Zadanie 31. (0-2)
Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry,
która na każdej ściance ma inną liczbę oczek - od jednego oczka do sześciu oczek.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia 𝑨 polegającego na tym, że w pierwszym
rzucie wypadnie większa liczba oczek niż w drugim rzucie. Zapisz obliczenia.
MMAP-P0_100
Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek - od jednego oczka do sześciu oczek. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że w pierwszym rzucie wypadnie większa liczba oczek niż w drugim rzucie.
Zadanie 31. (0-2)
Wymagania egzaminacyjne 2024
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.
matematycznych przy rozwiązywaniu
problemów praktycznych i teoretycznych.
Zdający:
XII.1) oblicza prawdopodobieństwo
w modelu klasycznym.
Zasady oceniania
2 pkt - zastosowanie poprawnej metody obliczenia prawdopodobieństwa zdarzenia 𝐴
i uzyskanie poprawnego wyniku: 𝑃(𝐴) = 15
36
1 pkt - wypisanie wszystkich zdarzeń elementarnych lub obliczenie/podanie liczby tych
zdarzeń: |Ω| = 6 ⋅6 lub sporządzenie tabeli o 36 polach odpowiadających
zdarzeniom elementarnym, z których co najmniej jedno pole jest wypełnione, lub
sporządzenie pełnego drzewa stochastycznego
ALBO
zdarzeniu 𝐴 i niewypisanie żadnego niewłaściwego,
ALBO
|𝐴| = 15, jeśli nie została otrzymana w wyniku zastosowania błędnej metody,
ALBO
sprzyjające zdarzeniu 𝐴 oraz zapisanie prawdopodobieństwa na co najmniej
jednym odcinku każdego z etapów doświadczenia,
ALBO
36
,
ALBO
12
,
ALBO
36
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwaga:
Jeżeli zdający zapisuje tylko liczby 5 i 12 lub 15 i 36 i z rozwiązania nie wynika
znaczenie tych liczb, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I
W tabeli literą 𝐴 zaznaczamy zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu 𝐴.
𝟏
𝟐
𝟑
𝟒
𝟓
𝟔
𝟏
𝟐
𝐴
𝟑
𝐴
𝐴
𝟒
𝐴
𝐴
𝐴
𝟓
𝐴
𝐴
𝐴
𝐴
𝟔
𝐴
𝐴
𝐴
𝐴
𝐴
Moc zbioru Ω jest równa 36.
Zdarzeń sprzyjających zdarzeniu 𝐴 jest 15.
Zatem prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe 15
36 = 5
12
Sposób II (drzewo stochastyczne)
Rysujemy fragment drzewa stochastycznego rozważanego doświadczenia z uwzględnieniem
wszystkich istotnych gałęzi.
Prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe
𝑃(𝐴) = 1
6 ⋅1
6 + 1
6 ⋅2
6 + 1
6 ⋅3
6 + 1
6 ⋅4
6 + 1
6 ⋅5
6 = 15
36 = 5
12
2
3
4
5
6
1
1
2
1
2
3
1
2
3
4
1
2
3
4
5
1
6
2
6
3
6
4
6
5
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
Zasady oceniania rozwiązań zadań
\\[f(x) = 2(x-3)^2 = 2x^2 - 12x + 18\\]
\nKluczowa obserwacja: Parabola ma z osiami układu współrzędnych dokładnie dwa punkty wspólne. Z osią \\(OY\\) każda parabola przecina się dokładnie raz (jeden punkt \\(M\\)), więc z osią \\(OX\\) może mieć już tylko jeden punkt wspólny - punkt \\(N\\).
\nJeden punkt wspólny z osią \\(OX\\) oznacza, że \\(\\Delta = 0\\), czyli parabola jest styczna do osi \\(OX\\) w punkcie \\(N = (3, 0)\\).
\nZatem \\(x = 3\\) jest podwójnym pierwiastkiem, więc:
\\[f(x) = a(x - 3)^2\\]
Teraz korzystamy z warunku \\(M = (0, 18)\\), czyli \\(f(0) = 18\\):
\\[f(0) = a(0 - 3)^2 = 9a = 18\\]
\\[\\boxed{a = 2}\\]
Wzór funkcji:
\\[f(x) = 2(x-3)^2 = 2x^2 - 12x + 18\\]
Sprawdzenie:
\nPrzyjmijmy \\(f(x) = ax^2 + bx + c\\). Mamy trzy warunki:
\nWarunek 1: \\(M = (0, 18)\\) leży na wykresie:
\\[f(0) = c = 18\\]
Warunek 2: \\(N = (3, 0)\\) leży na wykresie:
\\[f(3) = 9a + 3b + 18 = 0 \\implies 3a + b = -6\\]
Warunek 3: Parabola ma z osią \\(OX\\) dokładnie jeden punkt wspólny, więc \\(\\Delta = 0\\):
\\[\\Delta = b^2 - 4ac = b^2 - 72a = 0 \\implies b^2 = 72a\\]
Z warunku 2: \\(b = -6 - 3a\\). Podstawiamy do warunku 3:
\\[(-6 - 3a)^2 = 72a\\]
\\[36 + 36a + 9a^2 = 72a\\]
\\[9a^2 - 36a + 36 = 0\\]
\\[a^2 - 4a + 4 = 0\\]
\\[(a - 2)^2 = 0 \\implies a = 2\\]
Stąd \\(b = -6 - 6 = -12\\), \\(c = 18\\).
\n\\[\\boxed{f(x) = 2x^2 - 12x + 18}\\]
\nDział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)
\nWłaśnie fakt \\(\\Delta = 0\\) był kluczem - pozwolił zapisać \\(f\\) w postaci \\(a(x-3)^2\\) i sprowadził problem do wyznaczenia jednej niewiadomej \\(a\\).
\n⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd to przyjęcie, że parabola ma dwa pierwiastki (w tym \\(x = 3\\)), i próba dopisania drugiego. Treść wyraźnie mówi: parabola ma z obiema osiami łącznie tylko dwa punkty wspólne - jeden na \\(OY\\), jeden na \\(OX\\). Stąd \\(\\Delta = 0\\).\n
⚠️ Uwaga: Nie zakładaj pochopnie, że parabola przecina \\(OX\\) w dwóch punktach - zadanie to klasyczna pułapka na ten właśnie błąd.\n
⚠️ Uwaga: Pamiętaj sprawdzić na koniec, czy \\(\\Delta = 0\\) faktycznie wychodzi z wyznaczonego wzoru. Jeśli nie - gdzieś popełniłeś błąd w obliczeniach.\n
Poprawna odpowiedź: \\(f(x) = 2(x-3)^2\\) lub równoważnie \\(f(x) = 2x^2 - 12x + 18\\).
\nSkoro \\(N=(3,0)\\) jest jedynym punktem wspólnym z osią \\(Ox\\), to jest to wierzchołek paraboli. Zatem:
\\[f(x) = a(x-3)^2.\\]
Punkt \\(M=(0,18)\\) leży na wykresie:
\\[a(0-3)^2 = 18 \\Rightarrow 9a = 18 \\Rightarrow a = 2.\\]
Zatem \\(f(x) = 2(x-3)^2 = 2x^2 - 12x + 18\\).
\\(f(x) = ax^2 + bx + c\\). Z \\(M\\): \\(c = 18\\). \\(N=(3,0)\\) jedyne zero → \\(\\Delta = 0\\) i \\(x_0 = -\\tfrac{b}{2a} = 3\\).
Z \\(\\Delta = b^2 - 4ac = 0\\) i \\(b = -6a\\): \\(36a^2 - 72a = 0 \\Rightarrow a(a-2) = 0 \\Rightarrow a = 2\\) (kwadratowa), \\(b = -12\\).
Zatem \\(f(x) = 2x^2 - 12x + 18\\).
Trik: jedyny punkt styku z \\(Ox\\) = wierzchołek → postać kanoniczna \\(a(x-p)^2\\) najkrótsza droga.
"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"Wszystkich uporządkowanych wyników jest
\n6·6=36.
\nPasujące wyniki:
\n(2,1),
\n(3,1), (3,2),
\n(4,1), (4,2), (4,3),
\n(5,1), (5,2), (5,3), (5,4),
\n(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5).
\nJest ich
\n1+2+3+4+5=15.
\nP(A)=(15)/(36)=(5)/(12).
"}]}