{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa","number":"32","points":2,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (0-2)\nWłaściciel sklepu z zabawkami przeprowadził lokalne badanie rynkowe dotyczące wpływu\nzmiany ceny zestawu klocków na liczbę kupujących ten produkt. Z badania wynika, że\ndzienny przychód 𝑃 ze sprzedaży zestawów klocków, w zależności od kwoty obniżki ceny\nzestawu o 𝑥 zł, wyraża się wzorem\n𝑃(𝑥) = (70 -𝑥)(20 + 𝑥)\ngdzie 𝑥 jest liczbą całkowitą spełniającą warunki 𝑥≥0 i 𝑥≤60.\nUzupełnij tabelę. Wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź, wybraną\nspośród oznaczonych literami A-E.\n32.1.\nDzienny przychód ze sprzedaży zestawów klocków będzie największy,\ngdy liczba 𝑥 jest równa\n32.2.\nDzienny przychód ze sprzedaży zestawów klocków będzie równy 800 zł,\ngdy liczba 𝑥 jest równa\nA. 25\nB. 30\nC. 45\nD. 50\nE. 60\n\nMMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMAP-P0_100\n\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2023\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2023\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2023\nWłaściciel sklepu z zabawkami przeprowadził lokalne badanie rynkowe dotyczące wpływu zmiany ceny zestawu klocków na liczbę kupujących ten produkt. Z badania wynika, że dzienny przychód~P ze sprzedaży zestawów klocków, w zależności od kwoty obniżki ceny zestawu o x zł, wyraża się wzorem P(x) = (70-x)(20+x) gdzie x jest liczbą całkowitą spełniającą warunki x≥0 i x≤60. Uzupełnij tabelę. Wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź, wybraną spośród oznaczonych literami A - E. 32.1 Dzienny przychód ze sprzedaży zestawów klocków będzie największy, gdy liczba x jest równa 32.2 Dzienny przychód ze sprzedaży zestawów klocków będzie równy 800 zł, gdy liczba x jest równa A. 25 B. 30 C. 45 D. 50 E. 60","answer":"A, E","answer_text":"Zadanie 32. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nXIII) rozwiązuje zadania optymalizacyjne\nw sytuacjach dających się opisać funkcją\nkwadratową.\nZasady oceniania\n2 pkt - wybranie dwóch poprawnych odpowiedzi.\n1 pkt - wybranie jednej poprawnej odpowiedzi.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\n32.1. A\n32.2. E\nOcena prac osób ze stwierdzoną dyskalkulią\nObowiązują zasady oceniania stosowane przy sprawdzaniu prac zdających bez stwierdzonej\ndyskalkulii z dodatkowym uwzględnieniem:\nI. ogólnych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze\nstwierdzoną dyskalkulią (punkty 1.-12.);\nII. dodatkowych szczegółowych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy\nosób ze stwierdzoną dyskalkulią - egzamin maturalny z matematyki, poziom\npodstawowy, termin dodatkowy 2024.\nI. Ogólne zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną\ndyskalkulią\n1. Nie należy traktować jako błędy merytoryczne pomyłek, wynikających z:\nbłędnego przepisania\nprzestawienia cyfr\nzapisania innej cyfry, ale o podobnym wyglądzie\nprzestawienia położenia przecinka\nprzestawienia położenia znaku liczby.\n2. W przypadku błędów, wynikających ze zmiany znaku liczby, należy w każdym zadaniu\noddzielnie przeanalizować, czy zdający opanował inne umiejętności, poza\numiejętnościami rachunkowymi, oceniane w zadaniu. W przypadku opanowania\nbadanych umiejętności zdający powinien otrzymać przynajmniej 1 punkt.\n3. We wszystkich zadaniach otwartych, w których wskazano poprawną metodę\nrozwiązania, części lub całości zadania, zdającemu należy przyznać przynajmniej\n1 punkt, zgodnie z kryteriami do poszczególnych zadań.\n4. Jeśli zdający przedstawia nieprecyzyjne zapisy, na przykład pomija nawiasy lub\nzapisuje nawiasy w niewłaściwych miejscach, ale przeprowadza poprawne\nrozumowanie lub stosuje właściwą strategię, to może otrzymać przynajmniej 1 punkt\nza rozwiązanie zadania.\n5. W przypadku zadania wymagającego wyznaczenia pierwiastków trójmianu\nkwadratowego zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi poprawną metodę\nwyznaczania pierwiastków trójmianu kwadratowego, przy podanych w treści zadania\nwartościach liczbowych.\n6. W przypadku zadania wymagającego rozwiązania nierówności kwadratowej zdający\nmoże otrzymać 1 punkt, jeżeli stosuje poprawny algorytm rozwiązywania nierówności\nkwadratowej, przy podanych w treści zadania wartościach liczbowych.\n7. W przypadku zadania wymagającego stosowania własności funkcji kwadratowej\nzdający może otrzymać 1 punkt za wykorzystanie konkretnych własności funkcji\nkwadratowej, istotnych przy poszukiwaniu rozwiązania.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n8. W przypadku zadania wymagającego zastosowania własności ciągów arytmetycznych\nlub geometrycznych zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi wykorzystanie\ntakiej własności ciągu, która umożliwia znalezienie rozwiązania zadania.\n9. W przypadku zadania wymagającego analizowania figur geometrycznych na\npłaszczyźnie kartezjańskiej zdający może otrzymać punkty, jeżeli przy poszukiwaniu\nrozwiązania przedstawi poprawne rozumowanie, wykorzystujące własności figur\ngeometrycznych lub zapisze zależności, pozwalające rozwiązać zadanie.\n10. W przypadku zadania z rachunku prawdopodobieństwa zdający może otrzymać\nprzynajmniej 1 punkt, jeśli przy wyznaczaniu liczby zdarzeń elementarnych\nsprzyjających rozważanemu zdarzeniu przyjmuje określoną regularność lub podaje\nprawidłową metodę wyznaczenia tej liczby zdarzeń elementarnych.\n11. W przypadku zadania z geometrii zdający może otrzymać przynajmniej 1 punkt, jeżeli\npodaje poprawną metodę wyznaczenia długości odcinka potrzebnej do znalezienia\nrozwiązania.\n12. W przypadku zadania wymagającego przeprowadzenia dowodu (z zakresu algebry lub\ngeometrii), jeśli w przedstawionym rozwiązaniu zdający powoła się na własność, która\nwyznacza istotny postęp, prowadzący do przeprowadzenia dowodu, to może otrzymać\n1 punkt.\nII. Dodatkowe szczegółowe zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób\nze stwierdzoną dyskalkulią\nZadanie 5.\n1 pkt - przekształcenie wyrażenia 5𝑛3 -5𝑛 do postaci 5𝑛(𝑛2 -1).\nZadanie 9.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 10.\n1 pkt - przekształcenie wielomianu 4𝑥3 -12𝑥2 -𝑥+ 3 do postaci\n4𝑥2(𝑥-3) -(𝑥-3) lub 𝑥(4𝑥2 -1) -3(4𝑥2 -1)\nALBO\n- zapisanie jednego z rozwiązań równania 4𝑥3 -12𝑥2 -𝑥+ 3 = 0 .\nZadanie 11.1.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 14.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 22.\n1 pkt - zapisanie, że trójkąty 𝐴𝐵𝑆 oraz 𝐴𝑃𝐵 są podobne\nALBO\n- zapisanie, że trójkąty 𝐴𝐵𝑆 oraz 𝐵𝑃𝑆 są podobne,\nALBO\n- zapisanie, że trójkąty 𝐴𝑃𝐵 oraz 𝐵𝑃𝑆 są podobne.\nZadanie 24.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 31.\n1 pkt - zapisanie jedynie liczby 36 (należy traktować to jako wyznaczenie liczby wszystkich\nzdarzeń elementarnych).\nUwagi:\n1. W ocenie rozwiązania tego zadania (dla zdających z dyskalkulią) nie stosuje się uwagi 1.\nze standardowych zasad oceniania.\n2. Jeżeli zdający poprawnie wypisze/zaznaczy wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające\nzdarzeniu 𝐴, lecz popełni błąd w ich zliczeniu (np. |𝐴| = 14) i konsekwentnie zapisze\nwynik (np. 14\n36) , to otrzymuje 2 punkty.","solution":"## Poprawna odpowiedź: Nierówność jest prawdziwa - dowód przez uzupełnienie do pełnych kwadratów.\n\n## Sposób 1 - Uzupełnienie do pełnych kwadratów\n\n**Przenosimy wszystko na lewą stronę:**\n\n\\[x^2 + 49y^2 - 2(x + 7y - 1) > 0\\]\n\n\\[x^2 + 49y^2 - 2x - 14y + 2 > 0\\]\n\n**Grupujemy wyrazy i uzupełniamy do kwadratów:**\n\n\\[\n\\underbrace{x^2 - 2x + 1}_{(x-1)^2} + \\underbrace{49y^2 - 14y + 1}_{(7y-1)^2} > 0\n\\]\n\nSprawdzamy, że rozpad jest poprawny:\n- \\(x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2\\) ✓\n- \\(49y^2 - 14y + 1 = (7y - 1)^2\\) ✓   (bo \\((7y-1)^2 = 49y^2 - 14y + 1\\))\n\nZatem lewa strona to:\n\n\\[(x-1)^2 + (7y-1)^2 > 0\\]\n\n**Teraz uzasadniamy nierówność:**\n\n- Każdy kwadrat liczby rzeczywistej jest **nieujemny**: \\((x-1)^2 \\geq 0\\) oraz \\((7y-1)^2 \\geq 0\\).\n- Skoro \\(x \\neq 1\\), to \\(x - 1 \\neq 0\\), więc \\((x-1)^2 > 0\\).\n\nSuma, w której jeden składnik jest dodatni, a drugi nieujemny, jest **dodatnia**:\n\n\\[(x-1)^2 + (7y-1)^2 \\geq (x-1)^2 > 0 \\qquad \\blacksquare\\]\n\n## Sposób 2 - Nierówności AM-GM (suma kwadratów i liniowych)\n\nKorzystamy z faktu, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \\(a\\) zachodzi:\n\n\\[a^2 + 1 \\geq 2a, \\quad \\text{bo } a^2 - 2a + 1 = (a-1)^2 \\geq 0\\]\n\nStosujemy tę nierówność dwa razy:\n\n**Dla \\(a = x\\):**\n\\[x^2 + 1 \\geq 2x\\]\nPonieważ \\(x \\neq 1\\), mamy \\((x-1)^2 > 0\\), więc nierówność jest **ostra**:\n\\[x^2 + 1 > 2x \\tag{1}\\]\n\n**Dla \\(a = 7y\\):**\n\\[(7y)^2 + 1 \\geq 2 \\cdot 7y\\]\n\\[49y^2 + 1 \\geq 14y \\tag{2}\\]\n\n**Dodajemy stronami (1) i (2):**\n\n\\[x^2 + 49y^2 + 2 > 2x + 14y\\]\n\n\\[x^2 + 49y^2 > 2x + 14y - 2\\]\n\n\\[x^2 + 49y^2 > 2(x + 7y - 1) \\qquad \\blacksquare\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):**\n\\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]\n\nUżyliśmy go w obu sposobach - przy uzupełnianiu do pełnych kwadratów:\n- \\((x-1)^2 = x^2 - 2x + 1\\)\n- \\((7y-1)^2 = 49y^2 - 14y + 1\\)\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wystarczy napisać „\\((x-1)^2 + (7y-1)^2 \\geq 0\\)\" - nierówność nieostra nie dowodzi nierówności ostrej. Musisz **osobno wskazać**, że \\((x-1)^2 > 0\\), bo \\(x \\neq 1\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Częsty błąd to pominięcie warunku \\(x \\neq 1\\) w uzasadnieniu. Gdyby \\(x = 1\\) i jednocześnie \\(y = \\frac{1}{7}\\), to \\((x-1)^2 + (7y-1)^2 = 0\\) i nierówność **nie byłaby prawdziwa** - właśnie dlatego ten warunek jest w treści zadania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy uzupełnianiu do kwadratów zawsze sprawdź rachunkowo, że rozwinięcie się zgadza - tu: \\((7y-1)^2 = 49y^2 - 14y + 1\\), nie \\(49y^2 - 7y + 1\\). Błąd w czynniku przy \\(y\\) to najpopularniejsza pomyłka.\n\n**Poprawna odpowiedź:** nierówność wynika z sumy dwóch kwadratów.\n\n### Sposób 1 - Suma kwadratów (karta wzorów \\((a\\pm b)^2\\))\nPrzekształcamy równoważnie:\n\\[x^2 + 49y^2 > 2x + 14y - 2\\]\n\\[x^2 - 2x + 1 + 49y^2 - 14y + 1 > 0\\]\n\\[(x-1)^2 + (7y-1)^2 > 0.\\]\nZ założenia \\(x \\ne 1\\), więc \\((x-1)^2 > 0\\). \\((7y-1)^2 \\ge 0\\). Suma liczby dodatniej i nieujemnej jest dodatnia. Nierówność prawdziwa.\n\n### Sposób 2 - Trójmian kwadratowy zmiennej \\(x\\)\n\\(x^2 - 2x + (49y^2 - 14y + 2)\\). Wyróżnik:\n\\(\\Delta = 4 - 4(49y^2 - 14y + 2) = -4(49y^2 - 14y + 1) = -4(7y-1)^2 \\le 0\\).\nGdy \\(y \\ne \\tfrac{1}{7}\\): \\(\\Delta < 0\\), trójmian dodatni dla każdego \\(x\\).\nGdy \\(y = \\tfrac{1}{7}\\): \\(\\Delta = 0\\), trójmian zeruje się tylko dla \\(x = 1\\); dla \\(x \\ne 1\\) dodatni. c.n.d.\n\n### CKE - Zasady punktacji\n- **2 pkt**: pełne uzasadnienie.\n- **1 pkt**: przekształcenie do \\((x-1)^2 + (7y-1)^2 > 0\\) bez uzasadnienia.\n\n**Trik:** gdy nierówność \"kwadratowa + stała\", próbuj uzupełnić do sumy kwadratów - niemal zawsze działa.","image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/sol-32.svg","topics":"Optymalizacja","page_from":29,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 32. (0-2)
Właściciel sklepu z zabawkami przeprowadził lokalne badanie rynkowe dotyczące wpływu
zmiany ceny zestawu klocków na liczbę kupujących ten produkt. Z badania wynika, że
dzienny przychód 𝑃 ze sprzedaży zestawów klocków, w zależności od kwoty obniżki ceny
zestawu o 𝑥 zł, wyraża się wzorem
𝑃(𝑥) = (70 -𝑥)(20 + 𝑥)
gdzie 𝑥 jest liczbą całkowitą spełniającą warunki 𝑥≥0 i 𝑥≤60.
Uzupełnij tabelę. Wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź, wybraną
spośród oznaczonych literami A-E.
32.1.
Dzienny przychód ze sprzedaży zestawów klocków będzie największy,
gdy liczba 𝑥 jest równa
32.2.
Dzienny przychód ze sprzedaży zestawów klocków będzie równy 800 zł,
gdy liczba 𝑥 jest równa
A. 25
B. 30
C. 45
D. 50
E. 60

\n

MMAP-P0_100
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

\n

MMAP-P0_100

\n

MATEMATYKA
Poziom podstawowy
Formuła 2023
MATEMATYKA
Poziom podstawowy
Formuła 2023
MATEMATYKA
Poziom podstawowy
Formuła 2023
Właściciel sklepu z zabawkami przeprowadził lokalne badanie rynkowe dotyczące wpływu zmiany ceny zestawu klocków na liczbę kupujących ten produkt. Z badania wynika, że dzienny przychód~P ze sprzedaży zestawów klocków, w zależności od kwoty obniżki ceny zestawu o x zł, wyraża się wzorem P(x) = (70-x)(20+x) gdzie x jest liczbą całkowitą spełniającą warunki x≥0 i x≤60. Uzupełnij tabelę. Wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź, wybraną spośród oznaczonych literami A - E. 32.1 Dzienny przychód ze sprzedaży zestawów klocków będzie największy, gdy liczba x jest równa 32.2 Dzienny przychód ze sprzedaży zestawów klocków będzie równy 800 zł, gdy liczba x jest równa A. 25 B. 30 C. 45 D. 50 E. 60

","answer_text_html":"

Zadanie 32. (0-2)
Wymagania egzaminacyjne 2024
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Dobieranie i tworzenie modeli
\n

matematycznych przy rozwiązywaniu
problemów praktycznych i teoretycznych.
Zdający:
XIII) rozwiązuje zadania optymalizacyjne
w sytuacjach dających się opisać funkcją
kwadratową.
Zasady oceniania
2 pkt - wybranie dwóch poprawnych odpowiedzi.
1 pkt - wybranie jednej poprawnej odpowiedzi.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
32.1. A
32.2. E
Ocena prac osób ze stwierdzoną dyskalkulią
Obowiązują zasady oceniania stosowane przy sprawdzaniu prac zdających bez stwierdzonej
dyskalkulii z dodatkowym uwzględnieniem:
I. ogólnych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze
stwierdzoną dyskalkulią (punkty 1.-12.);
II. dodatkowych szczegółowych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy
osób ze stwierdzoną dyskalkulią - egzamin maturalny z matematyki, poziom
podstawowy, termin dodatkowy 2024.
I. Ogólne zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną
dyskalkulią

\n
  1. Nie należy traktować jako błędy merytoryczne pomyłek, wynikających z:
\n

błędnego przepisania
przestawienia cyfr
zapisania innej cyfry, ale o podobnym wyglądzie
przestawienia położenia przecinka
przestawienia położenia znaku liczby.

\n
  1. W przypadku błędów, wynikających ze zmiany znaku liczby, należy w każdym zadaniu
\n

oddzielnie przeanalizować, czy zdający opanował inne umiejętności, poza
umiejętnościami rachunkowymi, oceniane w zadaniu. W przypadku opanowania
badanych umiejętności zdający powinien otrzymać przynajmniej 1 punkt.

\n
  1. We wszystkich zadaniach otwartych, w których wskazano poprawną metodę
\n

rozwiązania, części lub całości zadania, zdającemu należy przyznać przynajmniej
1 punkt, zgodnie z kryteriami do poszczególnych zadań.

\n
  1. Jeśli zdający przedstawia nieprecyzyjne zapisy, na przykład pomija nawiasy lub
\n

zapisuje nawiasy w niewłaściwych miejscach, ale przeprowadza poprawne
rozumowanie lub stosuje właściwą strategię, to może otrzymać przynajmniej 1 punkt
za rozwiązanie zadania.

\n
  1. W przypadku zadania wymagającego wyznaczenia pierwiastków trójmianu
\n

kwadratowego zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi poprawną metodę
wyznaczania pierwiastków trójmianu kwadratowego, przy podanych w treści zadania
wartościach liczbowych.

\n
  1. W przypadku zadania wymagającego rozwiązania nierówności kwadratowej zdający
\n

może otrzymać 1 punkt, jeżeli stosuje poprawny algorytm rozwiązywania nierówności
kwadratowej, przy podanych w treści zadania wartościach liczbowych.

\n
  1. W przypadku zadania wymagającego stosowania własności funkcji kwadratowej
\n

zdający może otrzymać 1 punkt za wykorzystanie konkretnych własności funkcji
kwadratowej, istotnych przy poszukiwaniu rozwiązania.
Zasady oceniania rozwiązań zadań

\n
  1. W przypadku zadania wymagającego zastosowania własności ciągów arytmetycznych
\n

lub geometrycznych zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi wykorzystanie
takiej własności ciągu, która umożliwia znalezienie rozwiązania zadania.

\n
  1. W przypadku zadania wymagającego analizowania figur geometrycznych na
\n

płaszczyźnie kartezjańskiej zdający może otrzymać punkty, jeżeli przy poszukiwaniu
rozwiązania przedstawi poprawne rozumowanie, wykorzystujące własności figur
geometrycznych lub zapisze zależności, pozwalające rozwiązać zadanie.

\n
  1. W przypadku zadania z rachunku prawdopodobieństwa zdający może otrzymać
\n

przynajmniej 1 punkt, jeśli przy wyznaczaniu liczby zdarzeń elementarnych
sprzyjających rozważanemu zdarzeniu przyjmuje określoną regularność lub podaje
prawidłową metodę wyznaczenia tej liczby zdarzeń elementarnych.

\n
  1. W przypadku zadania z geometrii zdający może otrzymać przynajmniej 1 punkt, jeżeli
\n

podaje poprawną metodę wyznaczenia długości odcinka potrzebnej do znalezienia
rozwiązania.

\n
  1. W przypadku zadania wymagającego przeprowadzenia dowodu (z zakresu algebry lub
\n

geometrii), jeśli w przedstawionym rozwiązaniu zdający powoła się na własność, która
wyznacza istotny postęp, prowadzący do przeprowadzenia dowodu, to może otrzymać
1 punkt.
II. Dodatkowe szczegółowe zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób
ze stwierdzoną dyskalkulią
Zadanie 5.
1 pkt - przekształcenie wyrażenia 5𝑛3 -5𝑛 do postaci 5𝑛(𝑛2 -1).
Zadanie 9.
Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.
Zadanie 10.
1 pkt - przekształcenie wielomianu 4𝑥3 -12𝑥2 -𝑥+ 3 do postaci
4𝑥2(𝑥-3) -(𝑥-3) lub 𝑥(4𝑥2 -1) -3(4𝑥2 -1)
ALBO

\n\n

Zadanie 11.1.
Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.
Zadanie 14.
Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.
Zadanie 22.
1 pkt - zapisanie, że trójkąty 𝐴𝐵𝑆 oraz 𝐴𝑃𝐵 są podobne
ALBO

\n\n

ALBO

\n\n

Zadanie 24.
Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.
Zadanie 31.
1 pkt - zapisanie jedynie liczby 36 (należy traktować to jako wyznaczenie liczby wszystkich
zdarzeń elementarnych).
Uwagi:

\n
  1. W ocenie rozwiązania tego zadania (dla zdających z dyskalkulią) nie stosuje się uwagi 1.
\n

ze standardowych zasad oceniania.

\n
  1. Jeżeli zdający poprawnie wypisze/zaznaczy wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające
\n

zdarzeniu 𝐴, lecz popełni błąd w ich zliczeniu (np. |𝐴| = 14) i konsekwentnie zapisze
wynik (np. 14

\n
  1. , to otrzymuje 2 punkty.
","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/sol-32.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: Nierówność jest prawdziwa - dowód przez uzupełnienie do pełnych kwadratów.

\n

Sposób 1 - Uzupełnienie do pełnych kwadratów

\n

Przenosimy wszystko na lewą stronę:

\n

\\[x^2 + 49y^2 - 2(x + 7y - 1) > 0\\]

\n

\\[x^2 + 49y^2 - 2x - 14y + 2 > 0\\]

\n

Grupujemy wyrazy i uzupełniamy do kwadratów:

\n

\\[
\\underbrace{x^2 - 2x + 1}{(x-1)^2} + \\underbrace{49y^2 - 14y + 1}{(7y-1)^2} > 0
\\]

\n

Sprawdzamy, że rozpad jest poprawny:

\n\n

Zatem lewa strona to:

\n

\\[(x-1)^2 + (7y-1)^2 > 0\\]

\n

Teraz uzasadniamy nierówność:

\n\n

Suma, w której jeden składnik jest dodatni, a drugi nieujemny, jest dodatnia:

\n

\\[(x-1)^2 + (7y-1)^2 \\geq (x-1)^2 > 0 \\qquad \\blacksquare\\]

\n

Sposób 2 - Nierówności AM-GM (suma kwadratów i liniowych)

\n

Korzystamy z faktu, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \\(a\\) zachodzi:

\n

\\[a^2 + 1 \\geq 2a, \\quad \\text{bo } a^2 - 2a + 1 = (a-1)^2 \\geq 0\\]

\n

Stosujemy tę nierówność dwa razy:

\n

Dla \\(a = x\\):
\\[x^2 + 1 \\geq 2x\\]
Ponieważ \\(x \\neq 1\\), mamy \\((x-1)^2 > 0\\), więc nierówność jest ostra:
\\[x^2 + 1 > 2x \\tag{1}\\]

\n

Dla \\(a = 7y\\):
\\[(7y)^2 + 1 \\geq 2 \\cdot 7y\\]
\\[49y^2 + 1 \\geq 14y \\tag{2}\\]

\n

Dodajemy stronami (1) i (2):

\n

\\[x^2 + 49y^2 + 2 > 2x + 14y\\]

\n

\\[x^2 + 49y^2 > 2x + 14y - 2\\]

\n

\\[x^2 + 49y^2 > 2(x + 7y - 1) \\qquad \\blacksquare\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):
\\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]

\n

Użyliśmy go w obu sposobach - przy uzupełnianiu do pełnych kwadratów:

\n\n

Typowe pułapki

\n
⚠️ Uwaga: Nie wystarczy napisać „\\((x-1)^2 + (7y-1)^2 \\geq 0\\)" - nierówność nieostra nie dowodzi nierówności ostrej. Musisz osobno wskazać, że \\((x-1)^2 > 0\\), bo \\(x \\neq 1\\).
\n
⚠️ Uwaga: Częsty błąd to pominięcie warunku \\(x \\neq 1\\) w uzasadnieniu. Gdyby \\(x = 1\\) i jednocześnie \\(y = \\frac{1}{7}\\), to \\((x-1)^2 + (7y-1)^2 = 0\\) i nierówność nie byłaby prawdziwa - właśnie dlatego ten warunek jest w treści zadania.
\n
⚠️ Uwaga: Przy uzupełnianiu do kwadratów zawsze sprawdź rachunkowo, że rozwinięcie się zgadza - tu: \\((7y-1)^2 = 49y^2 - 14y + 1\\), nie \\(49y^2 - 7y + 1\\). Błąd w czynniku przy \\(y\\) to najpopularniejsza pomyłka.
\n

Poprawna odpowiedź: nierówność wynika z sumy dwóch kwadratów.

\n
Sposób 1 - Suma kwadratów (karta wzorów \\((a\\pm b)^2\\))
\n

Przekształcamy równoważnie:
\\[x^2 + 49y^2 > 2x + 14y - 2\\]
\\[x^2 - 2x + 1 + 49y^2 - 14y + 1 > 0\\]
\\[(x-1)^2 + (7y-1)^2 > 0.\\]
Z założenia \\(x \\ne 1\\), więc \\((x-1)^2 > 0\\). \\((7y-1)^2 \\ge 0\\). Suma liczby dodatniej i nieujemnej jest dodatnia. Nierówność prawdziwa.

\n
Sposób 2 - Trójmian kwadratowy zmiennej \\(x\\)
\n

\\(x^2 - 2x + (49y^2 - 14y + 2)\\). Wyróżnik:
\\(\\Delta = 4 - 4(49y^2 - 14y + 2) = -4(49y^2 - 14y + 1) = -4(7y-1)^2 \\le 0\\).
Gdy \\(y \\ne \\tfrac{1}{7}\\): \\(\\Delta < 0\\), trójmian dodatni dla każdego \\(x\\).
Gdy \\(y = \\tfrac{1}{7}\\): \\(\\Delta = 0\\), trójmian zeruje się tylko dla \\(x = 1\\); dla \\(x \\ne 1\\) dodatni. c.n.d.

\n
CKE - Zasady punktacji
\n\n

Trik: gdy nierówność "kwadratowa + stała", próbuj uzupełnić do sumy kwadratów - niemal zawsze działa.

"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

Funkcja przychodu:

\n

P(x)=(70-x)(20+x)=-x^2+50x+1400.

\n

Wierzchołek paraboli:

\n

x_w=-(50)/(2(-1))=25.

\n

Dlatego w 32.1 wybieramy A. 25.

\n

W 32.2 rozwiązujemy równanie:

\n

(70-x)(20+x)=800.

\n

1400+50x-x^2=800.

\n

x^2-50x-600=0.

\n

Δ=(-50)^2-4·1·(-600)=4900.

\n

sqrtΔ=70.

\n

x_1=(50-70)/(2)=-10, x_2=(50+70)/(2)=60.

\n

Z warunków zadania x≥0 , więc odrzucamy -10 . Pozostaje

\n

x=60.

\n

Wybieramy E. 60.

"}]}