP, policzmy jeszcze raz}\\]

\n

\\[x_1 = \\frac{-(-8) - \\sqrt{16}}{2 \\cdot 3} = \\frac{8 - 4}{6} = \\frac{4}{6} = \\frac{2}{3}\\]

\n

\\[x_2 = \\frac{-(-8) + \\sqrt{16}}{2 \\cdot 3} = \\frac{8 + 4}{6} = \\frac{12}{6} = 2\\]

\n

Hmm - zaraz, sprawdźmy raz jeszcze \\(x_1\\):

\n

\\[\\frac{4}{6} = \\frac{2}{3}\\]

\n

Ale podstawmy \\(x = \\frac{2}{3}\\) do trójmianu: \\(3 \\cdot \\frac{4}{9} - 8 \\cdot \\frac{2}{3} + 4 = \\frac{4}{3} - \\frac{16}{3} + \\frac{12}{3} = \\frac{4 - 16 + 12}{3} = 0\\) ✓

\n

Podstawmy \\(x = 2\\): \\(3 \\cdot 4 - 8 \\cdot 2 + 4 = 12 - 16 + 4 = 0\\) ✓

\n

Mamy więc \\(x_1 = \\frac{1}{3}\\)? Nie - wróćmy do pierwiastków. Wzór Viète'a: \\(x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a} = \\frac{4}{3}\\) oraz \\(x_1 + x_2 = \\frac{8}{3}\\).

\n

Sprawdzam: \\(\\frac{2}{3} \\cdot 2 = \\frac{4}{3}\\) ✓ i \\(\\frac{2}{3} + 2 = \\frac{8}{3}\\) ✓

\n

Zatem \\(x_1 = \\frac{2}{3}\\), \\(x_2 = 2\\) - obie wartości są pierwiastkami.

\n

Ale sprawdźmy jeszcze raz zadanie: \\(3x^2 - 8x + 4 < 0\\). Faktorizacja:

\n

\\[3x^2 - 8x + 4 = 3\\left(x - \\frac{2}{3}\\right)(x - 2) = (3x - 2)(x - 2)\\]

\n

Sprawdzenie rozwinięcia: \\((3x-2)(x-2) = 3x^2 - 6x - 2x + 4 = 3x^2 - 8x + 4\\) ✓

\n

Krok 4: Analiza znaku - parabola otwarta w górę (\\(a = 3 > 0\\))

\n

Parabola otwarta w górę przyjmuje wartości ujemne między pierwiastkami.

\n

\\[\\boxed{3x^2 - 8x + 4 < 0 \\iff \\frac{2}{3} < x < 2}\\]

\n

Odpowiedź: \\(x \\in \\left(\\frac{2}{3},\\, 2\\right)\\)

\n

Sposób 2 - Faktoryzacja bezpośrednia

\n

Krok 1: Sprowadzamy nierówność do postaci standardowej

\n

\\[3x^2 - 8x + 4 < 0\\]

\n

Krok 2: Rozkładamy trójmian na czynniki metodą „ac"

\n

Szukamy dwóch liczb, których iloczyn wynosi \\(a \\cdot c = 3 \\cdot 4 = 12\\), a suma \\(-8\\).

\n

Takie liczby to \\(-6\\) i \\(-2\\), bo \\((-6) \\cdot (-2) = 12\\) i \\((-6) + (-2) = -8\\).

\n

Rozkładamy środkowy wyraz:
\\[3x^2 - 6x - 2x + 4 < 0\\]
\\[3x(x - 2) - 2(x - 2) < 0\\]
\\[(3x - 2)(x - 2) < 0\\]

\n

Krok 3: Analiza znaku iloczynu

\n

Iloczyn \\((3x-2)(x-2)\\) jest ujemny, gdy jeden czynnik jest dodatni, a drugi ujemny.

\n

| Przedział | \\(3x - 2\\) | \\(x - 2\\) | Iloczyn |
| \\(x < \\frac{2}{3}\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) |
| \\(\\frac{2}{3} < x < 2\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) ✓ |
| \\(x > 2\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) |

\n

Odpowiedź: \\(x \\in \\left(\\frac{2}{3},\\, 2\\right)\\)

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)

\n

Wyróżnik i pierwiastki:
\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]

\n

Postać iloczynowa (gdy \\(\\Delta \\geq 0\\)):
\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]

\n

Kluczowa zasada: trójmian kwadratowy z \\(a > 0\\) przyjmuje wartości ujemne dokładnie między pierwiastkami, czyli rozwiązaniem \\(ax^2 + bx + c < 0\\) jest przedział \\((x_1, x_2)\\).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Nie przenosząc wszystkiego na jedną stronę przed obliczaniem delty - to najczęstszy błąd. Upewnij się, że po prawej stronie nierówności stoi \\(0\\), zanim zaczniesz liczyć \\(\\Delta\\).
\n
⚠️ Uwaga: Gdy \\(a > 0\\), rozwiązaniem nierówności \\(f(x) < 0\\) jest przedział otwarty \\((x_1, x_2)\\) - bez nawiasów kwadratowych, bo w pierwiastkach \\(f(x) = 0\\), a nie \\(< 0\\).
\n
⚠️ Uwaga: Łatwo pomylić kierunek nierówności przy mnożeniu/dzieleniu przez liczbę ujemną. Tu na szczęście sprowadzamy do \\(3x^2 - 8x + 4 < 0\\) bez takiego kroku - ale gdybyś mnożył przez ujemną, musisz odwrócić znak \\(<\\) na \\(>\\).
\n

Poprawna odpowiedź: \\(x \\in \\left(\\dfrac{2}{3}, 2\\right)\\).

\n
Sposób 1 - Wyróżnik \\(\\Delta\\)
\n

Przekształcamy: \\(3x^2 - x + 4 < 7x \\Rightarrow 3x^2 - 8x + 4 < 0\\).
\\(\\Delta = (-8)^2 - 4\\cdot 3\\cdot 4 = 64 - 48 = 16\\), \\(\\sqrt{\\Delta} = 4\\).
\\[x_1 = \\dfrac{8-4}{6} = \\dfrac{2}{3},\\; x_2 = \\dfrac{8+4}{6} = 2.\\]
Ponieważ \\(a = 3 > 0\\), nierówność \\(< 0\\) zachodzi między pierwiastkami:
\\[x \\in \\left(\\tfrac{2}{3}, 2\\right).\\]

\n
Sposób 2 - Rozkład na czynniki
\n

\\(3x^2 - 8x + 4 = (3x - 2)(x - 2) < 0\\). Znaki czynników: \\(3x-2<0 \\wedge x-2>0\\) (sprzeczne) albo \\(3x-2>0 \\wedge x-2<0\\) → \\(\\tfrac{2}{3} < x < 2\\).

\n
CKE - Zasady punktacji
\n\n

Trik: parabola z \\(a>0\\) + nierówność \\(<0\\) → przedział między pierwiastkami (otwarty).

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"

Poprawnie, jeśli w pudełku jest $12$ kul białych, to łącznie mamy $12 + 18 = 30$ kul. Prawdopodobieństwo wyciągnięcia kuli czarnej wynosi $\\displaystyle \\small \\frac{18}{30} = \\frac{3}{5}$.

"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

Jeżeli wszystkich kul jest n , to
(18)/(n)=(3)/(5),
więc n=30 . Kul białych było
30-18=12.

"}]}